PCSI 1 - Stanislas DS de PHYSIQUE N ◦ 7 - 14/03/20 - CORRIGÉ A. MARTIN

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MÉCANIQUE

I. Détection des planètes extra-solaires par la méthode des vitesses radiales

(d’après ENS Ulm PC 2019)

I.1. Réduction du problème de Kepler à deux corps

1. Dans R, la planète est soumise à l’attraction de l’étoile et vice versa : m d ² R ~ _P

dt ² _R

= F ~ E→P = − GM m

r ³ ~ r et M d ² R ~ _E dt ²

_R

= F ~ P→E = − F ~ E→P .

2. Par définition du barycentre des masses, on peut écrire R ~ _G = m ~ R _P + M ~ R _E m + M .

3. On applique le Théorème de la Résultante Cinétique au système { Étoile + Planète }, dans R. Les forces intérieures se compensent, d’où

(m + M) d ² R ~ _G dt ²

_R

= ~ 0 ⇔ d R ~ _G dt

_R

= −−−−−−→

constante . Le mouvement de G est donc rectiligne uniforme dans R.

4. On a (m+M ) − − →

OG = m − − → OP +M − − →

OE = (m+ M) − − → OP +M − − →

P E ⇔ R ~ _P = R ~ _G + M

m + M ~ r ⇔ ~ r _P = M m + M ~ r . Par le même raisonnement on obtient R ~ _E = R ~ _G − m

m + M ~ r ⇔ ~ r _E = − m m + M ~ r . 5. R _G étant de façon générale en translation rectiligne uniforme par rapport à R, on a

d ² ~ r _P dt ²

_R

G

= d ² R ~ _P dt ²

_R

= 1

m F ~ E→P et de même d ² ~ r _E dt ²

_R

G

= d ² R ~ _E dt ²

_R

= 1

M F ~ P→E = − 1 M F ~ E→P .

En soustrayant ces deux équations on obtient d ² ~ r

dt ² _R

G

= 1

m + 1 M

F ~ _E→P ⇔ µ d ² ~ r d t ² _R

G

= F ~ = F ~ _E→P = − GM m r ³ ~ r

Ainsi on étudie maintenant la mouvement d’une particule fictive de masse µ qui représente le mouvement relatif de P par rapport à E dans R _G , et qui est soumise à la force d’attraction de E sur P .

On retrouvera ensuite les trajectoires de P et E grâce aux homothéties suivantes trouvées en 4. :

~ r _P = M

m + M ~ r et ~ r _E = − m m + M ~ r .

Ayant ramené le problème à deux corps (donc 6 degrés de liberté) à un problème à un corps (3 degrés de liberté), on dit que l’on a réduit le problème de Kepler.

Remarque : dans la suite on assimile R G à R, et G à O d’après l’énoncé (car cela n’ajouterait qu’une translation au mouvement trouvé.

1

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I.2. Résolution du mouvement relatif

6. Posons K = GM m , la force appliquée à la particule fictive X l’électron est F ~ = − ^K _r

2

~ e _r . Pour un dépla- cement élémentaire d −−→

OX avec −−→

OX = r~ e _r , le travail élémentaire reçu par l’électron s’écrit δW = F .d ~ −−→

OX = − K

r ² ~ e _r .(dr~ e _r + rd~ e _r ) = − K

r ² dr car ~ e _r .d~ e _r = 0 puisque ~ e _r est de norme constante. On en déduit

δW = −dE p (r) avec E _p (r) = − K r .

La fonction E _p ne dépend que de la position de M donc la force est donc conservative.

7. La force gravitationnelle F ~ est centrale de centre G, donc d’après le théorème du moment cinétique pour la particule X dans R galiléen en G fixe :

d L(G) ~ dt

_R

= ~ r ∧ F ~ = ~ 0 donc L(G) = ~ ~ r ∧ µ~ v = −−−−−−→

constante = ~ L 0

Donc à tout instant ~ r est orthogonal à ~ L 0 . Ainsi le mouvement est inscrit dans le plan orthogonal à ~ L 0

passant par G.

8. Le point X étant dans le plan z = 0, le moment cinétique en G s’écrit :

~ L(G) = µr~ e _r ∧ r~ ˙ e _r + r θ~ ˙ e _θ d’où ~ L(G) = L~ e _z avec L = µr ² θ . ˙

9. Le système X(µ) étant soumis uniquement à une force conservative d’énergie potentielle E _p , l’énergie mécanique

E _m = 1

2 µ( ˙ r ² + r ² θ ˙ ² ) − GM m r

est constante au cours du mouvement. En introduisant le moment cinétique L = µr ² r ˙ lui aussi constant on obtient

E _m = 1

2 µ r ˙ ² + E _peff (r) avec E _peff (r) = L ²

2µr ² − GM m r .

10.

On représente ci-contre l’allure de E _peff (r) (trait épais) et de ses 2 contributions (traits fins).

L’énergie mécanique vérifie à chaque instant E _m ≥ E _peff (r)

ce qui impose deux bornes au mouvement à la condi- tion que E _m < 0 . Il s’agit alors d’un état lié.

r E _peff (r)

0 r min

r max

r 0

E m

E 0 L

²

2µr

²

− ^{GM m} _r

11. D’après 9., et comme ˙ r = 0 lorsque X est au périastre ou à l’apoastre, on a en ces points uniquement : E _m = E _peff (r) = L ²

2µr ² − GM m

r ⇔ L ²

2µGM m u ² − u − E m

GM m = 0 avec u = 1 r .

2

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Ce trinôme admet 2 solutions distinctes ¹ u _± =

1 ± ^q 1 + _µG ^2L

₂²

^E

^m

M

²

m

²

L

²

µGM m

or µ = M m M + m = M m

M _t d’où M m = M _t µ et

r min = p

1 + e et r max = p

1 − e avec p = L ²

GM _t µ ² et e = s

1 + 2L ² E _m G ² M _t ² µ ³ Pour obtenir un état lié, on s’est placé dans le cas où E _m < 0 donc 0 ≤ e < 1 .

12. On effectue le changement de variable de Binet u = ¹ _r après avoir éliminé le temps dans la dérivée temporelle, en utilisant L = µr ² θ ˙ :

˙ r = dr

dθ dθ dt = dr

dθ L µr ² = − L

µ d ¹ _r dθ = − L

µ du

dθ et E _peff (u) = L ²

2µ u ² − GM t µ u d’où .

E _m = A 0 du

d θ 2

+ A 1 u ² + A 2 u avec A 0 = A 1 = L ²

2µ et A 2 = −GM _t µ .

13. L’énergie mécanique étant constante, on peut la dériver par rapport à θ pour obtenir une équation du mouvement, en notant que A 0 = A 1 :

∀θ, 0 = 2A 0

du dθ

d ² u

dθ ² + 2A 1 u du dθ + A 2

du

dθ ⇔ ∀θ, d ² u

dθ ² + u = − A 2

2A 0

= GM _t µ ² L ² = 1

p .

Il s’agit bien d’une équation de type oscillateur harmonique, avec une pulsation propre vis à vis de θ égale à 1. La solution générale s’écrit

u(θ) = A cos(θ + ϕ) + 1 p

à l’aide de 2 constantes d’intégration A > 0 et ϕ qui peuvent être déduite du fait que u(θ = 0) est le périastre : u(θ = 0) = u max . Ceci implique que cos(θ + ϕ) est maximal en θ = 0 donc nécessairement ϕ = 0. On en déduit







u(θ = 0) = u max = ¹

r

min

= ^1+e

p

= A cos ϕ + ¹ _p = A + ¹ _p ⇒ A = e p .

Finalement on obtient

u(θ) = e p cos θ + 1

p ⇔ r(θ) = p 1 + e cos θ .

Remarque : il s’agit bien de la méthode de Binet, mais appliquée à l’équation de l’énergie et non au PFD/TRC comme dans le cours. Le système étant conservatif et ramené à un degré de liberté cela est équivalent.

14. Le mouvement est circulaire si et seulement si r = constante, donc e = 0 dans l’expression ci-dessus. On obtient alors r 0 = p = L ²

GM t µ ² .

Comme ˙ r = 0 la vitesse s’écrit ~ v = r 0 θ~ ˙ e _θ = v~ e _θ et le moment cinétique L = µr 0 v. Comme ce dernier est constant la vitesse v est elle aussi constante, et vaut v 0 = ^L

µr

0

donc v 0 = GM t µ L . 1. On retrouve bien l’expression du paramètre p =

^µC2

K

que l’on aurait eue en résolvant le PFD avec avec la méthode de Binet.

3

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15. Comme v 0 = r 0 θ ˙ = constante, alors ˙ θ = ω 0 = constante, et donc θ(t) = θ 0 + ω 0 t en notant θ(0) = θ 0 . En réinjectant L = µr 0 v 0 dans l’expression de v 0 précédente on obtient

v ₀ ² r 0 = GM _t or v 0 = r 0 ω 0 donc ω ² ₀ r ₀ ³ = GM _t .

Il s’agit de la 3 ^ème loi de Kepler, que l’on peut aussi écrire _T ^r

³⁰2

= ^GM _4π

2^t

en notant T = ^2π _ω

0

la période du mouvement circulaire.

16. À t = 0 on a x(0) = r cos θ 0 > 0 et y = r sin θ 0 = 0, donc θ 0 = 0 . On en déduit x(t) = r 0 cos(ω 0 t) et y(t) = r 0 sin(ω 0 t) . I.3. Cinématique de l’étoile en présence d’une planète

17. D’après la question 4., on a

~ r _P = 1

1 + β ~ r et ~ r _E = − β 1 + β ~ r . Par projection on obtient donc







x P = _1+β ¹ r 0 cos(ω 0 t) y _P = _1+β ¹ r 0 sin(ω 0 t) et







x E = − _1+β ^β r 0 cos(ω 0 t) y _E = − _1+β ^β r 0 sin(ω 0 t) 18.

Les rapports d’homothétie pour les trajectoires de P et E sont respectivement de _1+β ¹ = ³ ₄ pour P et

− _1+β ^β = − ¹ ₄ pour E.

Les trajectoires sont toutes des cercles concen- triques, dont les rayons sont dans les rapport sus- cités.

À chaque instant les points (E, P, X) sont alignés dans cet ordre. Ces trois points tournent en même temps, à la même vitesse angulaire ω 0 .

19. On peut dériver le vecteur position sur la base cartésienne qui est fixe,

~ r _E (t) = x _E (t)~ e _x + y _E (t)~ e _y ⇒ ~ v _E = − β

1 + β r 0 ω 0 (− sin(ω 0 t)~ e _x + cos(ω 0 t)~ e _y ) puis en notant que ~ e _x .~ n = ~ 0 et ~ e _y .~ n = cos( ^π ₂ + i) = − sin i on obtient

⇒ v _|| = K cos(ω 0 t) avec K = β

1 + β r 0 ω 0 sin i = m

M _t r 0 ω 0 sin i .

Remarque : pour i < 0 il faudrait ajouter une valeur absolue pour K, ce qui n’est pas suggéré par l’énoncé.

20. On obtient l’allure ci-dessous, en notant T = ^2π _ω

0

la période du mouvement et du signal.

t v _||

0 K

−K

T 2T

4

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D’après l’expression de K et la loi de Kepler trouvée en 15. on obtient : K ³ =

m sin i M _t

3

r ³ ₀ ω ³ ₀ = (m sin i) ³

M _t ³ GM t ω 0 ⇔ (m sin i) ³ (m + M) ² = T K ³

2πG .

Remarque : on voit de nouveau que cette expression requiert une « amplitude » K négative si i < 0, à moins de remplacer sin i par | sin i| ce que l’on fera dans la suite.

21. L’amplitude K du signal sera d’autant plus grande, et donc la mesure plus précise, que l’inclinaison se rapproche de ± ^π ₂ (soit | sin i| = 1), et que la masse de l’étoile M est petite.

22. Si la masse de l’étoile est dominante on obtient m| sin i| ≈ K

³

s T M ²

2πG . En l’absence de connaissances sur i, on a donc

| sin i| ≤ 1 ⇒ m ≥ m _> = K T M ² 2πG

!

¹₃

.

23. La figure présente une période entière T ≈ 11, 0 j.

L’amplitude du signal est K ≈ 1, 5 m.s ⁻¹ .

Cela conduit à une masse minimale m _> ≈ 7, 6 × 10 ²⁴ kg.

24. Pour être détectée, la vitesse de l’étoile doit avoir une amplitude K minimale telle que le décalage en longueur d’onde soit supérieur au minimum perceptible lorsque la vitesse est maximale :

|v || | = K = c δλ λ ≥ c ∆λ

λ ⇔ K ≥ c

P _R .

25. En réutilisant les résultats de 22. et 24. on obtient

P _R ≥ c K = c

m _>

T M ² 2πG

!

¹₃

= 2, 0 × 10 ⁸ . Il s’agit d’un pouvoir de résolution très élevé.

II. Modélisation de la chute d’un arbre (d’après (inspiré de) Mines Ponts PC 2019 ) II.1. Initiation d’un apprenti bucheron

1. On applique le Théorème de la Résultante Cinétique (TRC) au bûcheron dans le référentiel terrestre R supposé galiléen. À l’équilibre (le bûcheron le glisse pas), et la force exercée par le fil (qui est de masse nulle) sur le bûcheron est − F ~ :

~ 0 = R ~ 2 + m~ g − F ~ ⇒







~

u _x : T 2 = F cos α

~

u _z : N 2 = mg − F sin α La condition de non glissement s’écrit

|T 2 | = T 2 ≤ f N 2 ⇔ F cos α ≤ f mg − f F sin α ⇔ F ≤ F max = f mg cos α + f sin α .

5

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2. De même on applique le TRC dans R à l’arbre, en supposant la condition de non glissement établie. On obtient

~ 0 = R ~ 1 + M~ g + F ~ ⇒







~

u x : T 1 = −F cos α

~

u _z : N 1 = M g + F sin α La condition de non glissement s’écrit

|T 1 | = −T 1 ≤ f N 1 ⇔ F cos α ≤ f M g + f F sin α ⇔ F ≤ f M g cos α − f sin α . Or on a

F max = f mg

cos α + f sin α = m M

f M g

cos α + f sin α ≤ m M

f M g

cos α − f sin α ≤ f M g cos α − f sin α .

Donc cette seconde condition de non glissement est bien toujours vérifiée si la première l’est, c’est-à-dire si F ≤ F max .

3. Le poids de l’arbre admet un point d’application au centre de l’arbre. Le bras de levier est a et le signe négatif, d’où Γ _g = −M ga .

4. Le bras de levier de la force F ~ est OB sin α = `cos α sin α, et il est positif. On obtient Γ <sub>B</sub> = F `cos α sin α . On applique le Théorème du Moment Cinétique Scalaire (TMCS) à l’arbre par rapport à l’axe fixe (O, ~ u y ).

Le moment des actions de contact est nul car elles sont appliquées au point O sur l’axe. À l’équilibre on a donc

0 = Γ _g + Γ _B ⇔ F min = M ga

` cos α sin α .

Si F est supérieure à cette valeur, alors Γ _g + Γ _B > 0 et donc l’arbre se mettra à tourner.

5. Cette force F min = _`sin(2α) ^{2M ga} est la plus faible possible lorsque sin(2α) est maximal, donc pour α = π 4 . 6. • En temps normal, on voit que F min < F max sur un large domaine d’angles α autour de ^π ₄ . Donc

le bûcheron peut choisir relativement librement son point d’attache, donc a intérêt à prendre α = π

4 .

• En temps de pluie on voit que pour tout α on a F max < F min , donc le bûcheron ne peut faire tomber l’arbre, il va glisser.

Une solution possible est d’augmenter la longueur ` de la corde pour abaisser la courbe de F min (trait fin) sans modifier F max (trait épais pointillé). On voit que le bûcheron va retrouver une plage d’angles α possible au delà de ^π ₄ .

II.2. Déracinement d’un arbre par une bourrasque

7. Lorsque l’arbre est vertical, le moment résultant des actions du vent par rapport à l’axe (O, ~ u _y ) s’écrit en parcourant la face gauche du tronc au point M de coordonnées (x = −2a, y = 0, z) :

Γ _v = ~ u _y . ˆ _H

0

−−→ OM ∧ d F ~ _v = ~ u _y . ˆ _H

0

(−2a~ u _x + z~ u _z ) ∧ C _x ρ _a U ² 2adz~ u _x = ~ u _y .~ u _y C _x ρ _a U ² 2a ˆ _H

0

zdz

d’où Γ v = C x ρ a U ² aH ² .

Remarque : on peut trouver un point d’application M _v (x = −a, y = 0, z = z _v ) de la force du vent, dont la résultante est

F ~ _v = ˆ H

0

d F ~ _v = C _x ρ _a U ² 2aH ~ u _x , en écrivant

Γ _v = ~ u _y . −−→

OM _v ∧ F ~ _v = C _x ρ _a U ² 2aHz _v ⇒ z _v = H 2 .

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On retrouve le résultat selon lequel pour une force agissant uniformément sur une surface, le point d’ap- plication est au « centre », c’est-à-dire à l’isobarycentre de la surface d’action.

8. Sans calcul, on peut remarquer que pour θ 6= 0, le bras de levier va être multiplié par cos θ, mais c’est aussi le cas de la section transverse au vent, dS = 2adz cos θ. In fine on obtient Γ _v (θ) = Γ _v (0).(cos θ) ² . Remarque : On peut retrouver cela en modifiant l’intégrale précédente : l’abscisse du point M doit être modifiée mais cela n’influe pas sur le résultat, et la borne supérieure z = H est modifiée en z = H cos θ, ce qui conduit bien à une dépendance en cos ² θ.

9. • On a Γ _r (θ = θ _c ) = 0 en θ = 10 ^◦ donc θ _c = 10 ^◦ .

• On a Γ r (θ = 0) = Γ 0 et on lit une discontinuité de −9 × 10 ³ N.m, donc Γ 0 = −9 × 10 ³ N.m.

• Le minimum correspong à dΓ _r

d θ (θ _m ) = 0 ⇔ 4 θ _c − 10θ _m

θ ² _c = 0 ⇔ θ _m = 2 5 θ _c = 4 ^◦ . Le minimum vaut alors Γ r (θ m ) = 9

5 Γ 0 = −16 × 10 ³ N.m. Ces deux valeurs sont conformes à celles lues sur le graphe à la précision près disponible.

10. L’équilibre correspond, d’après le TMCS, à la compensation des deux moments résultants : Γ _v + Γ _r (θ).

• On raisonne ici au voisinage de θ = 0, où Γ _r varie tellement brutalement qu’on l’a modélisé par une discontinuité. Γ _r (0) varie en fait brutalement sur une plage [Γ 0 , 0]. Donc un équilibre est possible uniquement si p < 1 . Cet équilibre est stable car si Γ _v augmente un peu, |Γ _r | augmente aussi, ce qui ramène l’arbre à sa position initiale.

• Sur la partie continue, donc θ > 0, un équilibre est possible si Γ _v ∈ [0, |Γ _r (θ _m )|] avec Γ _r (θ _m ) = ⁹ ₅ Γ 0 , donc si p ∈ [0; ⁹ ₅ ] soit p ∈ [0; 1, 8] .

C’est équilibre est toutefois instable sur la partie croissante de Γ r (θ), c’est-à-dire pour θ e ≥ θ _m , car si Γ _v croît un peu alors |Γ _r | décroît, d’où l’évolution vers le déracinement. Inversement l’équilibre est stable si θ _e < θ _m .

En réalité il y a deux équilibres possibles pour chaque valeur de Γ _v , donc un phénomène d’hysteresis.

Pour accéder aux équilibres instables en θ _e ≥ θ _m il faut momentanément franchir la valeur θ = θ _m , ce qui est possible si l’arbre a suffisamment d’élan, ou si la limite p = 1, 8 est dépassée pendant une courte durée. C’est pourquoi les équilibres stables au voisinage de θ _m ne sont en fait pas très sûrs, car le basculement du côté instable est dynamiquement possible.

11. On applique le théorème de l’énergie cinétique à l’arbre, qui est ici modélisé comme un solide en rotation autour d’un axe fixe avec une liaison pivot idéale c’est-à-dire sans frottement. En effet le moment résultant Γ _r (θ) rend complètement compte de l’interaction avec le sol et du travail des forces intérieures à l’arbre.

Par ailleurs le poids est négligé, donc entre θ(t = 0) = 0 (énergie cinétique nulle) et l’angle θ(t) quelconque, la variation d’énergie cinétique est égale à la somme des travaux des actions du vent et de Γ _r . La puissance de ce système de forces sur le solide est calculée au point fixe O, donc elle se réduit aux termes liés à la rotation :

dE _c arbre

dt = P v + P r = Γ _v θ ˙ + Γ _r (θ) ˙ θ = (Γ _v + Γ _r (θ)) ˙ θ d’où par intégration

1

2 J θ ˙ ² − 0 = ´ _t

0

Γ _v θ ˙ + Γ _r (θ) ˙ θ dt = ´ _θ

0 (Γ _v + Γ _r (θ ⁰ )) dθ ⁰

= |Γ 0 | ´ _θ

0

p − 1 − 4 _θ ^θ

⁰

c

+ 5 ^θ _θ

⁰²2 c

dθ ⁰

= |Γ 0 | θ _c ´ u

0 (p − 1 − 4u ⁰ + 5u ⁰² ) du ⁰

= |Γ 0 | θ _c (p − 1)u − 2u ² + ⁵ ₃ u ³ d ⁰ où 1

2 J θ ˙ ² = |Γ 0 | θ _c uP (u) avec P (u) = (p − 1) − 2u + 5

3 u ² et u = θ θ _c .

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12. L’expression ci-dessus est une intégrale première de l’énergie, qui peut permettre de définir une énergie potentielle de telle sorte que l’énergie mécanique est constante et nulle :

1

2 J θ ˙ ² + E _p (u) = 0 avec E _p (u) = −|Γ 0 | θ _c uP (u) . Cette égalité impose E _p (u) ≤ 0, ou P (u) ≥ 0, pour qu’il y

ait mouvement. On représente ci-contre cette énergie po- tentielle pour deux valeurs de p (u _m = 0, 4 correspond à la position θ = θ _m du minimum de Γ _r (θ)). Le mouvement est donc borné et oscillatoire si E _p (u) devient positif sur un domaine tel que u ≤ 1, donc si P (u) devient négatif.

Dans le cas contraire le mouvement conduit nécessaire- ment au déracinement.

u E _p (u)

0

1 0.4

u max

p = 1, 5

p = 1, 8 On trouve immédiatement que P (u) est minimal en u 0 = ³ ₅ = 0, 6, avec la valeur P (u 0 ) = p − ⁸ ₅ = p− 1, 6.

Les racines existent donc si p − 1, 6 ≤ 0 donc le mouvement est borné si p < p _c = 1, 6 , avec une borne en la première racine u max < u 0 = 0, 6 (racine à gauche du sommet car c’est la première annulation de ˙ θ qui est atteinte). Ainsi, il y aura nécessairement déracinement si p > p _c = 1, 6 . Les deux cas représentés ci-dessus sont conformes à ce résultat.

On voit que cette condition est plus contraignante que celle de l’existence des positions d’équilibre (p <

1, 8). On retrouve en cela la remarque de la question 10. : si p ∈ [1, 6; 1, 8] alors le système admet des positions d’équilibre au voisinage de θ _m = 4 ^◦ , mais il ne va pas s’y arrêter à cause de son élan, et va les dépasser jusqu’au déracinement.

La vitesse critique U _c à ne pas dépasser correspond donc à

p _c = Γ _{v c}

|Γ 0 | = C _x ρ _a U _c ² aH ²

|Γ 0 | ⇔ U _c =

s p _c |Γ 0 |

C _x ρ _a aH ² = 11 m.s ⁻¹ ≈ 39 km.h ⁻¹ , en utilisant la loi des gaz parfaits pour retrouver ρ _a = ^M

^air

^P

^atm

RT

atm

≈ 1, 2 kg.m ⁻³ pour P atm = 10 ⁵ Pa et T = 288 K (température moyenne à la surface du globe).

13. On raisonne comme précédemment. La valeur maximale de θ est obtenue quand ˙ θ = 0 donc quand P (u) = (p − 1) − 2u + 5

3 u ² = 0 .

Il y a deux racines à cette équation mais c’est la plus petite qui nous intéresse, à savoir u max = 3

5 − 3 5

r 8 3 − 5p

3 ⇔ θ max = 3θ _c

5 1 −

r 8 3 − 5p

3

!

= 2, 0 ^◦ .

En réalité, les oscillations entre θ = 0 et θ max sont amorties, donc l’arbre se stabilise en sa position d’équilibre θ ∞ , qui est la première racine de l’équation

Γ _v = −Γ _r (θ) ⇔ p = 1 + 4u − 5u ² . . . Le calcul explicite n’est pas demandé.

8