PCSI 1 - Stanislas DM de PHYSIQUE N

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1 - 26/09/18 - CORRIGÉ A. MARTIN

MÉCANIQUE

I. Manège pendulaire

1. Le référentiel galiléen est défini par le principe d’inertie (1ère loi de Newton) : il existe des référentiels privilégiés, appelés référentiels galiléens, dans lesquels tout point matériel isolé a un mouvement rectiligne uniforme. En pratique le caractère galiléen est vérifié quantitativement par la validité expérimentale du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD, 2nde loi de Newton).

Les dimensions du manège étant très faibles par rapport au rayon terrestre et la durée d’un tour de manège très petite devant 24 h, le référentiel terrestre peut être considéré galiléen.

2. Vecteur position : −−→

OM = (L + d sin α) − → u

_r

+ (h − d cos α) − → u

_z

. 3. En coordonnées cylindriques, le vecteur position s’écrit −−→

OM = r − → u

_r

+ z − → u

_z

. La nacelle décrit un cercle de rayon R = L + d sin α , d’axe (Oz), à la hauteur z 0 = h − d cos α , parcouru à la vitesse an- gulaire constante θ ˙ = ω . M a donc un mouvement circulaire uniforme, d’équation intrinsèque :

r = R et z = z 0 . 4. On a donc −−→

OM = R − → u

_r

+ z 0 − u →

_z

. Vitesse : − → v =

^d

−−→OM dt

_R

= R θ ˙ − → u

_θ

= ⇒ − → v = Rω − → u

_θ

= (L + d sin α)ω − → u

_θ

Accélération : − → a = d − → v

dt

_R

= −Rω ² − → u

_r

= −(L + d sin α)ω ² − → u

_r

. 5. Forces extérieures appliquées à la nacelle :

• poids m − → g = −mg − → u

_z

;

• tension de la tige − →

T = −T sin α − → u

_r

+ T cos α − → u

_z

, en notant T =

|| − → T ||.

6. Le PFD appliqué au système {nacelle}, dans le référentiel R considéré galiléen : m − → a = m − → g + − →

T .

On projette sur ~ u

_r

et ~ u

_z

de la base cylindrique (il n’y a rien selon ~ u

_θ

) : ( (~ u

_r

) : −m(L + d sin α)ω ² = −T sin α

(~ u

_z

) : 0 = −mg + T cos α La projection sur − → u

_z

donne alors : T = mg

cos α .

7. En éliminant T dans la projection sur − → u

_r

du PFD, il vient :

−m(L + d sin α)ω ² = −mg tan α ⇐⇒ Lω ² g

1 + d

L sin α

= tan α (1)

On trouve la relation demandée avec a = Lω ²

g et b = d L .

La masse m n’intervient pas car nous avons négligé les frottements. Seuls le poids et la tension de la tige interviennent, tension qui s’adapte justement à la masse suspendue à l’attache.

8. Les valeurs de α correspondent à l’intersection des deux courbes.

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Il y a donc une solution α 1 ∈ [0, π/2] et une autre α 2 ∈ [π, 3π/2].

9. Solution α 1 - STABLE

Rapprochement de l’axe Oz ⇒ éloignement.

Solution α 2 - INSTABLE

Éloignement de l’axe Oz ⇒ éloignement.

Stabilité

Pour α < α 1 (ou α 2 ), l’accélération normale est alors plus faible en norme. Cela implique que le rayon de courbure de la trajectoire va s’accentuer. Or dans le cas de gauche la distance à l’axe est plus petite qu’à l’équilibre, donc M revient vers sa position d’équilibre. C’est une position stable. Inversement, dans le cas de droite la distance à l’axe est plus grande qu’à l’équilibre, donc M s’éloigne encore plus de sa position d’équilibre. C’est une position instable. Bien sûr on obtient le même résultat si on considère au contraire un angle supérieur à la position d’équilibre.

Remarque : La position instable correspond à la nacelle renversée. Cette position d’équilibre n’existerait pas la tige était remplacée par un câble, car il serait alors détendu, donc l’hypothèse cinématique liée à la longueur du fil serait alors invalidée.

10. On résout l’équation a(1 + b sin α) = tan α, ce qui donne ω = s

gtan α L + d sin α . A.N. : ω = 0, 68 rad.s

⁻¹

= 6, 6 tr.min

⁻¹

.

En exploitant la relation (1), l’expression de l’accélération subie par les passagers devient a = g tanα ≈ 0, 58 g, ce qui est tout à fait supportable.

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II. Collisions de deux pendules

II.1. Pendule seul 1.

On écrit le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) dans le référentiel terrestre du laboratoire R, considéré galiléen, pour le point matériel M soumis à son poids et à la tension du fil T ~ = −T ~ u

_r

(avec T sa norme) :

m d ² −−→

OM

dt ² = −m` θ ˙ ² ~ u

_r

+ l` θ~ ¨ u

_θ

= m~ g + T . ~

En projection selon ~ u

_θ

, cela conduit à l’équation du mouvement θ ¨ + g

` sin θ = 0 .

2. En développant au premier ordre non nul le sin on obtient la version linéarisée (E) : ¨ θ + ω ² ₀ θ = 0 avec ω 0 =

r g

` la pulsation propre et T 0 = 2π s `

g la période propre.

3. La solution générale s’écrit θ(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t), avec A et B deux constantes d’intégration.

Les conditions initiales conduisent à A = θ 0 et B = 0, d’où θ(t) = θ 0 cos(ω 0 t) .

4. La position d’équilibre est θ = 0 (il y en a deux mais considérons la position stable, car la linéarisation de l’équation différentielle n’est pas valable en θ = π). Elle est atteinte à l’instant t 0 =

^T

₄

⁰

, de telle sorte que cos(ω 0

T0

4 ) = cos(

^π

₂ ) = 0. On a alors une vitesse maximale en norme, qui vaut ~ v = ` θ ~ ˙ u

_θ

=

−`θ 0 ω 0 sin(ω 0

T0

4 ) ~ u

_θ

donc ~ v(t 0 ) = −`θ 0 ω 0 ~ u

_x

= −θ 0 p g` ~ u

_x

. II.2. Système de deux pendules

5. Les résultats précédents sont applicables aux deux pendules, dont les lois horaires sont donc θ 1 (t) = θ 10 cos(ω 0 t) et θ 2 (t) = −θ 10 cos(ω 0 t) .

Les pendules se rencontrent à l’instant t 1 tel que θ 1 (t 1 ) = θ 2 (t 1 ) ⇔ cos(ω 0 t 1 ) = 0 pour la première fois après l’instant 0. D’où un point de rencontre sur l’axe Oz et à l’instant t 1 = t 0 = T 0

4 = π 2ω 0

= π 2

r g

` . 6. a) Comme précédemment, on obtient des vitesses symétriques v 2 = −v 1 = `θ 10 ω 0 = θ 10

p g` . b) La conservation de la quantité de mouvement totale s’écrit (après projection selon ~ u

_x

) :

m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v ₁

⁰

+ m 2 v ₂

⁰

⇔ m 1 (v 1 − v

⁰

₁ ) = m 2 (v

⁰

₂ − v 2 ) . (2) c) Le choc étant élastique, on a ¹ ₂ m 1 v ² ₁ + ¹ ₂ m 2 v ² ₂ = ¹ ₂ m 1 v ₁

⁰²

+ ¹ ₂ m 2 v ₂

⁰²

, ce qui se ré-écrit m 1 (v ² ₁ − v ₁

⁰²

) =

m 2 (v

⁰²

₂ − v ₂ ² ). Le quotient de cette dernière équation par l’Eq. (2) conduit à

v 1 + v

⁰

₁ = v 2 + v ₂

⁰

. (3) d) La combinaison linéaire (3) +

_m

¹

1

(2) conduit à v ₂

⁰

= 2m 1 v 1 + (m 2 − m 1 )v 2

m 1 + m 2

et v

⁰

₁ = v 2 − v 1 + v ₂

⁰

= 2m 2 v 2 + (m 1 − m 2 )v 1

m 1 + m 2

. (4)

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En utilisant v 2 = −v 1 = θ 10

√ g` et l’Eq. (2) on trouve finalement

v ₂

⁰

= m 2 − 3m 1

m 1 + m 2

θ 10

p g` et v ₁

⁰

= 3m 2 − m 1

m 1 + m 2

θ 10 p g` .

Remarque : On observe que v ₁

⁰

s’obtient de v

⁰

₂ par une permutation des indices et une symétrie, et vice versa, ce qui était prévisible physiquement.

En particulier, si m 2 m 1 on a v

⁰

₂ −→

m1 m2→0

θ 10

p g` = −v 1 et v

⁰

₁ −→

m1 m2→0

3θ 10

p g` = −3v 1 .

Donc M 2 poursuit alors sa course sans percevoir le choc, alors que M 1 est repoussée dans le même sens à une vitesse 3 fois supérieure en norme.

e) D’après les conditions initiales en t ⁺ ₁ , la nouvelle loi horaire s’écrit maintenant θ

_k

(t) =

_`ω^v0k

0

sin(ω 0 (t − t 1 )) pour k = 1, 2. Comme précédemment, le lien entre amplitude angulaire et vitesse maximale est donc θ

⁰_k0

=

^|v

0 k|

`ω0

, d’où θ

⁰

₁₀ = |3m 2 − m 1 | m 1 + m 2

θ 10 et θ

⁰

₂₀ = |m 2 − 3m 1 | m 1 + m 2

θ 10 .

7. La période étant indépendante de l’amplitude (isochronisme pour les petites amplitudes), les deux pendules se rencontrent après une demi-période, de nouveau en θ = 0.

8. a) Au bout d’une demi-période, la vitesse est l’opposé de ce qu’elle était à l’instant "initial" t 1 . Donc w 1 = −v

⁰

1 et w 2 = −v

⁰

2 .

b) On peut réutiliser les Eqs. (4) en remplaçant v 1 et v 2 par w 1 et w 2 , et v

⁰

₁ et v

⁰

₂ par w

⁰

₁ et w ₂

⁰

: w

⁰

₂ = 2m 1 w 1 + (m 2 − m 1 )w 2

m 1 + m 2

et w

⁰

₁ = 2m 2 w 2 + (m 1 − m 2 )w 1

m 1 + m 2

.

c) D’où w

⁰

₂ = − _(m

^v2

1

+m

2

)

²

(2m 1 (3m 2 − m 1 ) + (m 2 − m 1 )(m 2 − 3m 1 )) = −v 2

m²₁

+m

²₂

+2m

1m2

(m

1

+m

2

)

²

= −v 2 , et w ₁

⁰

= − _(m

^v2

1

+m

2

)

²

(2m 2 (m 2 − 3m 1 ) + (m 1 − m 2 )(3m 2 − m 1 )) = v 2

m²₁

+m

²₂

+2m

1m2

(m

1

+m

2

)

²

= v 2 . Finalement w ₂

⁰

= −v 2 = v 1 et w ₁

⁰

= −v 1 = v 2 .

d) On a toujours le lien entre vitesse maximale (en θ = 0) et élongation maximale : w ₁

⁰

= √ gl θ

⁰⁰

₁₀ =

−v 1 = √

gl θ 10 donc θ ₁₀

⁰⁰

= θ 10 . Par le même raisonnement on a l’élongation extrême (minimale car négative) θ

⁰⁰

₂₀ = θ 20 = −θ 10 . Ceci peut toujours s’obtenir par un raisonnement énergétique.

9. Au bout de 2 chocs plus un quart de période, le système se retrouve exactement dans le même état à qu’à l’instant initial t = 0. Donc le système suit alors une évolution périodique de période T 0 en alternant les 2 phases décrites précédemment.

10.

On obtient T 0 = 2π s `

g = 1, 0s, θ

⁰

₁₀ = 20

^◦

et θ ₂₀

⁰

= 0

^◦

.

Donc après le premier choc, M 2 reste im- mobile alors que M 1 admet un mouve- ment d’amplitude double.

4