PCSI 1 - Stanislas DS de PHYSIQUE N

(1)

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^◦

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MÉCANIQUE

I. Mouvement d’un satellite terrestre

1. [G] =

_[m^[d²2^]]

[F ] = L

²

M

⁻²

MLT

⁻²

= M

⁻¹

L

³

T

⁻²

. L’unité est le kg

⁻¹

.m

³

.s

⁻²

= N.m

²

.kg

⁻²

.

2. On suppose le référentiel géocentrique R galiléen, et on projette le principe fondamental sur la base polaire, ce qui conduit pour un mouvement circulaire (r = constante) à

(~ u

_r

) − r θ ˙

²

= − G M

T

r

²

(1)

(~ u

_θ

) r θ ¨ = 0 (2)

On en déduit ¨ θ = 0 donc la vitesse (algébrique) v = r θ ˙ est constante. Le mouvement est donc uniforme.

3. La vitesse étant constante, elle est égale à la vitesse moyenne : v = 2πr T .

4. L’Eq. (1) donne par ailleurs v

²

= G

^M_r^T

, donc

^4π_T²2^r²

= G

^M_r^T

. D’où la troisième loi de Kepler : r

³

T

²

= GM

_T

4π

²

. 5. D’après l’Eq. (1), v

_L

=

s GM

_T

R

_L

' 1 × 10

³

m · s

⁻¹

. La période est obtenue par la loi de Kepler : T

_L

= 2π

s R

³_L

GM

_T

' 2, 4 × 10

⁵

s ' 3 × 10

¹

j.

6. La force gravitationnelle d’attraction par la Terre étant centrale de centre O, le théorème du moment cinétique dans R galiléen s’écrit

^d~^σ(O)_dt

R

= ~ 0 donc ~ σ(O) = −−−−−−→

constante .

• En supposant ~ σ(O) 6= ~ 0, sinon le mouvement est rectiligne, à tout instant ~ σ(O) = −−→

OM ∧ m~ v =

−−−−−−→

constante. Donc −−→

OM est à tout moment orthogonal à ~ σ(O), et donc le point M est toujours dans le plan perpendiculaire à ~ σ(O) passant par O. Ainsi, le mouvement est plan.

• On pose ~ σ(O) = σ ~ u

_z

. Dans le plan du mouvement Oxy on adopte les coordonnées polaires. On obtient σ = mr

²

θ. Or la vitesse aréolaire vaut ˙

^dA_dt

=

¹₂

r

²

θ, donc elle est constante, ce qui constitue la ˙ seconde loi de Kepler : le rayon-vecteur balaie des aires égales pendant des durées égales.

• Comme C = r

²

θ ˙ = constante, le sens de rotation est fixé et ne peut changer au cours du mouvement, et le mobile ne peut atteindre le centre de force (r = 0) sauf si C = ˙ θ = 0.

7. On calcule le travail élémentaire de la force gravitationnelle et on l’intègre, en tenant compte du fait que

~

u

r

.d~ u

r

= 0 car ~ u

r

est de norme constante : δW = − GM

_T

m

r

²

~ u

_r

. d~ r = − GM

_T

m

r

²

~ u

_r

. (dr~ u

_r

+ rd~ u

_r

) = − GM

_T

m

r

²

dr = −dE

p

avec E

_p

= − GM

T

m r , en prenant conventionnellement l’énergie nulle à l’infini. La force est donc conservative.

8. Le satellite est donc un système conservatif, son énergie mécanique se conserve au cours du temps. Par ailleurs le moment cinétique σ = mr

²

θ ˙ est aussi conservé. En utilisant ces deux relations on obtient :

E

_m

=

¹₂

m~ v

²

+ E

_p

(r) =

¹₂

m( ˙ r

²

+ r

²

θ ˙

²

) + E

_p

(r) =

¹₂

m r ˙

²

+ E

_p_eff

(r) = cte avec E

_p_eff

(r) = σ

²

2mr

²

+ E

_p

(r)

1 PCSI 1 - Stanislas DS de PHYSIQUE N

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une énergie potentielle effective, dont l’allure est représentée ci-dessous.

Du point de vue de la variable r, le système est analogue à un système à un degré de liberté r ayant pour énergie potentielle E

_p_eff

(r). L’équation ci-dessous implique E

_m

= cte ≥ E

_p_eff

(r).

Si E

_m

≥ 0 alors le mouvement n’est pas borné car r −→

t→∞

∞.

Un tel état, de diffusion, ne correspond pas au mouvement d’un satellite qui doit être dans un état lié : E

_m

< 0 donc le mouvement est borné entre des distances r

1

et r

2

véri- fiant E

_m

= E

_p_eff

(r

_1,2

). Ainsi, le satellite a un mouvement plan inscrit entre deux cercles de centre O et de rayons r

1

et r

2

.

r E

peff

E

_m

r

1

r

2

9. E

_m

= E

_p_eff

(r

_1,2

) ⇔ E

_m

r

²

+ Kr −

_2m^σ²

= 0 en posant K = GM

T

m. Les solutions s’écrivent

r

_1,2

= − K 2E

_m



 1 ± s

1 + 2σ

²

E

_m

mK

²



 .

10. Si le mouvement est circulaire de rayon r

0

, alors r

0

= r

1

= r

2

, ce qui implique d’une part (annulation du discriminent)

σ

²

2m + K

²

4E

_m

= 0 ⇔ E

m

= − mK

²

2σ

²

mais aussi

r

0

= − K

2E

_m

⇔ E

_m

= − K 2r

0

.

Or dans ce cas on a aussi σ = mr

0

v

0

où v

0

est la vitesse algébrique (orthoradiale et constante). Finalement ceci conduit à

E

_m

= − K

²

2mr

²₀

v

²₀

= − K 2r

0

⇔ r

0

= K

mv

²₀

ou r

0

= GM

T

v

²₀

, qui est la relation obtenue au 5..

Remarque : on peut retrouver cette relation en cherchant le minimum r

0

de E

_p_eff

(r), puisque le mouvement circulaire correspond au fond du puits de potentiel.

2

(2)

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II. Sismographe de Lacoste

1. Le triangle OAB est isocèle en O, de côté OA = OB = a et d’angle au sommet θ

_B

− θ. Donc sa base vaut AB = ` = 2a sin

θ

_B

− θ 2

.

Remarque : on peut retrouver ce résultat en utilisant l’angle inscrit

^θ^B₂^−θ

associé à l’angle au centre θ

_B

−θ.

On peut aussi utiliser le théorème de Pythagore généralisé et obtenir ` = a q

2(1 − cos(θ

_B

− θ)) , qui conduit au même résultat à l’aide de la formule trigo de l’angle moitié.

2. L’énergie cinétique et l’énergie potentielle de pesanteur sont concentrées au point M de masse m, dont le mouvement est circulaire de rayon b. Sa vitesse est b θ~ ˙ u

_θ

dans la base polaire, donc E

_c

=

¹₂

mb

²

θ ˙

²

. Sa hauteur est y = b sin θ donc E

_p_pes

= mgb sin θ. Enfin il faut considérer l’énergie potentielle élastique liée à l’existence du ressort, de longueur à vide nulle : E

_p_él

=

¹₂

k`

²

= 2ka

²

sin

²

^θ^B₂^−θ

. Ceci conduit à

E

_m

=

¹₂

mb

²

θ ˙

²

+ E

_p

(θ) avec E

_p

(θ) = mgb sin θ + 2ka

²

sin

²

θ

_B

− θ

2 . 3. La position d’équilibre vérifie nécessairement

dE

_p

dθ (θ

_E

) = 0 ⇔ mgb cos θ

_E

− 2ka

²

sin θ

_B

− θ

_E

2 cos θ

_B

− θ

_E

2 = 0

⇔ mgb cos θ

_E

= ka

²

sin(θ

_B

− θ

_E

) ⇔ cos θ

_E

= ka

²

mgb (sin θ

_B

cos θ

_E

− sin θ

_E

cos θ

_B

)

⇔ tan θ

_E

= sin θ

_B

−

^mgb

ka²

cos θ

_B

⇔ θ

_E

= arctan sin θ

_B

−

^mgb

ka²

cos θ

_B

! , puisque θ

_E

∈] −

^π₂

;

^π₂

[.

Cet angle est nul à la condition θ

_E

= 0 ⇔ sin θ

_B

= mgb ka

²

.

4. a) Le référentiel du laboratoire étant considéré galiléen, le théorème de la puissance cinétique s’écrit

dEm

dt

= −h~ v

²

= −hb

²

θ ˙

²

= θ . ˙ ^h mb

²

θ ¨ +

^dE_dθ^p

ⁱ







⇒ mb

²

θ ¨ = −hb

²

θ− ˙ dE

_p

dθ ⇔ mb

²

θ ¨ = −hb

²

θ ˙ − mgb cos θ + ka

²

sin(θ

_B

− θ) . b) Pour les petits mouvements autour de θ

_E

= 0, on développe au premier ordre non nul

− dE

_p

dθ (θ) ≈ − dE

_p

dθ (θ

_E

) − d

²

E

_p

dθ

²

(θ

_E

) (θ − θ

_E

) = 0 − κ(θ − θ

_E

) avec κ = d

²

E

_p

dθ

²

(θ

_E

) Le calcul donne, avec θ

_E

= 0,

κ = −mgb sin θ

_E

+ ka

²

cos(θ

_E

− θ

_B

) = ka

²

cos θ

_B

= ka

²

q

1 − sin

²

θ

_B

d’où κ = ^q k

²

a

⁴

− m

²

g

²

b

²

en utilisant la condition obtenue en 3.. L’équation du mouvement sans forçage est alors

mb

²

θ ¨ ≈ −hb

²

θ ˙ − κθ ⇔ d

²

θ dt

²

+ ω

0

Q dθ

dt + ω

²₀

θ ≈ 0

avec ω

0

= r κ

mb

²

=

"

k

²

a

⁴

m

²

b

⁴

− g

²

b

²

#

¹₄

= a b

s k

m cos θ

_B

et Q = mω

0

h .

Les paramètres ω

0

et Q sont caractéristiques du système donc ne changent pas en présence d’un forçage extérieur.

3 PCSI 1 - Stanislas DS de PHYSIQUE N

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5. L’équation étant linéaire à coefficients constants, on peut passer en complexes en notant que θ = <e θ

_m

e

^i(ωt−ϕ)

.

−ω

²

+ ω

0

Q iω + ω

₀²

θ

_m

e

^i(ωt−ϕ)

= ω

²

Y

0

b e

^iωt

⇒ θ

_m

= x

²

Y

0

/b q

(1 − x

²

)

²

+

_Q^x²2

.

6. On obtient le graphe ci-dessous, qui comporte une faible résonance au-delà de x = 1.

Il s’agit d’un filtrage passe-haut.

Les oscillations du sol seront bien reproduites lorsque θ

_m

≈

Y0

b

donc typiquement pour x & 2 ⇔ ω & 2ω

0

.

x

bθm Y0

1 1

7. On a ici ω

₀²

=

^ka²

mb²

cos θ

_B

<

^ka²

mb²

valeur qu’on obtiendrait pour θ

_B

= 0, c’est-à-dire pour un sismographe assimilable à une simple masse au bout d’une ressort. A condition que a ≈ b, la valeur non nulle de θ

_B

permet donc de réduire la pulsation propre ω

0

, et donc d’abaisser la limite des pulsations mesurables, donnant accès à des mouvements plus lents.

4

(3)

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III. Étude d’un accéléromètre pendulaire (d’après X-ENS MP 2014)

1. Considérons le mouvement d’un bras de longueur ` = 50 cm qui effectue un demi-tour « rapide » en une durée τ = 0,25 s. Il lui correspond une vitesse moyenne v

_moy

=

_τ^`

= 2 m · s

⁻¹

. Si l’on considère qu’en fin de parcours, le bras est freiné de v

_moy

à 0 en τ

⁰

= 0,1 s, l’accélération finale est a

_rapide

= `

τ τ

⁰

' 20 m · s

⁻²

= 2g.

Si l’on multiplie par 10 les durées pour décrire un mouvement lent, on obtient a

lent

' 0,2 m · s

⁻²

= 0, 02g.

On se situe donc dans les intervalles précisés par la fiche constructeur.

Remarques : le mouvement consistant à laisser tomber son bras tenant la manette en chute libre correspond à une accélération de 1g. Partant de là, il est raisonnable de considérer que l’on peut obtenir des accélération légèrement supérieures avec un effort, ou moins fortes en retenant son mouvement.

Les mesures effectuées sur des volleyeurs montrent que leur bras peuvent atteindre une accélération de l’ordre de 20g lors de la frappe du ballon !

2. Notons x la position de l’extrémité gauche du ressort, solidaire du boîtier, et `

0

la longueur à vide du ressort (correspondant à la position X = 0). Dans R l’abscisse de la masse d’épreuve s’écrit x + `

0

+ X, donc son accélération vaut

¹

(¨ x+ ¨ X) ~ e

_x

= (a+ ¨ X) ~ e

_x

. Ainsi, l’équation du mouvement de la masse m dans ce référentiel est donnée par :

m(a(t) + ¨ X) ~ e

x

= −kX~ e

x

− 2mγ X~ ˙ e

x

+ m~ g + N ~

(où la dernière force est la réaction du support (qui est normale). Après projection selon ~ e

_x

et simplification, on obtient :

X ¨ + 2γ X ˙ + ω

²_r

X = −a(t).

3. Dans tous les cas, la solution particulière est X

_p

= − a

ω

_r²

. Le discriminant réduit de l’équation caractéristique associée à l’équation est δ = γ

²

− ω

²_r

.

1

^er

cas - amortissement faible : γ < ω

_r

⇒ δ < 0. Les solutions s’écrivent : X(t) = − a

ω

²_r

+ exp(−γ t)

A cos ^q ω

²_r

− γ

²

.t

+ B sin ^q ω

_r²

− γ

²

.t

. A et B sont les constantes d’intégration.

2

^e

cas - amortissement fort : γ > ω

_r

⇒ δ > 0.

X(t) = − a ω

²_r

+ A exp

−γ + ^q γ

²

− ω

_r²

t

+ B exp

−γ − ^q γ

²

− ω

_r²

t

.

4. Comme γ > 0, et ^p γ

²

− ω

²_r

< γ dans le second cas, dans tous les cas lim

t→+∞

X(t) = − a ω

²_r

. 5. Les courbes débutent en X(0) = 0 avec ˙ X(0) = 0 (X et ˙ X sont continues) :

t X

X

_p

γ < ω

_r

t X

X

_p

γ > ω

_r

1. En toute rigueur, ce résultat est valable car les deux référentiels considérés sont en translation l’un par rapport à l’autre, auquel cas la dérivation par rapport à l’un est assimilable à la dérivation par rapport à l’autre (les bases restent identiques et fixes).

cf programme de SPE.

5 PCSI 1 - Stanislas DS de PHYSIQUE N

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6. 1

^er

cas : oscillateur faiblement amorti. Le temps de réponse est τ = 1 γ .

2

^e

cas : oscillateur fortement amorti. Il y a a priori deux constantes, car il y a deux exponentielles décrois- santes. Il faut considérer le temps de réponse le plus grand, puisque c’est celui qui décrira l’amortissement le plus lent.

Ainsi, τ = 1 γ − ^p γ

²

− ω

²_r

.

7. On sépare les deux cas, qui se rejoignent pour γ = ω

_r

:

γ 0

τ

ω

_r

8. Le temps de réponse minimal est celui correspondant au régime critique γ = ω

_r

. Il vaut τ = 1 ω

r

. 9. On se trouve dans le cas pseudo-périodique, d’où τ = 1

γ = 2Q

ω

_r

' 1 × 10

⁻⁴

s. Le déplacement stationnaire est, en valeur absolue, X

_p

= a

ω

_r²

' 1 × 10

⁻⁸

m.

10. Le temps de réponse et la sensibilité, caractérisée par X

_p

, sont tous deux des fonctions décroissantes de la pulsation ω

_r

. Ainsi, un temps de réponse court est incompatible avec une grande sensibilité.

Cette propriété est indépendante du coefficient d’amortissement, mais peut être agrâvée par le choix d’un régime transitoire non critique (donc plus long).

11. Le principe fondamental de la dynamique s’écrit maintenant

m(~a + ¨ X ~ e

_x

) = −kX~ e

_x

− 2mγ X~ ˙ e

_x

+ m~ g + N ~ d’où après projection selon ~ e

_x

,

X ¨ + 2γ X ˙ + ω

_r²

X = (~ g −~a).~ e

_x

Ainsi, le dispositif mesure la composante de la différence entre la pesanteur ~ g et l’accélération ~a du boîtier sur

~

u, soit (~ g − ~a) · ~ u . On retrouve bien le résultat précédent en prenant ~ u = ~ e

_x

et ~a = a(t)~ u puisque ~ g = −g ~ e

_z

.

6

(4)

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IV. Courbes approche-retrait en microscopie à force atomique (d’après X-ESPCI PC 2009)

IV.1. Mouvement de la sonde loin de la surface

1. On applique le principe fondamental dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen, et on projette selon l’axe du mouvement Oz :

m¨ z = −k(z − d) − λ˙ z + F

0

cos(ωt) 2.

[ω

²₀

] = [k]

[m] = [kx]

[mx] = MLT

⁻²

ML = T

⁻²

donc [Q] = [m][ω

²₀

][v]

[λv] = MT

⁻¹

LT

⁻¹

MLT

⁻²

= 1 soit [Q] = 1 . [a

_m

] = [F

0

]

[k] = [F

0

][x]

[kx] = [x] donc [a

_m

] = L . [u] = [ω]

[ω

0

] donc [u] = 1 . 3. Ré-écrivons l’équation du mouvement sous forme canonique :

¨ z + ω

0

Q z ˙ + ω

²₀

(z − d) = ω

²₀

a

_m

cos(ωt) .

Posons Z = z − d = a cos(ωt + ϕ) pour éliminer la solution particulière correspondant à la position d’équilibre. On a ˙ Z = ˙ z et ¨ Z = ¨ z, donc

Z ¨ + ω

0

Q

Z ˙ + ω

²₀

Z = ω

²₀

a

_m

cos(ωt) .

On passe en notation complexe dans l’équation du mouvement en posant Z = z − d = <e (Z) avec Z = a e

^i(ωt+ϕ)

:

−ω

²

+ ω

0

Q iω + ω

²₀

a e

^i(ωt+ϕ)

= ω

²₀

a

_m

e

^iωt

⇔ a e

^iϕ

= a

_m

1 − u

²

+ i

_Q^u

⇒ a = a

_m

q

(1 − u

²

)

²

+

_Q^u²2

La courbe a(u) admet une résonance en u

r

= ^q 1 −

_2Q¹2

< 1 si Q >

^√¹₂

, avec pour amplitude maximale u

max

= q

^{Q a}^m

1− ¹ 4Q2

. Ainsi, la résonance est d’autant plus intense que Q est grand. On trace en pointillés la courbe intermédiaire pour Q =

^√¹

2

.

u a

1 a

_m

Q <

^√¹

2

u a

1 a

_m

Q >

^√¹

2

4. ν

0

= ω

0

2π = 1 2π

s k

m ' 1 × 10

⁵

Hz.

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IV.2. Réponse près de la surface

5. Lorsqu’on ne prend en compte que les 2 premiers termes de F (z), l’équation du mouvement se trouve modifiée comme suit :

Z ¨ + ω

0

Q Z ˙ + (ω

²₀

−

^B_m

) Z =

^A

m

+ ω

₀²

a

_m

cos(ωt) .

6. Le terme constant A modifie la solution particulière en l’absence de forçage c’est-à-dire la position moyenne, qui devient Z

eq

=

^A/m

ω₀²−B/m

. Ceci conduit à Z

eq

= − K/d

²

k − 2K/d

³

≈ − K

kd

²

' −1 × 10

⁻⁴

nm . L’écart relatif par rapport à z

eq

= d est donc de l’ordre de 10

⁻⁵

soit 0, 001 %.

7. Le terme linéaire de F (z) correspond à une force élastique supplémentaire. Il modifie donc la pulsation propre qui devient ω

⁰₀

=

q

ω

₀²

−

^B_m

. L’écart relatif (très faible) est ω

⁰₀

− ω

0

ω

0

≈ ω

₀⁰²

− ω

²₀

2ω

²₀

= −

^B

2mω²₀

= −

_kd^K3

' 8 × 10

⁻⁶

= 0, 0008% . Remarque : on obtient le même résultat directement par un développement limité de ω

⁰₀

. 8. CZ

²

= Ca

²

cos

²

(ωt + ϕ) =

^Ca₂²

(1 + cos(2ωt + 2ϕ)).

DZ

³

= Da

³

cos

³

(ωt + ϕ) =

^Da₄³

(3 cos(ωt + ϕ) + cos(3ωt + 3ϕ)).

On voit donc apparaître les pulsations double 2ω et triple 3ω.

8