Cinq points et dix cercles
Problème D267 de Diophante
On considère cinq points dans le plan tels que trois d’entre eux ne sont jamais sur une même droite et quatre d’entre eux ne sont jamais cocycliques. On trace les dix cercles qui passent par trois de ces points. Démontrer que parmi eux il y a toujours le même nombre de cercles, qui contiennent exactement, à leur intérieur, l’un des deux points restants ?
Solution
Je ne me souviens plus qui m’a dit, un jour : « Lorsqu’il y a beaucoup de cercles, pense à l’inversion ». C’est peut-être moi, lors d’un soliloque !
Allez ! Faisons une inversion dont le centre est l’un des cinq points en jeu.
Alors il reste quatre points, quatre cercles et six droites (le cinquième point étant en villégiature à l’infini).
Ci-dessous, seuls les cercles ABC, AD∞, BD∞, CD∞ contiennent exactement, à leur intérieur, l’un des deux points restants.
B D C A
Ce sera toujours le cas lorsqu’un des quatre points est à l’intérieur du triangle formé par les trois autres.
Sinon deux autres cas se présentent :
Le point D est, dans l’angle BAC, extérieur au triangle ABC mais intérieur au cercle ABC.
B C
D A
Alors, seuls les cercles ABC, AD∞, BC∞ et BCD contiennent exactement, à leur intérieur, l’un des deux points restants.
Enfin, le point D est, dans l’angle BAC, extérieur au cercle ABC.
B C
D A
Alors, seuls les cercles ABD, ACD, AD∞ et BC∞ contiennent exactement, à leur intérieur, l’un des deux points restants.
Dans chacun de ces cas, quatre cercles sur les dix contiennent exactement, à leur intérieur, l’un des deux points restants.
Exemple effectif de dix cercles circonscrits aux triangles de cinq points..
Seuls les cercles verts contiennent exactement, à leur intérieur, l’un des deux points restants.
