II. Cordes vibrantes

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PCSI 1 - Stanislas DS de PHYSIQUE N^◦4 - 13/01/18 - CORRIGÉ A. MARTIN

FILTRAGE - ONDES - MÉCANIQUE

I. Pickup de guitare électrique

1. .Il s’agit d’un filtrepasse-bas.

.On lit la fréquence de résonance au maximum de gain du filtre, soit à f_r= 3,0 kHz .

.L’asymptote Basse Fréquence (BF) est G_dB= 0 . Celle à Haute Fréquence (HF) possède une pente de_log(3.10⁻⁴⁰⁻²⁰₄_)−log(10₄₎≈ −42 dB/dec. Le filtre correspondant peut être unpasse-bas du second ordre.

2. (i) Passe-bas du premier ordre. Asymptote HF (-20 dB/dec) insuffisante.

(ii) Ce filtre,passe-bas du 2ème ordre,convientau diagramme proposé (en prenantH0= 1 etQ adapté pour qu’il y ait résonance à 3 kHz avec le bon gain).

(iii) La pente de l’asymptote HF est positive et donc ne convient pas. Cette fonction de transfert ne donne de toute façon pas un filtre stable (gain qui tend vers +∞lorsqueω→+∞).

(iv) Passe-bandedu 2ème ordre, qui ne convient donc pas ici.

3. a)Pourx= 1 la fonction de transfert se simplifie enH(x= 1) = ^H⁰_j^Q=−jH0Q. Le gain en décibel vaut donc : G_dB(x= 1) = 20 log(H0Q) .

b)BF :H ∼

x1H0=⇒ G_dB ∼

x120 log(H0) HF :H ∼

x1 H0

−x²=⇒ G_dB ∼

x120 log(H0)−40 logx

Les asymptotes se croisent lorsque 20 log(H0) = 20 log(H0)−40 logx, c’est-à-dire pourx= 1, soit ω=ω0.

4. .À l’aide de l’asymptote BF, on a : 20 log(H0) = 0 =⇒ H0= 1 .

.L’intersection des asymptotes BF et HF se produit en f0≈3,2 kHz±0,2 kHz .

.À la pulsation propre (x= 1) on lit un gain en décibel G_dB(x= 1) = +12 dB = 20 logQ =⇒ Q= 10^12/20≈4 .

5. On lit les gains en décibel sur les diagrammes de Bode et on en déduit l’amplitude du signal sinusoïdal de sortie :

G_dB= 20 log U_s

U_e

=⇒ U_s=U_e10^G^dB^/20 .Pourf= 300 Hz,G_dB= 0, donc U_s=U_e= 1,0 V .

.Pourf= 3,0 kHz (résonance),G_dB= 13 dB, donc U_s= 4,5 V . .Pourf= 8,0 kHz,G_dB=−15 dB, donc U_s= 0,18 V .

6. a)On constate que l’harmonique de rang 6 coïncide avec 2 kHz (rq : l’harmonique 5 n’apparaît pas dans le signal). La fréquence du fondamental est donc f= 330 Hz .

b)On lit graphiquement les valeurs de «magnitude» pour les fréquences demandées. On en déduit l’amplitudeUsde l’harmonique une fois filtré grâce à la question5..

1

f_k(kHz) M_k(magnitude) (dB) U_ek=U_ref10^M^k^/20(V) U_sk=U_ref10^(M^k^+G^dB^(f^k^))/20(V)

0,3 50 3,2 3,2

3 10 0,032 0,14

8 -8 0,0040 0,00071

Remarque :Il est un peu abusif de considérer 2 chiffres significatifs pour les tensions compte tenu du fait que les gains/magnitudes en dB sont lues graphiquement, le passage à l’exponentielle faisant perdre un chiffre significatif en général.

7.

Il s’agit a donc priori d’un filtrepasse-bas.

8. D’après la loi des nœuds en termes de potentiel :_R+jLω^E−U^s −j(C+C_c)ωU_s−^U_R^s

a = 0.

Ainsi : E=U_s

(R+jLω) 1

R_a

+ 1

=U_s

1 + R

R_a−L(C+C_c)ω²+jω L

R_a+R(C+C_c)

D’où la fonction de transfert, simplifiée carR_aR:

H= 1

1 +jω_R^L

a+R(C+C_c)−L(C+C_c)ω²

Remarque :Au lieu de la LNTP, on aurait pu utiliser encore la relation du pont diviseur de tension en additionnant les admittances du groupement parallèle(C, Cc, Ra).

9. On identifie :









 H0= 1 ω0= 1

pL(C+C_c) =⇒ f0=ω0

2π = 3,1 kHz

1 ω0Q=_R^L

a+R(C+C_c) =⇒ Q=

pL(C+C_c)

L

Ra+R(C+C_c) = 8,3

Les valeurs trouvées ici sont cohérentes avec les mesures faites sur le diagramme de Bode, sauf celle deQ.

Remarque :Manifestement la bonne valeur pourRétait plutôtR= 20 kΩ, qui donneQ= 4,3... erreur dans l’énoncé !

2

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II. Cordes vibrantes

II.1. Propagation d’un signal le long d’une corde

1. On lit t1= 2,0 ms . La perturbation a mis un tempst1 pour parcourir une distancex_Mà la céléritéc, d’où :

c=x_M t1

= 40 m.s⁻¹ 2. On posec=αT^aµ^b, avecαune constante multiplicative. Or :











[T] =M.L.T⁻² [µ] =M.L⁻¹ [c] =L.T⁻¹

⇒L.T⁻¹=M^a+b.L^a−b.T^−2a⇒









 a+b= 0 a−b= 1

−2a=−1

⇒a=−b=1 2⇒ c=α

sT µ .

3. Tendre la cordefaitaugmenterT, et doncc.

Augmenter la massede la corde pour une longueur fixée fait augmenterµ, doncdiminuerc.

L’amplitudede la perturbation n’aaucune influence surctant que milieu est caractérisé par une équation de propagation d’ondes qui est linéaire¹, en pratique pour des ondes d’amplitudes modérées.

4. On lit sur le graphe deu_i(M, t) que le pointM est affecté pendant ∆t= 3,0 ms . Cela correspond alors à une longueur L=c∆t= 12 cm .

5. La perturbation arrive enNà la date t2=x_N

c = 8,0 ms. La perturbation étant progressive, elle ne se déforme pas. Ainsi :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

-1 2

-2 3

-3 u_i(x_N,t) (cm)

0 t (ms)

6. La propagation vers lesxcroissants sans déformation à la vitessecpermet d’écrire u_i(x, t3) =u_i(x_M, t3−x−x_M

c ) =u_i(x_M,−x−x_M−ct3

c ) .

Cette relation permet de voir que la forme du signal spatial est obtenue à partir du signal temporel par unesymétrie par rapport à l’axe des ordonnées(signe−), suivie d’unedilatation horizontale de facteurc(ce qui place le front (début de la perturbation) àx=−8 cm) et d’unetranslation horizontale dex_M+ct3= 40 cm.

Ainsi, à la datet3= 8,0 ms, le début de la perturbation se trouve maintenant au pointN d’abscisse 1. cf programme de SPE.

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x_N= 32 cm. Le signal ne se déformant pas, il occupe toujours une longueurL= 12 cm. Pour terminer le schéma de la corde, on peut déterminer les positions du minimum et du maximum, qui interviennent respectivement ∆t_m = 0,5 ms et ∆t_M = 2 ms après le début de la perturbation. Ils sont donc situés respectivement à une distance ∆x_m=c∆t_m= 2 cm et ∆x_M=c∆t_M= 8 cm à gauche du pointN. D’où l’allure suivante :

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 1

-1 2

-2 3

-3 u(x,t3) (cm)

0 x (cm)

M N

7. Au point de fixation, la corde ne bouge pas. En l’absence d’onde réfléchie on aurait doncu_i(L, t) = 0 ∀t doncui(x, t) = 0 ∀(x, t),il n’y a pas d’onde incidente. Cela est absurde donc il existe une onde réfléchieu_r(x, t) vérifiant

u_r(L, t) =−ui(L, t) ∀t . Cette onde se propage dans le sens desxdécroissants. On en déduit

u_r(x, t) =u_r(L, t+x−L

c ) =−ui(L, t+x−L

c ) =−ui(x_M, t+x−L

c −L−xM

c ) d’où

u_r(x, t) =−u_i

x_M, t+x+x_M−2L c

.

Par conséquent u_r(x, t4)) =−u_i

x_M,x c+t_rM

en notantt_rM =t4+^x^M^−2L_c =−3 ms. On en déduit que ce profil spatial s’obtient à partir du profil temporel u_i(x_M, t) par unetranslation de 3ms vers la droite, suivie d’unedilatation horizontale de facteurc(pour passer sur l’axe desx, et qui donne toujours à la perturbation une étendue spatiale de 12 cm) et d’unesymétrie par rapport à l’axe des abscissesOx(à cause du signe−devant). En particulier la perturbation débute à la positionx_dtelle que

xd

c−t_rM= 2 ms (instant du début de la perturbation incidente enx_M, cf figure énoncé), d’oùx_d= 20 cm.

D’où l’allure ci-dessous.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 1

-1 2

-2 3

-3 u(x,t3) (cm)

0 x (cm)

M N

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II.2. Positionnement des frettes d’une guitare

8. Un mode propre de vibration sinusoïdal est une vibration en régime libre compatible avec les conditions aux limites imposées par le confinementdu milieu de propagation. En l’occurrence, ces conditions sont une absence totale de vibration enOetAdonc le mode propre prend la forme d’une onde stationnaire(c’est-à-dire qui vibre sur place, sans effet de propagation). Sa forme générale est u(x, t) =Usin(kx+ϕ) sin(ωt+ψ) aveck=^ω_c le nombre d’onde angulaire (ou pulsation spatiale) etωla pulsation temporelle.

Ses nœuds sont espacés de ^λ₂, en notantλ=^2π_k la période spatiale. L’existence d’un nombre entier de fuseauxn∈N^∗implique alors que

L=nλ_n

2 ⇔ f_n=n c 2L .

La forme des modes propres correspondant à l’absence de mouvement enO(x= 0 doncϕ= 0) et enA (x=L) est alors

u_n(x, t) =Usin(k_nx) sin(2πf_nt+ψ) avec k_n=nπ L . 9. Le modenanfuseaux, doncn+ 1 nœuds. D’où l’allure à deux instants différents :

10. La note entendue correspond à la fréquence du mode fondamental : c= 2Lf1 = 1,4×10²m.s⁻¹. 11. Cherchons la longueurL⁰à donner à la corde vibrante pour obtenir la fréquencef₁⁰ = 2f1avec la même

célérité des ondes, pour le mode fondamentaln= 1 : L⁰= c

2f₁⁰ = c 4f1

⇒ L⁰=L_La 2

La frette permettant de monter d’une octave doit donc être placée en plein milieu de la longueur totale OAdisponible, doncà égale distance du sillet de tête et du chevalet.

12. Pour passer d’un demi-ton au demi-ton supérieur, on multiplie la fréquence parK. En réalisant 12 fois l’opération, on monte d’une octave, c’est-à-dire que la fréquence a été multipliée par 2 :

K¹²= 2⇒ K= 2^1/12 ≈1,059.

13. Le La# a une fréquenceKf1. La longueur de corde nécessaire pour jouer cette note est alors : L_La#= c

2Kf1

=L_La K

Ainsi, la distance entre les deux premières frettes s’écrit :

∆x=L_La−L_La#=L_La

1− 1 K

≈3,59 cm

N.B. : Par le même procédé, on peut calculer facilement la position de la m-ième frette, permettant de monter demtons :

∆x_m

L_La = 1− 1

K^m= 1− 1 2^m/12

5

14.On impose un nœud au quart de la longueur de la corde. Ainsi, on empêche tous les modes n’ayant pas un nœud à cet endroit d’exister, notamment le mode fondamental ainsi que les modesn= 2 etn= 3. Le premier mode possible est alorsn= 4 (puis ses multiples entiersn= 8,12...). On obtient donc exactement le même effet en effleurant la corde aux trois-quarts de sa longueur.

La fréquence de vibration de ce mode est alors telle que : LLa= 4 c

2f⇒ f= 2 c

L_La= 4f1 ≈440 Hz On obtient ainsi le La deux octaves au-dessus («La3»).

6

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III. Manège pendulaire

1. Le référentiel galiléen est défini par leprincipe d’inertie(1ère loi de Newton) :il existe des référentiels privilégiés, appelés référentiels galiléens, dans lesquels tout point matériel isolé a un mouvement rectiligne uniforme.En pratique le caractère galiléen est vérifié quantitativement par la validité expérimentale du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD, 2nde loi de Newton).

Lesdimensions du manègeétant très faibles par rapport au rayon terrestre et ladurée d’un tour de manègetrès petite devant 24 h, le référentiel terrestre peut être considéré galiléen.

2. Vecteur position : −−→

OM= (L+dsinα)−→u_r+ (h−dcosα)−→u_z. 3. En coordonnées cylindriques, le vecteur position s’écrit−−→

OM =r−→u_r+z−→u_z. La nacelle décrit uncercle de rayon R=L+dsinα, d’axe (Oz), à la hauteur z0=h−dcosα, parcouru à la vitesse angulaire constante θ˙=ω.M a donc un mouvement circulaire uniforme, d’équation intrinsèque :

r=R et z=z0. 4. On a donc−−→

OM=R−→u_r+z0−u→_z. Vitesse :−→v =^d

−−→OM dt

_R

=Rθ˙−→u_θ=⇒ −→v =Rω−→u_θ= (L+dsinα)ω−→u_θ Accélération : −→a =d−→v

dt _R

=−Rω²−→u_r=−(L+dsinα)ω²−→u_r. 5. Forces extérieures appliquées à la nacelle :

•poids m−→g =−mg−→u_z ;

•tension de la tige −→

T =−Tsinα−→u_r+Tcosα−→u_z, en notantT =

||−→ T||.

6. Le PFD appliqué au système{nacelle}, dans le référentielRconsidéré galiléen :m−→a =m−→g+−→

T.

On projette sur~u_ret~u_zde la base cylindrique (il n’y a rien selon~u_θ) : ((~u_r) : −m(L+dsinα)ω²=−Tsinα

(~u_z) : 0 =−mg+Tcosα La projection sur−→u_zdonne alors : T= mg

cosα .

7. En éliminantT dans la projection sur−→u_rdu PFD, il vient :

−m(L+dsinα)ω²=−mgtanα⇐⇒ Lω² g

1 +d

Lsinα

= tanα (1)

On trouve la relation demandée avec a=Lω²

g et b=d L.

La massemn’intervient pas car nous avonsnégligé les frottements. Seuls le poids et la tension de la tige interviennent, tension qui s’adapte justement à la masse suspendue à l’attache.

8. Les valeurs deαcorrespondent à l’intersection des deux courbes.

7

Il y a donc une solutionα1∈[0, π/2] et une autreα2∈[π,3π/2].

9. Solutionα1- STABLE

Rapprochement de l’axeOz⇒éloignement.

Solutionα2- INSTABLE

Éloignement de l’axeOz⇒éloignement.

Stabilité

Pourα < α1(ouα2), l’accélération normale est alors plus faible en norme. Cela implique que le rayon de courbure de la trajectoire va s’accentuer. Or dans le cas de gauche la distance à l’axe est plus petite qu’à l’équilibre, doncMrevient vers sa position d’équilibre. C’est une positionstable. Inversement, dans le cas de droite la distance à l’axe est plus grande qu’à l’équilibre, doncM s’éloigne encore plus de sa position d’équilibre. C’est une positioninstable. Bien sûr on obtient le même résultat si on considère au contraire un angle supérieur à la position d’équilibre.

Remarque :La position instable correspond à la nacelle renversée. Cette position d’équilibre n’existerait pas la tige était remplacée par un câble, car il serait alors détendu, donc l’hypothèse cinématique liée à la longueur du fil serait alors invalidée.

10.On résout l’équationa(1 +bsinα) = tanα, ce qui donne ω= s

gtanα L+dsinα. A.N. : ω= 0,68 rad.s⁻¹= 6,6 tr.min⁻¹.

En exploitant la relation (1), l’expression de l’accélération subie par les passagers devient a=gtanα ≈ 0,58g, ce qui est tout à fait supportable.

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