D669. A la recherche de cercles tangents MB Problème proposé par Pierre Leteurtre
Q₁ Soient deux droites D1, D2 et un point P quelconques du plan. Construire le ou les cercles tangents aux deux droites et passant par P.
Q₂ Soient deux droites D1, D2 et un cercle (Γ) de centre P et de rayon r du plan. Construire le ou les cercles tangents aux deux droites et au cercle (Γ).
Q1) Si les deux droites sont parallèles, on suppose que P est entre les deux droites. On trace un cercle quelconque (C) tangent aux deux droites. Une parallèle à ces droites menée par P coupe (C) en P’ et P’’. Les images de (C) par les translations de vecteur P’P ou P’’P sont bien deux cercles tangents à D1 et D2 et passant par P.
Si les droites sont sécantes en O, elles définissent 4 angles. Dans l’angle qui contient P on trace un cercle quelconque (C) tangent aux deux droites. La droite OP coupe (C) en P’ et P’’. Les images de (C) par les homothéties de centre O et de rapports OP/OP’ ou OP/OP’’ sont bien deux cercles tangents à D1 et D2 et passant par P.
Q2)On se ramène au problème précédent :
Cas D1//D2 : Si (C) est un cercle de rayon R, tangent à D1 et D2 et tangent extérieurement à (Γ), le cercle concentrique à (C) de rayon R+r passe par P et est tangent à deux droites D’1 et D’2
extérieures à la bande D1D2 parallèles à D1 et D2, construites à la distance r.
Comme précédemment on construit P’ et P’’, les images du point F par les translations de vecteur P’P et P’’P donnent les centres F’ et F’’ des cercles cherchés.
Si on souhaite que le cercle (Γ) soit tangent intérieurement aux cercles cherchés, D’1 et D’2 devront être placées en retrait de r par rapport à ,D1 et D2. Un cercle quelconque (C) tangent à D’1 etD’2 est coupé en P’ et P’ par la parallèle à D1 issue de P, etc..
Cas D1 et D2 sécantes en O :
Si on cherche les cercles tangents extérieurement à D1 et D2, ayant placé un cercle quelconque (C) de centre F et rayon R tangent à D1 et D2, on trace un cercle concentrique (C’) de rayon R+r (en vert), puis les tangentes parallèles à D1 et D2 à ce cercle (C’). Ces droites D’1 et D’2 se coupent en O’ . La droite O’P coupe (C’) en P’ et P’’. Les images de (C’) par les homothéties de centre O’ et de rapport O’P/O’P’ et O’P/O’P’’ sont deux cercles passant par P et tangents à D’1 et D’2 (en vert). Si leurs centres sont F’ et F’’ et leurs rayons R’ et R’’, Les cercles concentriques : centre F’ rayon R’- r, et centre F’’ rayon R’’- r répondent à la question : ils sont tangents à D1 et D2 et aussi au cercle (Γ) de centre P.
Méthode analogue pour trouver les cercles tangents à D1 et D2 et tels que le cercle (Γ) leur soit tangent intérieurement. Alors le cercle (C’) a pour rayon R – r .