PCSI 1 - Stanislas DM de PHYSIQUE N

PCSI 1 - Stanislas DM de PHYSIQUE N

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5 - 18/11/15 - CORRIGÉ A. MARTIN

ÉLECTRICITÉ

d’après Banque PT 2015

I. Extraction du signal de position d’un capteur à condensateur double

1. u = U e ^j(ωt+ϕ) , avec j ² = −1. On pose U = U e ^jϕ .

2. Les condensateurs sont en série et les résistances aussi, donc on peut appliquer la relation du pont diviseur de tension pour chacune des branches :

u = e

1 jωC

2

1 jωC

1

+ _jωC ¹

2

− R R + R

!

d’où U = E C 1

C 1 + C 2

− 1 2

= E 1

2 − C 2

C 1 + C 2

= E 2

C 1 − C 2

C 1 + C 2

.

3. On en déduit U = E ^x _L . D’où U = E |x|

L . 4. On obtient σ _U = E

L . Cette sensibilité est indépendante de x, donc cela permet d’avoir une amplitude de signal de tension qui reproduit fidèlement (linéairement) l’amplitude du mouvement oscillatoire capté.

5. On a ϕ = arg(U) donc ϕ = arg(x) = 0 si x > 0 ou π [2π] si x < 0.

Ainsi, l’argument indique de façon binaire le signe de x.

II. Analyse des signaux par oscilloscope

6. On a donc Ω i ω (avec i = 1, 2). On linéarise le produit :

a) u(t) = ^BX ₂

^m

(cos ((ω − Ω 1 )t) + cos ((ω + Ω 1 )t)) et b) u(t) = ^BX ₂

^m

( cos ((ω − Ω 2 )t + π) + cos ((ω + Ω 2 )t + π) ) Les deux spectres en amplitude sont identiques :

7. Fréquence « électrique » :

On compte environ 40 périodes rapides en 0,1 s donc f _e = _0,1 ⁴⁰ = 400 Hz.

Fréquences mécaniques :

En a) on observe une période pendant 0,1 s donc T _m1 = 0, 1 s et f _m1 = _0,1 ¹ = 10 Hz.

En b) on observe à peu près 2,5 périodes pendant 0,1 s donc T m2 = 0, 04 s et f m2 = ^2,5 _0,1 = 25 Hz.

8. On en déduit Ω 1 = 2π f _m1 = 62 rad.s

⁻¹

, et Ω 2 = 2π f _m2 = 1, 6 × 10 ² rad.s

⁻¹

.

III. Conditionnement des signaux par oscillateur

9. a) G dB ∼

x→0 20 log A 0

Q + 20 log x et G dB ∼

x→∞ 20 log A 0

Q − 20 log x .

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b)

c) Il s’agit d’un filtre passe-bande. Le gain G(x) = q ^A

⁰

1+Q

²

( x−

¹_x

)

²

est maximal pour x = 1 donc il s’agit d’une résonance en x = 1. On a H(x = 1) = A 0 > 0 donc u 1 et u 2 sont en phase, le déphasage est nul.

d) Soient x 1 et x 2 les fréquences (réduites) de coupure, avec x 2 > x 1 . Elles vérifient G(x _1,2 ) = ^A

^√0

₂ donc

Q ²

x − 1 x

2

= 1 ⇔ Q

x − 1 x

= ±1 ⇔ x ² ∓ x

Q − 1 = 0 ⇒ x _1,2 = ∓ 1 2Q +

s 1 4Q ² + 1 .

On en déduit la largeur de la bande passante : ∆x = x 2 − x 1 = 1

Q = 4, 0 × 10

⁻²

. e) Par le pont diviseur de tension nous obtenir en Régime Sinusoïdal Forcé (RSF) :

H = 1

1 + R 0 ₁

R + _jωL ¹ + jωC

= 1

1 + ^R _R

⁰

+ jR 0 q C

L x − _x ¹

= A 0

1 + jQ x − ¹ _x

avec x = ω ω 0

, ω 0 = 1

√ LC , A 0 = R R + R 0

et Q = RR 0

R + R 0 s

C L .

10. a) Comme i

₋

= 0, les résistances R 1 et R 2 sont en série. Le potentiel v

₋

s’obtient donc par le pont diviseur de tension. Comme u ₂ = v ₊ = v

₋

= _R ^R

¹

1

+R

2

u ₃ , donc G = u ₃

u ₂ = 1 + R 2

R 1

.

b) Comme la fonction de transfert est réelle et positive, on obtient K = |G| = G = 1 + R 2

R 1

. 11. a) En RSF, on obtient u ₃ = Ku ₂ = KH u ₁ = KH u ₃ d’où

jx + Q(jx) ² + Q u 3 = KA 0 jx u 3 ⇐⇒ 1 ω ² ₀

d ² u 3

dt ² + 1 − KA 0

ω 0 Q du 3

dt + u 3 = 0 .

b) Il s’agit d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants sans second membre.

L’oscillateur se trouve en régime harmonique si le terme d’ordre 1 est nul, c’est-à-dire si KA 0 = 1 :

¨

u 3 + ω ² ₀ u 3 = 0. La pulsation des oscillations est ω 0 , donc f 0 = 1 2π √

LC .

Remarque : on retrouve ce critère sur l’équation en complexe ci-dessus après simplification par u ₃ . 12. a) f osc = √ ^D

C

0

(1−

^x_`

) ≈

^√

^D

C

0

1 + _2` ^x d’où f osc = ax + b avec a = f or

2` et b = f or = D

√ C 0

.

b) D’où ∆f = f osc − f or = ^f _2`

^or

x et donc x min = 2`∆f min

f or

= 1, 9 × 10

⁻⁴

m ≈ 0, 2 mm.

2