E552-Les deux cordes du dodécagone
Analyse complémentaire de Christian Boyer
Un programme informatique écrit sur mesure confirme les résultats antérieurs selon lesquels toutes les configurations à 12 arcs admettent toujours plusieurs couples de cordes perpendiculaires. Si l’on s’intéresse aux seules configurations qui donnent le nombre minimum de couples de cordes perpendiculaires, il apparaît que dix d’entre elles donnent le nombre minimum de 4 couples :
1 4 7 12 11 10 8 5 6 2 9 3 1 6 5 7 3 4 10 12 11 8 9 2 1 6 5 7 3 9 10 12 11 8 4 2 1 6 5 7 4 10 8 11 12 3 9 2 1 6 5 7 10 12 11 8 4 3 9 2 1 6 5 10 11 8 2 9 12 4 7 3 1 10 4 8 12 11 9 3 6 5 7 2 1 10 12 8 2 9 11 3 7 5 6 4 1 10 12 11 8 4 2 9 3 7 5 6 1 10 3 2 5 4 11 12 8 7 6 9
En prenant, par exemple, la première configuration 1 4 7 12 11 10 8 5 6 2 9 3, on a les 4 couples de cordes perpendiculaires définis par les partitions suivantes:
1 : (1 + 4) + (11 + 10 + 8 + 5) = 5 + 34 et (7 + 12) + (6 + 2 + 9 + 3) = 19 + 20 2 : (4 + 7 + 12 + 11) + (5) = 34 + 5 et (10 + 8) + (6 + 2 + 9 + 3 + 1) = 18 + 21 3 : (7 + 12 + 11) + (9) = 30 + 9 et (10 + 8 + 5 + 6 + 2) + (3 + 1 + 4) = 31 + 8 4 : (12 + 11 + 10) + (6) = 33 + 6 et (8 + 5) + (2 + 9 + 3 + 1 + 4 + 7) = 13 + 26
L'analyse a été poursuivie avec l'étude des ensembles de 12 arcs définis avec les entiers {k,k + 1, k + 2,...,k + 11} pour les valeurs de k variant de 2 à 6 et la recherche des configurations sortant de l'ordinaire, c'est à dire qui n'admettent pas de couples de cordes perpendiculaires.
Pour k = 2 et k = 3, on est dans la même situation que pour k = 1 et quelle que soit la configuration considérée, il y a toujours au moins deux cordes perpendiculaires.
Pour k = 4, on observe un cas particulièrement intéressant avec l'existence de la
première configuration : 4, 10, 7, 6, 15, 9, 11, 13, 8, 5, 12, 14 qui n'admet aucun couple de cordes perpendiculaires.
Pour k = 5 et k = 6, il y a respectivement 8 et 25 configurations sans couple. On peut légitimement supputer que pour les valeurs croissantes de k, il y a de plus en plus de configurations sans couple de cordes perpendiculaires.
L'analyse peut être étendue aux configurations de n arcs telles que la somme S des longueurs des arcs égale à n(n+1)/2 est un nombre pair.
Ainsi :
1) pour n = 11 arcs définis sur les entiers {1,2,...11}, S = 66 et toutes les configurations donnent au moins deux cordes perpendiculaires.On observe un minimum de 3 couples avec les six configurations suivantes :
1 8 2 5 4 9 11 10 6 3 7 1 9 6 11 8 2 10 5 4 7 3 1 9 7 3 6 11 10 8 2 5 4 1 9 11 10 8 2 5 4 7 3 6 1 9 4 5 2 8 10 11 6 3 7 1 9 11 10 6 3 7 4 5 2 8
2) pour n = 15 arcs définis sur les entiers {1,2,...15}, S = 120 et toutes les
configurations donnent toujours au moins deux cordes perpendiculaires. De façon surprenante, on constate qu'une seule d'entre elles (au lieu des dix précédemment observées avec 12 arcs) : 1 14 11 15 10 12 6 7 4 9 2 3 8 5 13 est caractérisée par le nombre minimum de 4 couples de cordes.
1 : (1 + 14 + 11 + 15 + 10) + (9) = 51 + 9 et (12 + 6 + 7 + 4) + (2 + 3 + 8 + 5 + 13) = 29 + 31
2 : (14 + 11) + (10 + 12 + 6 + 7) = 25 + 35 et (15) + (4 + 9 + 2 + 3 + 8 + 5 + 13 + 1) = 15 + 45
3 : (14 + 11 + 15) + (7 + 4 + 9) = 40 + 20 et (10 + 12 + 6) + (2 + 3 + 8 + 5 + 13 + 1) = 28 + 32
4 : (10 + 12) + (7 + 4 + 9 + 2 + 3 + 8 + 5) = 22 + 38 et (6) + (13 + 1 + 14 + 11 + 15) = 6 + 54
