LE PREMIER CERCLE

LE PREMIER CERCLE

DE

ÉMILE M. H. LEMOINE ¹

revisited by

Philippe Fondanaiche

Jean-Louis AYME ²

A

B C

D Bb

G F P

Tb Tc

I

J K

L

0

Résumé. L'auteur présente une solution du problème D1842 du site Diophante ³ proposé par Philippe Fondanaiche (France).

Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

1 Lemoine E., Congrès de l'Association française pour l'avancement des sciences(ACFAS) (Lyon 1873)

2 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 15/01/2019 ; jeanlouisayme@yahoo.fr

3 Fondanaiche P., site Diophante ; http://www.diophante.fr/

Abstract. The author presents a solution to the problem D1842 proposed by Philippe Fondanaiche (France) managing the Diophante site.

The figures are all in general position and all cited theorems can all be demonstrated synthetically.

Sommaire

A. Le problème D1842 3

B. Visualisation 5

1. Culture géométrique 5

2. Le théorème de Reim 8

3. Gaspard Monge, Comte de Péluse 9 C. Scolies 12 1. (MN) est parallèle à (BC)

2. (MN) passe par P 3. Une jolie relation

A. LE PROBLÈME D1842 ⁴

proposed by

Philippe Fondanaiche

VISION

Figure :

A

B C

D Bb

G F P

Tb Tc

I

J K

L

0

Traits : ABC un triangle,

0 le cercle circonscrit à ABC, Tb, Tc les tangentes à 0 resp. en B, C, D le point d'intersection de Tb et Tc, G le point médian de ABC,

I le centre de ABC,

F le symétrique de G par rapport à (BI), P le point d'intersection de (BF) et (AD),

I, J les point d'intersection de la parallèle à (AB) issue de P resp. avec (AC), (BC) K, L les point d'intersection de la parallèle à (AC) issue de P resp. avec (AB), (BC), Donné : I, J, K et L sont cocycliques.

4 Fondanaiche P., site Diophante ; http://www.diophante.fr/problemes-du-mois/4321-d1842-au-bon-souvenir-de-trajan-lalesco

Archive :

B. VISUALISATION

I. CULTURE GÉOMÉTRIQUE

A

B C

I

D G F P

Tb Tc

0

 Scolies : (1) (BI) est la B-bissectrice intérieure de ABC (2) (BG) est la B-médiane de ABC.

 Par définition, (BF) est la B-symédiane de ABC.

 D'après Maurice Philbert d'Ocagne (1862-1938), (AD) est la A-symédiane de ABC. ⁵

 D'après Emile Lemoine ⁶, les symédianes d'un triangle sont concourantes.

 Conclusion partielle : P est le point de Lemoine de ABC.

Note historique : le nom de ce point a été proposé par Joseph Neuberg en 1884 ; il est répertorié sous X₆ chez ETC ⁷.

Ross Honsberger précise que ce point peut être considéré comme a crown jewel of modern geometry ⁸.

5 d'Ocagne M., Sur un élément du triangle rectiligne ; symédiane, Nouvelles Annales de Mathématiques, 3e série II (1883) 463, exercice 5 ;http://www.numdam.org/articles/NAM_1883_3_2__450_1/

6 Lemoine E., Congrès de l'Association française pour l'avancement des sciences(ACFAS) (Lyon 1873) 90-91

7 Kimberling C. Encyclopedia of Triangle Centers ; http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

8 Honsberger R., Episodes of 19th and 20th Century Euclidean Geometry, Math. Assoc. America (1995) 53

Le nom de "symédiane", heureuse contraction de "la droite symétrique de la médiane", a été proposé par Maurice d'Ocagne ⁹ dans un article des Nouvelles Annales paru en 1883.

Dans ce même article, il écrivait :

"J'ai publié, en 1880, une Note sur une ligne considérée dans le triangle rectiligne ¹⁰ où j'étudiais les propriétés d'un élément dont on ne s'était pas encore occupé, à ma connaissance, et qui présente cependant de l'intérêt tant par la simplicité de ses propriétés que par les nombreuses applications qui en résultent." ¹¹

Rappelons que Maurice d'Ocagne ¹² a publié une monographie sur la symédiane dans le Journal de Mathématiques Élémentaires de De Longchamps.

Pour l'auteur cette figure déterminée par un cercle circonscrivant un triangle et deux tangentes est la matrice

– du mot latin matrix (matricis), lui-même dérivé de mater, qui signifie "mère" i.e. un élément qui fournit un appui –

qui sert à construire le concept de "symédiane".

Cette figure correspond au théorème suivant de Michel Chasles, découvert en 1816 et republié dans les Annales de Gergonne ¹³ et de Liouville ¹⁴ avec la démonstration de son auteur :

le centre I du cercle de diamètre [BD]

obtenu par

la projection du cercle de diamètre [BC] de la sphère, est la projection conique

du sommet P du cône circonscrit à la sphère suivant ce dernier cercle.

Rappelons que ce résultat a été communiqué à Jean Hachette, et inséré dans ses Éléments de Géométrie à trois dimensions de 1817, partie algébrique, à la page 270.

La nature géométrique de la droite (AD) qu'ignorait Michel Chasles a été identifiée comme étant "la A-symédiane de ABC" par Carl Adams¹⁵ en 1846.

9 d'Ocagne M., Sur un élément du triangle rectiligne ; symédiane, Nouvelles Annales de Mathématiques, 3e série II (1883) 463, exercice 5 ;http://www.numdam.org/articles/NAM_1883_3_2__450_1/

10 D'Ocagne M., Journal de Mathématiques Élémentaires de de Longchamps, tome IV (1883) 539.

11 D'Ocagne M., Sur un élément du triangle rectiligne ; symédiane, Nouvelles Annales de Mathématiques, 3e série II (1883) 450 ; http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?j=NAM&sl=1

12 D'Ocagne M., Journal de Mathématiques Élémentaires de de Longchamps, 2e série, tome IV (1885) 173-175, 193-197

13 Chasles M., Géométrie de situation. Recherches sur les projections stéréographiques, et sur diverses propriétés générales des surfaces du second ordre, Annales de Gergonne 19 (1928-1929) 157 ; http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?j=AMPA.

14 Annales de Liouville 7 (1842) 272

15 Adams C., proposition 4, Die merkwürdigsten Eingenschaften des geradliniegen Dreiecks (1846) 1-5.

A

B C

D P

Tb Tc

I

J K

L

0

T

1a

 Notons T le point d'intersection de (APD) et (IK).

 Le quadrilatère AKPI étant un parallélogramme, T est le milieu de [IK].

 (AD) étant la A-symédiane de ABC, (KI) est antiparallèle à (BC) relativement à (AB) et (AC).

 Conclusion partielle : B, K, I et C sont cocycliques.

 Notons 1a ce cercle.

II. LE THÉORÈME DE REIM

A

B C

D G F P

Tb Tc

I

J K

L

0 1*c

1*b

 Le cercle 0, le point de base C, les moniennes naissantes (ACI) et (BCJ), les parallèles (AB) et (IJ), conduisent au théorème 7 de Reim ; en conséquence, le cercle passant par C, I, J) est tangent à 0 en C.

 Notons 1*c ce cercle.

 Le cercle 0, le point de base B, les moniennes naissantes (ABK) et (CBL), les parallèles (AC) et (KL), conduisent au théorème 7 de Reim ; en conséquence, le cercle passant par B, K, L est tangent à 0 en C.

 Notons 1*b ce cercle.

III. GASPARD MONGE, COMTE DE PELUSE

A

B C

D G F

Tb Tc

I

J K

L

0 1*c

1*b

V U

1a

 Notons U, V les points d'intersection de 1*b et 1*c.

 D'après Gaspard Monge ''Le théorème des trois cordes'' ¹⁶

appliqué à 1a, 1*b et 1*c, (UV), (BK) et (CI) concourent en A.

16 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

A

B C

D G F

Tb Tc

I

J K

L

0 1*c

1*b

V U

1a

 D'après Gaspard Monge ''Le théorème des trois cordes'' ¹⁷

appliqué à 0, 1*b et 1*c, (UV), Tb et Tc concourent en D.

17 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

A

B C

D G F P

Tb Tc

I

J K

L

0 1*c

1*b

U V

1a

L1

 D'après l'axiome d'incidence Ia, A, U, V et D sont alignés ;

en conséquence, (UV) passe par P.

 Conclusion : d'après Gaspard Monge ''Le théorème des trois cordes'' ¹⁸

appliqué à 1*b et 1*c, et aux cordes [UV], [IJ], [KL], I, J, K et L sont cocycliques.

 Notons L1 ce premier cercle de Lemoine.

Note historique : c'est au congrès de Lyon en 1873 qu'Émile Lemoine, dans un papier intitulé "Sur un point remarquable du triangle", a présenté sans démonstration ce premier cercle.

Ce résultat sera redécouvert, dix ans plus tard, par Robert Tucker ¹⁹. Nathan Altshiller Court dans son livre ²⁰ dit que Lemoine

may be said to have laid the foundation...

of the modern geometry of the triangle as a whole.

Une preuve directe basée sur une approche métrique est présentée par Ross

Honsberger ²¹ et par Emile Donath ²². Une preuve réciproque basée sur une approche trigonométrique est donnée par Darij Grinberg.

18 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

19 Tucker R., Quaterly Journal (1883) 340

20 Altshiller-Court N., College Geometry, Barnes & Noble, Richmond (1923) 304.

21 Honsberger R., Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, MAA, New Mathematical Library (1995)

72-73

22 Donath E., Die merkwürdigen Punkte und Linien des ebenen Dreiecks, Berlin (1976)

12 C. SCOLIES

1. Une parallèle à (BC)

A

B C

D G F P

Tb Tc

I

J K

L

0

1*b 1a

L1

M N

 Notons M, N les seconds points d'intersection de L1 resp. avec (AB), (AC).

 Conclusion : les cercles L1 et 1a, les points de base K et I, les moniennes (MKB) et (NIC), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (MN) // (BC).

2. (MN) passe par P

A

B C

G F P, P'

Tb Tc

I

J K

L

0

1*b L1

M N

 Notons P' le point d'intersection de (MN) et (IJ).

 Le quadrilatère BMP'J étant un parallélogramme, (BP') passe par le milieu de [MJ].

 Les cercles L1 et 1*b, les points de base K et L, les moniennes (MKB) et (JLB), conduisent au théorème 1 de Reim ; il s'en suit que (MJ) // Tb.

 (MJ) est l'antiparallèle de (AC) relativement à (BA) et (BC), (BP') est la B-symédiane de ABC.

 En conséquence, P' et P sont confondus.

 Conclusion : (MN) passe par P

Énoncé traditionnel :

par le point de concours des symédianes d'un triangle, on mène des parallèles aux trois côtés ;

les six points d'intersection des côtés et des parallèles sont cocycliques.

3. Une jolie relation KM.JL.NI = KI ³.