PCSI 1 - Stanislas DS de PHYSIQUE N

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7 - 16/03/19 - CORRIGÉ _{A. MARTIN}

MÉCANIQUE

I. Techniques de gravimétrie

(d’après Centrale MP 2018)

I.1. Méthodes de mesure du champ de pesanteur à l’aide de pendules Le pendule de Richter

1. La période des petites oscillations du pendule, T = 2 π

s

`

g , permet de mesurer g connaissant ` en mesu- rant T .

2. Un pendule qui retarde de a une période d’oscillation plus grande (il marque moins de périodes dans la même durée). Le pendule de Richter a donc une période à Cayenne T

_C

plus grande que celle T

_P

à Paris dans un rapport

^T_T^C_P

= 1 +

^{2 min 28 s}1 j

= 1 + 1 , 7 · 10

⁻³

. En supposant que la longueur du pendule est inchangée, on a donc g

_C

= g

_P

T

_P

T

_C

2

= 9 , 78 m . s

⁻²

.

Autre méthode : Comme il s’agit de faibles variations, la différenciation logarithmique conduit à une relation approchée entre les variations relatives :

∆ T T ≈ − 1

2 ∆ g

g ⇒ g

_C

= g

_P

+ ∆ g = g

_P

1 − 2 ∆ T T

_P

= 9 , 81 × (1 − 2 × 2 min 28 s

1 j ) = 9 , 78 m . s

⁻²

.

3. L’intensité du champ gravitationnel est G

_T

( z ) = GM

_T

( R

_T

+ z )

²

.

On utilise la différenciation logarithmique pour relier les variation relatives :

^∆G_GT^T

≈ − 2

_R^∆z_T+z

. Entre Paris et Cayenne, l’écart d’altitude peut être au maximum de ∆ z = 131 m, ce qui conduit au maximum à ∆ G

_T

G

_T

≈ − 2 ∆ z

R

_T

= − 4 , 1 × 10

⁻⁵

alors que l’écart relative observé est

^∆g_g

≈ 3 , 4 × 10

⁻³

. Il s’agit donc d’une autre cause que l’altitude .

En réalité le champ de pesanteur comprend aussi une contribution due à la rotation propre de la Terre , qui est perçue comme une pseudo-force dite force centrifuge

¹

, et qui est proportionnelle à la distance à l’axe de rotation de la planète, d’autant plus grande et parallèle au champ de gravitation que la latitude est proche de zéro. Le champ de pesanteur est donc plus faible à Cayenne car la force centrifuge le diminue significativement .

4. Comme en 2. , de la relation T = 2 π

^q`_g

on tire par différenciation logarithmique

∆ T T ≈ 1

2

∆ g

g ≈ 0 , 5 × 10

⁻⁹

(on supprime le signe − pour les incertitudes). Cela nécessite donc une très grande précision

²

de 0 , 5 ns par seconde.

1. cf programme de SPE. Il s’agit de la masse multipliée par l’opposé de l’accélération centripète dans un mouvement circulaire de rayonR,mRω², dirigée perpendiculairement à l’axe de rotation.

2. Pour information, les horloges atomiques actuelles embarquées dans les satellites GPS (qui distribuent le temps pour les téléphones mobiles notamment) définissent le temps avec une incertitude de 10 ns par seconde. La définition de la seconde par le BIPM (horloge atomique à Cesium) est connue à 5×10⁻¹⁵s par seconde. Le record actuel (2018) avec une horloge à Strontium est de 2,5×10⁻¹⁹s par seconde ! !

1

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Le pendule vertical

5. L’élongation ` − `

0

d’un ressort usuel est de l’ordre du centimètre. Elle est directement proportionnelle au poids de l’objet fixé à la base de ce ressort, via une relation du type k ( ` − `

0

) = mg . Donc la variation relative de l’élongation est

^∆(`−`_`−`0⁰⁾

=

^∆g_g

' 10

⁻⁸

, d’où une variation de l’élongation

∆( ` − `

0

) = ( ` − `

0

) . ∆ g

g ∼ 0 , 1 nm !

6. La longueur ` remplace l’allongement ` − `

0

précédent. Pour une même raideur le ressort sera donc beaucoup plus court. On peut donc travailler avec une raideur plus faible pour augmenter l’allongement

` , et donc augmenter la précision ∆ ` requise pour une incertitude relative

<sup>∆`</sup><sub>`</sub>

=

^∆g_g

à atteindre.

I.2. Gravimètre à fléau de LaCoste et Romberg

7. L’énergie potentielle de pesanteur est E

_ppes

= mgh où l’altitude h de la masse m est mesurée par rapport au point O , donc h = −a sin θ . L’énergie potentielle élastique est E

_pel

=

¹2

k ( s − s

0

)

²

donc

E

_p

= −mga sin θ + 1

2 k ( s − s

0

)

²

.

8. Les coordonnées des extrémités du ressort sont A = (0 , y ) et B = ( b cos θ, −b sin θ ) donc s

²

= − − →

AB

²

= ( b cos θ − 0)

²

+ ( −b sin θ − y )

²

⇔ s =

^q

b

²

+ y

²

+ 2 yb sin θ . Remarque : ce résultat peut aussi s’obtenir par le « Théorème d’Al Kashi », c’est-à-dire :

− − → AB

²

= ( −→

AO + − − →

OB )

²

= y

²

+ b

²

+ 2 −→

AO. − − →

OB = y

²

+ b

²

+ 2 yb cos(

^π2

+ θ ) = y

²

+ b

²

+ 2 yb sin θ

9. Le Théorème de la Puissance Cinétique (TPC) appliqué au système {tige + ressort + masse m } s’écrit, dans le référentiel supposé galiléen :

d E

_c

d t = P

pes

+ P

el

+ P

pivots

= − d E

_ppes

d t − d E

_pel

d t + P

pivots

⇔ d E

_m

d t = P

pivots

,

avec E

_m

= E

_c

+ E

_p

l’énergie mécanique, car à l’intérieur les éléments sont indéformables , à part le ressort ce qui est déjà pris en compte. Le système est conservatif si la puissance des forces intérieures et/ou extérieures liées aux liaisons pivot (parties déformables ou en contact avec l’extérieur) est nulle . Les actions (extérieures) de contact exercées par l’axe de rotation Oz fixe conduisent à une puissance P

pivotOz

= M

^Oz_pivot

. θ ˙ nulle car la liaison pivot est supposée parfaite . On peut supposer de même pour les liaisons pivot aux extrémités du ressort. Finalement P

pivots

= 0 donc le système est conservatif.

On peut aussi ré-écrire le TPC ainsi :

^dE_dt^c

= −

^dE_dt^p

= −

^dE_dθ^p

. θ ˙ , ce qui revient à considérer l’action d’un moment résultant Γ = − d E

_p

d θ dirigé selon ~ u

_z

sur un solide en rotation autour de l’axe fixe Oz et de vecteur rotation ˙ θ~ u

_z

.

10. D’après la relation précédente, le système est à l’équilibre ( E

_c

= 0 = constante) si et seulement si Γ =

−

^dE_dθ^p

= 0, c’est-à-dire sur les extrema d’énergie potentielle. Le calcul avec s

0

conduit à Γ = − d E

_p

d θ = mga cos θ − kyb cos θ = ( mga − kyb ) cos θ . Les positions d’équilibre θ

0

correspondent donc à θ

0

= ± π

2 si mga − kyb 6 = 0, sinon toutes les positions sont d’équilibre (équilibre indifférent ).

Une position d’équilibre est stable si c’est un minimum d’énergie potentielle

³

. Or d

²

E

_p

d θ

²

( θ

0

) = ( mga − kyb ) sin θ

0

= ± ( mga − kyb ) pour θ

0

= ± π 2 .

3. En effet la démonstration du cours pourrait être adaptée ici où l’équation du mouvement enθs’écrit :Jθ¨=−^dE_dθ^p(θ).

2

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7 - 16/03/19 - CORRIGÉ _{A. MARTIN} On en déduit que

^π2

et −

^π₂

sont respectivement stable et instable si mga − kyb > 0 , et c’est le contraire si mga − kyb > 0. Cela dépend donc du réglage de y .

11. Les positions d’équilibre ne dépendent pas de g mise-à-part si on se place dans le cas indifférent mga−kyb = 0, ce qui permettrait de mesurer g en ajustant la valeur de y pour obtenir l’équilibre indifférent (peu pratique, peu précis...).

12. On a maintenant pour points d’attache les coordonnées ( y sin φ, y cos φ ) et ( b cos θ,−b sin θ ) donc s

²

= b

²

+ y

²

+ 2 yb (cos φ sin θ − cos θ sin φ ) = b

²

+ y

²

+ 2 yb sin( θ − φ ) d’où

E

⁰_p

= −mga sin θ + 1

2 k

^h

b

²

+ y

²

+ 2 yb sin( θ − φ )

ⁱ

. Tout se passe comme si on mesurait, pour la partie élastique, l’angle θ décalé de φ.

13. On a maintenant Γ

⁰

= − ∂E

_p⁰

∂θ = mga cos θ − kyb cos( θ − φ ) = ( mga − kyb cos φ ) cos θ − kyb sin φ sin θ . Une position d’équilibre θ

0

vérifie

Γ

⁰

= 0 ⇔ tan θ

0

= mga − kyb cos φ

kyb sin φ ⇒ θ

0

= arctan

mga − kyb cos φ kyb sin φ

car θ

0

∈] − π 2 , π

2 [ . Il existe donc une unique position d’équilibre . Pour connaître sa stabilité, on réutilise les expressions précédentes et on calcule

d

²

E

_p

d θ

²

( θ

0

) = ( mga − kyb cos φ ) sin θ

0

+ kyb sin φ cos θ

0

= kyb sin φ (tan θ

0

sin θ

0

+ cos θ

0

) = kyb sin φ cos θ

0

> 0 . Cette valeur étant toujours strictement positive , la position θ

0

est stable .

14. On impose

θ

0

= 0 ⇔ mga − ky

0

b cos φ ⇔ y

0

= mg

0

a kb cos φ . L’équation du mouvement s’obtient grâce au TPC. On la développe au voisinage de θ

0

:

d E

_c

d t = J ¨ θ = Γ( θ ) ≈ Γ( θ

0

) + dΓ

d θ ( θ

0

) . ( θ − θ

0

) = 0 − d

²

E

_p

d θ

²

( θ

0

) . ( θ − θ

0

) ⇔ θ ¨ + ω

₀²

( θ − θ

0

) = 0 avec ω

0

=

^q1_J^d_dθ^2E2^p

( θ

0

). En considérant la valeur de y

0

et θ

0

= 0, ceci conduit à

ω

0

=

s

ky

0

b sin φ J cos θ

0

=

s

mg

0

a tan φ

ma

²

⇔ ω

0

=

s

g

0

tan φ

a .

15. On inverse : φ = arctan 4 π

²

a T

₀²

g

0

!

≈ 9 , 9 × 10

⁻⁵

rad = 5 , 7 × 10

^−3◦

. Il s’agit d’un angle très faible, toute- fois ajustable avec des vis de précision.

16. En utilisant les expressions vérifiées par θ

0

et y

0

, on obtient tan θ

₀⁰

= m ( g

0

+ ∆ g ) a − ky

0

b cos φ

ky

0

b sin φ = mg

0

a − ky

0

b cos φ + m ∆ ga

mg

0

a tan φ = 0 + m ∆ ga mg

0

a tan φ .

⇔ tan θ

⁰₀

≈ θ

⁰₀

≈ ∆ g

g

0

tan φ = 1 , 0 × 10

⁻⁴

rad = 5 , 8 × 10

^−3◦

.

De nouveau il s’agit d’un angle très faible, toutefois mesurable avec un dispositif de précision (via un nouvel ajustement de y par exemple).

3

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I.3. Applications de la gravimétrie

17. On applique toujours la loi de Newton, valable à l’extérieur de la boule puisque celle-ci est à symétrie sphérique : ~ g

_B

= −

^GM_r2^B

~ e

_r

, où la masse M

_B

de la boule s’écrit

^4π3

R

³

µ

⁰

.

Comme −~ e

_r

· ~ e

_z

= cos θ =

^h_r

, on obtient g

_Bz

=

^Gµ04πR_3r3^3h

. Or r

²

= h

²

+ x

²

donc g

_Bz

= 4 πGµ

⁰

R

³

h 3( h

²

+ x

²

)

^3/2

. 18. On peut décomposer le champ de pesanteur local

⁴

g

_z

= g

0

+ ∆ g comme la somme de :

• celui créé par une Terre supposée de masse volumique uniforme µ

_m

, qui vaut ici g

0

;

• celui créé par une boule de masse volumique µ

⁰

− µ

_m

= ∆ µ , qui constitue l’anomalie ∆ g . D’après le calcul précédent en remplaçant µ

⁰

par ∆ µ , cette anomalie vaut ∆ g = 4 πG ∆ µR

³

h 3( h

²

+ x

²

)

^3/2

. 19. La fonction ∆ g ( x ) est paire, et décroissante avec |x|. La valeur maximale obtenue pour x = 0 vaut

∆ g

max

= 4 πG ∆ µR

³

3 h

²

, ce qui donne ∆ g ( x ) =

^∆gmax 1+^x2

h2

3/2

.

La largeur à mi-hauteur ∆ x est donc telle que 1 + ∆ x

²

4 h

²

!³₂

= 2 ⇔ ∆ x = 2 h

q

√

3

4 − 1 ≈ 1 , 5 h . Plus h est grand, plus le maximum est faible (car le défaut est éloigné) et plus l’anomalie est étalée, ce qui donne les allures ci-contre pour h

1

< h

2

.

• O x

∆ g h

1

h

2

20. Sur la courbe proposée on lit la largeur à mi-hauteur ∆ x = 120 m donc h ≈ 78 m, puis la valeur maximale

∆ g

max

= 2 , 8 · 10

⁻⁶

m · s

⁻²

permet de déterminer R = 3 h

²

∆ g

max

4 πG ∆ µ

!1/3

= 39 m.

21. Il faut que l’effet cumulé de l’or et de la grotte s’annulent, donc d’une part disposer l’or sous la forme d’une boule située au centre, et d’autre part faire en sorte que la masse totale de l’or soit la même que celle manquante dans la grotte, ce qui est possible uniquement si l’or est plus dense que le sol, ce qui est le cas .

La grotte vide vide est en fait remplie d’air de masse négligeable, donc on peut considérer ∆ µ = −µ

_m

. La masse maximale d’or est donc m

or

= 4

3 πR

³

µ

_m

= 8 , 4 × 10

³

kg.

22. Les grottes étant vides, elles correspondent à des anomalies négatives . Si la première est à une profon- deur h , la seconde est à une profondeur environ

³2

h et décalée horizontalement d’environ h , donc forme une anomalie moins intense et plus étalée . Le graphe obtenu est ci-dessous (composantes individuelles en pointillés).

x

∆ g

4. Attention erreur d’énoncé : liregzet nongBz...

4

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II. Planètes extra-solaires

1. a) La force exercée par l’étoile sur la planète s’écrit − →

F = −G mM EP

³

. − − →

EP = −G mM

r

²

.~ e

_r

, qu’on notera F ( r ) ~ e

_r

. Pour calculer l’énergie potentielle d’interaction, on peut supposer l’étoile fixe et donc seule- ment la force de l’étoile sur la planète.

δW = − → F . d − − →

EP = F ( r ) ~ e

_r

. (d r~ e

_r

+ r d ~ e

_r

) = F ( r )d r

car ~ e

_r

. d ~ e

_r

= 0 (car il est de norme constante). On en déduit δW = − d E

_p

( r ) en posant E

_p

( r ) = − GmM r , qui est bien nulle à l’infini.

b) On note ~ v la vitesse de la planète P dans R . Le théorème du moment cinétique appliqué à P au point E fixe dans R galiléen s’écrit :

d ~ σ ( E ) d t

_R

= − − →

EP ∧ − →

F = r~ e

_r

∧ F ( r ) ~ e

_r

= ~ 0 ⇒ ~ σ ( E ) = − − →

EP ∧ m − → v = −−−−−−→

constante = ~ σ

0

. Ainsi, à tout instant le vecteur position − − →

EP est orthogonal au moment cinétique constant ~ σ

0

, donc la trajectoire du mouvement appartient au plan orthogonal à ~ σ

0

passant par E . Le mouvement est donc plan .

2. a) On utilise les coordonnées et la base polaires dans un repère centré sur l’étoile E . Pour un mouvement circulaire de rayon a , le Théorème de la Résultante Cinétique (TRC) dans R galiléen conduit à

−ma θ ˙

²

= − K

a

²

selon ~ u

_r

, avec K = GM m .

Ceci conduit à ˙ θ

²

=

^GM_a3

, qui est une constante donc le mouvement est uniforme (ce qui découle aussi de la conservation du moment cinétique). La vitesse angulaire est donc égale à sa valeur moyenne :

θ ˙ =

^2π_T

θ ˙

²

=

^GM_a3







= ⇒ a

³

T

²

= GM

4 π

²

qui est la 3ème loi de Kepler . Ainsi le rapport

^a_T³2

pour la trajectoire d’un satellite pour un même astre central fixe est le même quelque soit le satellite.

b) En prenant la masse du Soleil pour 51-Peg on obtient a = GM

_S

T

²

4 π

²

!¹₃

= 7 , 4 × 10

⁹

m = 0 , 049 u . a.

3. a) La trajectoire elliptique est un état d’état d’ énergie mécanique constante E

m

=

¹2

mv

²

−

^{GM m}_r2

. Donc par conservation, la distance au centre de force r diminue lorsque v augmente et vice versa.

Ainsi la vitesse maximale v

_M

est obtenue pour r

_M

minimale, donc au périastre (ou péri- centre).

Inversement la vitesse minimale v

_m

est obtenue pour r

_M

maximale, donc à l’apoastre (ou apocentre).

b) Le moment cinétique de P en E est conservé, et s’écrit ~ σ ( E ) = mr~ u

r

∧ ( ˙ r~ u

r

+ r θ~ ˙ u

_θ

) = mr

²

θ ~ ˙ u

z

. Il est constant donc C = r

²

θ ˙ est constante. À l’apocentre et au péricentre ˙ r = 0 donc ~ v = r θ~ ˙ u

_θ

=

^C_r

~ u

_θ

en ces positions. On en déduit |C| = r

_m

v

_m

= r

_M

v

_M

.

On rappelle que r

_m

= r

max

= a + c et r

_M

= r

min

= a − c ici. D’où v

m

v

_M

= r

M

r

_m

= a − c a + c = 1 −

^a_c

1 +

^c_a

⇔ v

m

v

_M

= 1 − e 1 + e . Ce rapport est bien positif car e < 1 pour une ellipse.

SCHEMA ellipse, a , c , r

max

et r

min

.

5

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Autre méthode possible (pas celle suggérée par cet énoncé...) : introduire l’équation polaire de la trajectoire et la paramètre p, r =

_{1+ecos(θ−θ}^p ₀)

. On en déduit r

_m

= r

max

=

_1−e^p

et r

_M

= r

min

=

_1+e^p

, d’où le résultat.

c) La relation précédente repose sur la conservation du moment cinétique, donc il faut maintenant chercher une relation issue de la conservation de l’énergie. Pour une trajectoire elliptique on a E

_m

=

−

_2a^K

, donc dans le but de réutiliser le résultat précédent :

K

rm

=

¹2

mv

²_m

+

^K_2a

K

rM

=

¹2

mv

²_M

+

_2a^K







⇒ r

_M

r

_m

=

v_m² v²_M

+

_av^GM2

M

1 +

_av^GM2 M

⇔ 1 − e 1 + e =

(1−e)² (1+e)²

+

_av^GM2

M

1 +

_av^GM2 M

⇔ GM av

²_M

2 e

1 + e = 1 − e 1 + e

1 − 1 − e

1 + e

= 1 − e 1 + e

2 e

1 + e ⇔ v

_M

=

s

GM

a .

s

1 + e

1 − e . Cette vitesse devient infinie pour e → 1 car alors c → a (qui est fixé et fini) et donc le péricentre est confondu avec le centre de force, d’où une énergie potentielle infinie négative.

Méthode plus rapide que celle suggérée par l’énoncé : 1

2 mv

_M²

= K r

_M

− K

2 a avec r

_M

= a − c = a (1 − e ) . . . d’où le résultat.

d) En 2.a) on a trouvé ˙ θ

²

=

^GM_a3

. Or pour un mouvement circulaire v

0

= ||~ v

0

|| = a| θ| ˙ , d’où v

0

=

s

GM

a et v

_M

v

0

=

s

1 + e

1 − e . On retrouve bien v

_M

= v

0

pour un mouvement circulaire, pour lequel e = 0.

Application numérique :

^v_v^M₀

≈ 2 , 3 pour 16 CygB.

4. a) Le barycentre est défini par m − − → OP + M − − →

OE = ~ 0 ⇔ − − → EO = m

m + M

− − → EP , d’où

V ~ = d − − → OE d t

_R

= − m M

d − − → OP d t

_R

= − m

M ~ v ⇒ V = m M v .

b) La loi de Kepler trouvée précédemment pour v donnait pour un mouvement circulaire v =

^2πa_T

=

2π T

GM T² 4π²

¹₃

=

^2πGM_T ¹³

. D’où V = m 2 πG

M

²

T

¹₃

.

c) On en déduit m = V M

²

T 2 πG

!¹₃

≈ 9 × 10

²⁶

kg. Il s’agit d’une planète géante . 5. On peut réutiliser la relation trouvée en 4.a) d’où m = M

^V_v^M

M

, et celle trouvée en 3.d) : v

_M

= v

0 q1+e

1−e

avec v

0

=

^2πGM_T ¹³

d’après 4.b) . Ceci conduit à m = V

_M

M

²

T 2 πG

!¹

3 s

1 − e

1 + e ≈ 7 × 10

²⁵

kg ∼ 10 M

_T

. Cette planète est donc probablement tellurique car de masse plus proche de celle de la Terre.

6

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III. Principe d’un porte-oculaire de lunette astronomique

(d’après Centrale TSI 2016)

III.1. Lunette horizontale

1. T est un solide en rotation uniforme autour d’un axe fixe de vecteur rotation ω~ u

_z

, donc le point A a un mouvement circulaire de rayon a , de vitesse V ~

A∈T

= aω ~ e

_x

.

2. La loi de Coulomb en condition de glissement s’écrit |T

A

| = f N

_A

= f F . Comme la force de frottement sur T , − T ~

_A

, s’oppose à la vitesse de glissement, donc à V ~

A∈T

, on a T

_A

> 0 si ω > 0. Finalement T

_A

= f F . La vitesse de glissement s’écrit : ~ v

_g

= V ~

_A∈T

− V ~ = ( aω− x ˙ ) ~ u

_x

. Comme T

2

a une vitesse nulle initialement, et qu’il lui faut du temps pour se mettre en mouvement à cause de sa masse importante, on a nécessairement

~

v

_g

6 = ~ 0 au début.

3. Le solide T

2

subit les résultantes suivantes :

• son poids M~ g , selon ~ u

_y

;

• la réaction de T : N ~

_A

+ T ~

_A

;

• la réaction des roulements à bille R ~

_b

, nécessairement selon ~ u

_y

car on néglige tout frottement sur la liaison glissière.

4. On se place donc en situation de glissement, d’où T ~

_A

= f F ~ u

_x

. Le Théorème de la Résultante Cinétique (TRC) appliqué à T

2

dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen s’écrit alors :

M x~ ¨ u

_x

= M~ g + N ~

_A

+ T ~

_A

+ R ~

_b

⇒ M ¨ x = f F

par projection selon ~ u

x

, et sous l’hypothèse du glissement qui est valable tant que ˙ x < aω . Comme

˙

x (0) = 0, l’intégration conduit à

V ( t ) = ˙ x ( t ) = f F

M t pour t < t

1

, instant auquel le glissement cesse car V ( t

1

) = V

1

= aω ⇔ t

1

= M aω

f F . Après cet instant, T

2

poursuit son mouvement sans glissement par rapport à T donc

V ( t ) = V

1

= aω ∀t ≥ t

1

.

5. Le calcul précédent conduirait à une durée t

2

=

^{M V}_{f F}⁰

nécessaire pour atteindre la vitesse V

0

.

Comme T est stoppé, la vitesse de glissement vaut maintenant ~ v

_g

= − x ~ ˙ u

_x

. Elle a donc changé de signe, et la loi de Coulomb donne alors T ~

_A

= −f F ~ u

_x

. L’équation du mouvement s’écrit donc maintenant

M x ¨ = −f F d’où V ( t ) = − f F

M ( t − t

2

) + V

0

,

après intégration. L’arrêt est obtenu au bout de la durée t

⁰₂

−t

2

telle que V ( t

⁰₂

) = 0 ⇔ t

⁰₂

− t

2

= M V

0

f F = t

2

. La durée du freinage est donc égale à celle de la mise en mouvement.

Les distances parcourues dans chaque phase seront aussi égales par symétrie de la courbe de vitesse, à savoir D = ´

_t1

0 f F

M

t d t =

^{f F t}_2M²¹

d’où D = M V

₀²

2 f F .

6. Si V

0

≤ V

1

, la distance parcourue est d = 2 D =

^{M V}_{f F}⁰²

≤

^{M V}_{f F}¹²

=

^{M a}_{f F}^2ω2

, donc d < d

_m

= M a

²

ω

²

f F . Si d > d

_m

, alors V

0

> V

1

et donc T

2

passe par une phase de non glissement intercalée entre la phase d’accélération et celle de freinage.

7

PCSI 1 - Stanislas DS de PHYSIQUE N

^◦

7 - 16/03/19 - CORRIGÉ _{A. MARTIN}

0 t

V ( t )

d

_m

Application numérique : ω =

^1×2π₁

, d’où d

_m

= 0 , 20 mm. Ainsi on a toutes les chances de passer par la phase intermédiaire de non glissement, qui va constituer la grande majorité du déplacement, ce qui garantit une bonne précision dans la maîtrise du positionnement du dispositif.

7. On applique le théorème scalaire du moment cinétique selon l’axe fixe Az au système { molette + T }.

Pendant le glissement T

_A

= f F , et ω est constante donc le moment cinétique est constant, d’où 0 = M

^Az_astro

+ M

^Az_{contact A}

+ M

^Az_pivot

+ M

^Az_pes

⇔ 0 = 2 F

_d

b − f F a + 0 + 0

car la liaison pivot de la tige est supposée parfaite (en l’absence de données...) et le centre de masse du système est sur l’axe Az . On en déduit ⇔ F

_d

= f F a

2 b = 0 , 3 N.

Pendant le non glissement T

_A

= M V ˙ = 0 car le mouvement de T

2

est alors uniforme, et donc F

_d

= 0.

Cela signifie qu’une fois que T

2

est lancé, l’entraînement nécessite une force nulle (aux frottements de la glissière négligés près).

8. Au regard des questions précédentes, on a intérêt à augmenter F pour minimiser la distance occupée par les phases de glissement, mais pas trop car sinon la force à appliquer sur la molette au démarrage et au freinage devient trop importante pour une manipulation confortable.

III.2. Lunette inclinée

9. On projette le TRC selon l’axe du tube Ox maintenant incliné. Le tube T se met à glisser vers le bas si M x ¨ = M g sin α − f F > 0 ⇔ α > α

max

= arcsin

f F

M g

= 31

^◦

.

L’angle de visée ce jour là étant de l’ordre de α = 58

^◦

, il faudra un dispositif de serrage additionnel.

8