(1)PCSI 1 - Stanislas DS de PHYSIQUE N durée 4H A

PCSI 1 - Stanislas DS de PHYSIQUE N^◦5 - 17/01/15- durée 4H A. MARTIN

SIGNAUX

I. Filtre de Hartley

1. Il s’agit d’un pont diviseur de tension avec deux impédances identiques : s=¹₂u. 2. Basse Fréquence (BF) : la bobine équivaut à un fil doncs= 0. SCHEMA

Haute Fréquence (HF) : le condensateur équivaut à un fil doncs=¹₂u= 0. SCHEMA Il s’agit donc d’un filtre passe-bande.

3. On noteAle nœud connectant la résistance, la capacité et l’inductance, et on place une masse sur le conducteur d’où partent les flèches. SCHEMA

La loi des nœuds en terme de potentiel s’écrit :u_R¹ +jCω+_jLω¹ =_R^e + 0 +_jLω^s . En injectantu= 2set en regroupant on obtient H = ¹

2+2RC jω+^R_Ljω¹, d’où H= H0

1 +jQx−¹_x , où

H0=¹₂ est legain à la résonance(enx= 1), ω0=^√1

2LC est lapulsation propre, et Q=R^qC

2L est le facteur de qualité.

4. Les pentes des asymptotes sont respectivement de +20 dB.dec⁻¹à gauche et−20 dB.dec⁻¹à droite. Ceci est cohérent avec le fait que GdB= 20 logH0−20 log

r

1 +Q²x−¹_x²

!

et donc les asymptotes sont GdB ∼

x→020 logH0−20 logQ+ 20 logx et GdB ∼

x→∞20 logH0−20 logQ−20 logx

5. On lit sur le diagrammea=−6 dB ora= 20 logH0doncH0= 0,5, ce qui est cohérent avec la valeur théorique ci-dessus. On litb=−42 dB orb= 20 logH0−20 logQdoncQ= 631, ce qui est cohérent avec la caractère aigü de la résonance. En effet la bande passante est de l’ordre de ∆x∼0,01 or ∆x= 1/Q doncQ∼100.

On en déduit R=Q^q2L

C = 8,9 kΩ.

6.

BF :H ∼

x→0 H0

Qjxdoncϕ ∼

x→0 π 2. HF :H ∼

x→∞

H0

Qjx doncϕ ∼

x→0−^π₂. EnfinH(x= 1) =H0doncϕ(x= 1) = 0.

La courbe réelle est symétrique par rapport à l’origine (ϕ(x) est impaire) et très rapprochée de l’axe des ordon- nées carQest grand.

7. Calculons la fréquence propre (de résonance) f0= ¹

2π√

2LC = 11,3 kHz.

D’après les comportements asymtotiques reportés ci-dessus, le filtre joue le rôle de dérivateur à BF (pour x1,eest multiplié parjω), donc approximativement pourx <0,1 ouf <1,1 kHz.

Il joue le rôle d’intégrateur à HF (pourx1,eest divisé parjω), donc approximativement pourx >10 ouf >1,1.10²kHz.

Toutefois, ces fonctions sont obtenues en dehors de la bande passante, horsle gain à la résonanceH0

est faible donc les signaux intégrés ou dérivés seront très faibles.

8. La composante continue est éliminée carG(x= 0) = 0. La partie variable est à la fréquence de résonance.

OrG(x= 1) =H0etϕ(x= 1) = 0. D’où s1(t) =H0E_1mcos(ω1t) . 9. Valeur efficace (RMS) :E2=

s 1 T2

R T2

2

−T2 2

e²₂(t)dt=^q_T¹

2E_2m² T2donc E2=E_2m = 1,0 V.

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10.

11. G(x) =H0

1 +Q²x−¹_x² −1

2 . Pour les 3 premiers harmoniques, on obtient respectivement les am- plitudes G(¹₃)^4E_π^2m = 0,004 V, G(1)−¹₃^4E_π^2m =−0,21 V et G(⁵₃)¹₅^4E_π^2m = 0,002 V. On peut donc éliminer les harmoniques de rang 1 et 5 puisque leurs amplitudes sont respectivement de l’ordre de 50 et 100 fois plus faibles. Ainsi s2(t)≈ −^4E_3π^2mH0sin(3ω2t) . On n’a conservé que l’harmonique de rang 3, d’où le nom du filtre.

12. On n’est plus en RSF donc on ne peut plus raisonner avec les relations précédentes (valables en complexes).

On revient donc aux lois de Kirchhoff. Les deux bobines étant en série et identiques, elles sont soumises à la même tension. Doncu= 2s. Oruest continue pour un condensateur et il est déchargé àt= 0 donc

s4(0⁺) = 0 .

13. On a donc aussi^ds_dt =¹₂^du_dt. Or àt= 0⁺, le courant est nul dans les bobines (il doit rester continu) donc le courantiqui circulant dans la résistance de gauche à droite entre totalement dans le condensateur : i(0⁺) =C^du

dt(0⁺). De plus àt= 0⁺on aE_4m=Ri+u=Ri+0 donci(0⁺) =E_4m/Ret ds4

dt(0⁺) =E4m

2RC . 14. En partant de la fonction de transfert canonique que l’on multiplie en haut et en bas par^jx_Q, on obtient

(jx)²+jx Q+ 1

s=H0

jx

Q ⇔ d²s dt²+ω0

Q ds

dt+ω²₀s=H0ω0

Q de dt . 15. CommeQ¹₂, le discriminent de l’équation caractéristique ∆ =ω²₀¹

Q²−4est négatif. Le régime est donc pseudo-périodique et s4(t) =A e⁻

ω0t

2Q cos(Ωt+ϕ) avec Ω =ω0 q

1−_4Q¹2 etA >0 par convention.

On as4(0⁺) = 0 =Acosϕdoncϕ=±^π₂. Dans la suite, on approxime les résultats compte-tenu du fait queQ= 631 : Ω≈ω0et^ds_dt⁴=A e⁻

ω0t 2Q h

−ωsin(Ωt±^π₂)−_2Q^ω0cos(Ωt±^π₂)ⁱ≈ −ω0A e⁻

ω0t

2Q sin(Ωt±^π₂).

On a ^ds4

dt(0⁺) =^E4m

2RC =−ω0Asin(±^π₂).

Ceci conduit àϕ = −^π₂ car A > 0 etA =

E4m 2RCω0=^E4m

2R q2L

C =^E4m

2Q, et donc s4(t)≈E4m

2Q e^−ω0t2Q sin(ω0t) . L’allure est représentée ci-contre avecτ =^2Q_ω (l’écart entreτ etT0 = 2π/ω0 est très sous-0

estimé).

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II. Mouvement d’un caillou sur un pneu

Figure1 – Repérage du problème. Figure2 – Trajectoire du caillou accroché à la roue.

1. a) La distancedxparcourue par le centreCde la roue est égale à la distance parcourue par le point de contact avec la route. Vu que la roue roule sans glisser, cette distance vautRdθ. Ainsi :

dx=Rdθ =⇒dx

dt=v0=Rθ˙=⇒ ω=v0

R= cte b) On a ˙θ=^v0

R=cte, d’où par intégration au cours du temps, avecθ(0) = 0 : θ=v0

Rt+ 0 =ωt. 2. D’après la relation de Chasles :−−→

OM=−−→ OC+−−→

CM.

Or la roue avance en mouvement rectiligne uniforme à la vitessev0, doncCa un mouvement uniquement selonOx, à la cote constantez_C=R, et évoluant selonx_C=v0t. Donc :

−−→OM = [v0t−u→_x+R−→u_z] +R−→u_r

= [Rθ−u→_x+R−u→_z] +R[−sinθ−u→_x−cosθ−→u_z]

=⇒

(x(t) =R[θ−sinθ]

z(t) =R[1−cosθ]

3. a) On dérive le vecteur position deM :







−

→v =^d

−−→OM

dt =Rω[(1−cosθ)−u→_x+ sinθ−→u_z]

−

→a =^d_dt^−→v =Rω²[sinθ−→u_x+ cosθ−→u_z]

b) Au moment oùMest en contact avec le sol,θ= 0 [2π], alors :

(−→v_contact=−→ 0

−

→a_contact=Rω²−→u_z

4. On constate quex(t)est toujours croissante(^dx_dt=Rω[1−cosθ]≥0). De plus,z(t) estbornéeentre 0 et 2R, avec des points de contact sur le sol (points de rebroussement) tous lesθ= 0 [2π], c’est-à- dire tous lesx= 0 [2πR]. La trajectoire du caillou, dans le référentiel terrestre, a donc l’allure suivante représentée dans la Fig. 2 (cycloïde).

5. Le caillou, au moment où il se détache, possède la vitesse qu’il avait sur la roue. Or−→v .−→u_x=^dx_dt ≥0, donc le cailloupartira vers l’avant(il aura ensuite un mouvement de chute libre, jusqu’à éventuellement rencontrer à nouveau la roue).

6. Le caillou a unmouvement circulaire de rayon R autour de C(fixe dansR⁰).

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III. Enroulement d’un fil

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IV. Point glissant à l’intérieur et à l’extérieur d’une sphère

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