Stanislas - PCSI Concours Blanc de PHYSIQUE N

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MÉCANIQUE - THERMODYNAMIQUE

I. Etude d’un moteur à injection (d’après EIA ATS/TSI 2001) I.1. Thermodynamique du moteur à allumage commandé

a. Cycle moteur ditherme théorique

1. L’énergie et l’entropie étant des fonctions d’état, leur variation est nulle sur un cycle, ce qui conduit à 0 = W + Q _f + Q _c et 0 = Q _f

T _f + Q _c

T _c + S _c avec S _c ≥ 0, où S _c représente l’entropie créée au cours du cycle.

• Par définition d’un cycle moteur, on a W < 0.

• Par conséquent on a aussi Q _f + Q _c > 0 (premier principe). Or le second principe impose Q _c =

− ^T _T

^c

f

Q _f − T _c S _c . Cette équation réinjectée donne Q _f (1 − _T ^T

^c

f

) > T _c S _c > 0 donc comme T _c > T _f on a Q _f < 0.

• Enfin, comme Q _f + Q _c > 0 cela implique Q _c > 0.

On retrouve bien que le moteur consomme de la chaleur en provenance de la source chaude et en relâche vers la source froide.

2. Le rendement est le rapport de l’énergie produite sur l’énergie consommée : η = − W

Q _c = 1 + Q _f Q _c . En réinjectant de nouveau l’égalité du second principe ci-dessus, on obtient η = 1 − ^T _T

^f

c

− ^T _Q

^f

c

S _c . Comme Q _c > 0 et S _c ≥ 0, on a η ≤ 1 − T _f

T _c . b. Modélisation du cycle moteur réel

3. Par définition γ = ^C _C

^p

v

. Par ailleurs, pour un gaz parfait H = U + pV = U + nRT. Donc C _p = ^dH _dT =

dU

dT + nR = C _v + nR (relation de Mayer). Ceci conduit à C _v = nR

γ − 1 et C _p = γnR γ − 1 .

4. On calcule la variation d’entropie sur un chemin réversible, donc quasi-statique, donc tel que le travail des forces de pression s’écrit δW = −pdV :

dS = δQ rev

T = 1

T (dU + pdV ) = nR γ − 1

dT T + nR dV

V = nR

γ − 1 d ln(T V ^γ−1 ) d’où en intégrant

S = S 0 + nR

γ − 1 ln T V ^γ−1 T 0 V ₀ ^γ−1

!

= S 0 + nR γ − 1 ln

pV ^γ p 0 V ₀ ^γ

= S 0 + nR

γ − 1 ln T ^γ p ^1−γ T ₀ ^γ p ^1−γ ₀

!

5. On applique les résultats précédents en préservant les formes en fonction de la température.

• phases adiabatiques quasi-statiques (1 → 2 et 4 → 5) : le calcul précédent donne dS = 0 (lois de Laplace vérifiées), donc S = S 1 ou 4 = cte (droite verticale) ;

• phases isochores (2 → 3 et 5 → 1) : S = S 2 ou 5 + nR γ − 1 ln

T T 2 ou 5

;

• phase isobare (3 → 4) : S = S 3 + γnR γ − 1 ln

T T 3

.

1 C. Lacpatia - A. Martin - N. Piteira

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Ainsi, les isochores et les isobares apparaissent comme de courbes logarithmiques de S en fonction de T, ces der- nières ayant une pente plus forte pour un même point.

Inversement ce sont donc des exponentielles pour T en fonction de S, les isochores étant de pente plus forte en un même point. Ceci conduit à l’allure ci-contre pour le cycle dans le plan (T, S) :

6. On a dS = ^δQ _T

^rev

donc Q rev = Z

chemin

TdS . Il s’agit bien de l’aire algébrique sous les courbes des trans- formations.

Ici on a plus particulièrement Q _c = ^R ₂ ⁴ TdS, et Q _f = R 1

5 T dS. Donc

Q _c + Q _f = −W = I

cycle

TdS ,

l’aire du cycle représente l’opposé du travail reçu.

Par conséquent le rendement η = − _Q ^W

c

est vi- sualisé par le rapport entre l’aire du cycle et l’aire sous la courbe 2 → 4.

c. Paramétrage du cycle

7. Pour les isochores, Q = ∆U alors que pour les isobares, Q = ∆H. D’où Q 23 = nR

γ − 1 (T 3 − T 2 ) , Q 34 = γnR

γ − 1 (T 4 − T 3 ) et Q 51 = nR

γ − 1 (T 1 − T 5 ) . 8. Comme η = 1 + _Q ^Q

⁵¹

23

+Q

34

, on en déduit η = 1 + T 1 − T 5

T 3 − T 1 + γ(T 4 − T 3 ) . 9. • 1 → 2 vérifie les lois de Laplace (isentropique), d’où T 2 = T 1 a ^γ−1 .

• 2 → 3 est isochore, donc ^P _T

³

3

= ^P _T

²

2

d’où T 3 = T 2 b = T 1 ba ^γ−1 .

• 3 → 4 est isobare, donc ^V _T

³

3

= ^V _T

⁴

4

, d’où T 4 = T 3 r = T 1 rba ^γ−1 .

• 4 → 5 vérifie les lois de Laplace (isentropique), donc T 5 = T 4 V

4

V

B

γ−1

= T 4 r a

γ−1

, d’où T 5 = T 1 br ^γ . 10. En réinjectant ces relations, on en déduit η = 1 + 1 − br ^γ

a ^γ−1 (b − 1 + γb(r − 1)) . 11. On obtient η = 0, 56.

12. On obtient T 4 = 2, 7 × 10 ³ K.

En admettant que le cycle soit parcouru de façon réversible, nécessairement il faut que le système ait une température proche de celle de la source avec laquelle il échange. Ici on suppose donc que T 4 joue le rôle de T _c et T 1 celui de T _f . D’où η max = 1 − T 1

T 4

≈ 0, 89 .

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I.2. Aspects mécaniques du moteur a. Cinématique du piston

13. Par projection sur Oy on a B sin ϕ = −L sin θ (angles orientés).

Par projection sur Ox on obtient : x = L cos θ + B cos ϕ, d’où x = L cos θ + ^p B ² − L ² sin ² θ . 14. La hauteur du cylindre a augmenté de B + L − x, donc V = V _H + S(B + L − x), d’où

V = V _H + S(B + L − L cos θ − ^p B ² − L ² sin ² θ) .

En particulier on retrouve en θ = π que V _B = V _H + S(B + L + L − B) = V _H + 2LS, donc C = 2LS . 15. Il suffit de dériver l’ expression de x précédente : v _p = ˙ x = −L θ ˙ sin θ − L ² θ ˙ sin θ cos θ

√ B ² − L ² sin ² θ . 16. On a donc h ² = 0, 125 1, ce qui nous permet de développer l’expression précédente :

v _P = −L θ ˙ sin θ − Lh θ ˙ sin θ cos θ

√

1 − h ² sin ² θ ≈ K 1 sin θ + K 2 sin 2θ avec K 1 = −Lω et K 2 = − ¹ ₂ Lhω . 17. En redérivant (à ω constant) on obtient a _P = −Lω ² (cos θ + h cos 2θ) .

b. Modèle dynamique du système { piston-bielle-vilebrequin }

18. La vitesse angulaire ˙ θ = ω étant constante, le référentiel du moteur est galiléen si le référentiel terrestre l’est aussi, ce que nous supposons. Dans ce référentiel nous appliquons le Théorème de la Résultante Cinétique (TRC) au piston ¹ , puis nous projetons selon Ox :

M a _P u ~ _x = F ~ + R ~ _B/P + R ~ _C/P − M g ~ u _x ⇒ R _B/P = M(a _P + g) + (P − P 1 )S

cos ϕ .

19. D’après le principe des actions réciproques, R ~ _B/P = − R ~ _{P /B} d’une part, et R ~ _B/V = − R ~ _{V /B} d’autre part.

D’après le TRC appliqué à la bielle de masse nulle, ~ 0 = R ~ _{P /B} + R ~ _{V /B} . On en déduit R ~ _B/V = − R ~ _B/P . 20. On a Γ = ~ u _z .R _B/V ~ u ∧ HO ~ = −L R _B/P sin(−π + θ − ϕ) = L R _B/P sin(θ − ϕ), d’où en développant et en

réinjectant l’expression de R _B/P :

Γ = L ((P − P 1 )S + M (a _P + g))

sin θ − cos θ sin ϕ cos ϕ

.

21. En utilisant l’expression de a _P , et comme précédemment le fait que sin ϕ = −h sin θ, et h ² 1 donc cos ϕ ≈ 1, on en déduit

Γ ≈ L (P − P 1 )S + M g − M Lω ² (cos θ + hcos 2θ) sin θ + ^h ₂ sin 2θ . En éliminant le terme d’ordre deux en h et en simplifiant les fonctions en θ on obtient finalement

Γ ≈ (P − P 1 )SL + M g − ¹ ₂ M L ² ω ² sin 2θ + h sin θ (P − P 1 )SLcos θ + M L ² ω ² sin ² θ . 22. La figure montre que le moment est négatif pour θ ∈ [180

^◦

; 280

^◦

] (3è quart de tour et un peu plus) puis

pour θ ∈ [360

^◦

; 440

^◦

] (5è quart de tour presqu’entier) et enfin pour θ ∈ [540

^◦

; 720

^◦

] (dernier demi-tour).

Pendant ces phases, le piston exerce un travail résistant sur le vilebrequin et donc freine la voiture.

Ces phases ont lieu une fois que l’échappement a eu lieu et avant l’explosion, c’est-à-dire quand la pression dans le cylindre est faible. Elle est alors trop faible pour entraîner le vilebrequin.

23. La puissance mécanique fournie par l’ensemble des quatre pistons est P _m = 4Γ _m ω = 52 kW.

1. sans oublier le poids qui n’était pas rappelé dans l’énoncé...

3 C. Lacpatia - A. Martin - N. Piteira

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II. Objectif Lune (d’après X PC 2015)

1. L’aller retour dure ∆t = 2, 5s soit 2D = c∆t avec c la vitesse de la lumière. Il vient D = c∆t

2 =

3, 8 × 10 ⁸ m.

II.1. Traversée de l’atmosphère

2. Le temps de parcours réel dans l’atmosphère s’écrit : T atm =

Z

épaisseur de l’atmosphere

dz v(z)

où v(z) = _n(z) ^c est la vitesse de la lumière à l’altitude z. En utilisant la méthode de détermination proposée à la ligne 10 (multiplication par c), il vient une distance :

D err = c(T atm + T restant ) = Z

épaisseur de l’atmosphere

n(z)dz + D hors atmosphere . La distance réelle s’écrit :

D réelle = Z

épaisseur de l’atmosphere

dz + D horsatmosphere . En faisant la différence, il vient l’expression demandée.

3. Comme n(z) − 1 est proportionnel à ρ(z), on a nécessairement n(z) − 1 = ^(n(0)−1) _ρ(0) ρ(z) pour respecter la continuité en z = 0. On injecte aussi dans l’expression précédente l’équation de la statique des fluides, d = −ρgdz, ainsi que l’équation d’état des gaz parfaits, ρ 0 = ^{M P(0)} _RT

0

. δD =

Z

épaisseur de l’atmosphere

(n(0) − 1) ρ(0) ρ(z)dz

= Z

épaisseur de l’atmosphere

− RT 0 (n(0) − 1) gP (0)M

dP dz dz

= Z 0

P

0

RT 0 (n(0) − 1) gP (0)M dP

d’où δD = (n 0 − 1)H avec H = RT 0

M g

où H cela représente un ordre de grandeur de la taille caractéristique de l’atmosphère en le supposant isotherme.

4. H = _29×10 ^8,3×290

−3×9,8

= _9,8 ⁸³ ≈ 8, 5km, ce qui conduit à δD = 2, 5m. L’ordre de grandeur est conforme à celui annoncé dans le texte.

5. Pour une tranche dz, la distance à parcourir est alors _sinh ^dz , il faut donc diviser l’expression précédente par sin h.

II.2. Analyse de la figure 2

6. La période de rotation de la Lune autour de la Terre est de 28 jours, donc durant les quelques heures d’observation, on peut la considérer comme fixe dans le référentiel géocentrique. Par contre, la rotation de la Terre sur elle-même (24h) qui rapproche puis éloigne l’observatoire de la Lune peut expliquer la variation ∆t. t 0 ≈ 3h .

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7. Soit O la position de l’observation, T la position du centre de la Terre et L la position de la Lune. On choisit un système de coordonnées sphériques d’axe Oz l’axe de rotation de la Terre (on suppose qu’il correspond à la positiondu pôle Nord). On prend la référence des azimuth sur l’axe T L supposé fixe selon la question précédente. On note φ la latitude de O et ψ son azimuth.

D = OL = k −→

OLk = k −→

OT + −→

T Lk

= q

OT ² + T L ² + 2 −→

OT · −→

T L

= ^q R ² _T + T L ² − 2R _T T L cos(φ) cos(ψ)

Les distances T L et R _T permettent de faire l’approximation (à l’ordre 1) R _T T L. Il vient : D = T L − R _T cos(φ) cos(ψ) ≈ (T L − R _T cos(φ)) + R _T

2 cos(φ)ψ ² La dernière approximation s’obtient dans l’hypothèse ψ 1.

Par ailleurs, la date t est reliée à la variation de ψ de telle sorte que ψ(t 0 ) = 0 (choix de l’origine dans la direction de T L) et ˙ ψ = ^2π

T

T

. On en déduit ψ = 2π

T _T (t − t 0 ) . Il vient finalement :

∆t = ∆t(t 0 ) + (2π) ² R _T

cT _T ² cos(φ)(t − t 0 ) ² avec ∆t(t 0 ) = 2 (T L − R _T cos(φ)) . (1) Remarques :

• La longueur T L est une constante qui ne sera pas utilisée par la suite. Elle n’est pas définie préci- sémment dans l’énoncé, mais elle est de l’ordre de grandeur de D.

• L’approximation ψ 1 est assez criticable sur une durée de 6h - on commet une erreur de 1/7 quand même).

8. ∆t(t 0 = 3h) = 2, 638s et ∆t(t = 4h55) = 2, 6412s, soit :

cos(φ) = cT _T ² (2π) ² R _T

(∆t − ∆t(t 0 )) (t − t 0 ) ² cos(φ) = 3 × 10 ⁸ × (24 × 3600) ²

4 × 3, 14 ² × 6, 4 × 10 ⁶ 0, 0032 (6900) ²

= 3 × (1, 44 × 6) ² 4 × 3, 14 ² × 6, 4

3, 2

(6, 9) ² 10 ¹ = (0, 78) ² = 0, 60

soit en utilisant la table donnée : φ = ±53

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. On ne peut savoir a priori si l’on est dans l’hémisphère Nord ou Sud mais d’après le résumé, on attend une latitude dans le Sud de la France. On remarque que le calcul est relativement grossier car on se trouve plutôt au Nord de la France.

(Note : une régression linéaire donne φ = ±53

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) II.3. Analyse de la figure 3

9. Hypothèses menant à une trajectoire elliptique :

• Les planètes sont à symétrie sphérique ;

• la seule interaction considérée est l’attraction gravitationnelle de la Terre sur la Lune ;

• la masse de la Terre est grande devant celle de la Lune et donc le référentiel géocentrique est considéré galiléen.

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Remarque : La dernière hypothèse n’est pas en fait nécessaire à condition de travailler dans le référentiel du centre de masse (hors programme).

10. L’excentricité non nulle de la trajectoire elliptique conduit à une variation de la distance Terre-Lune.

11. T = 28 jours. ∆t _max = 2, 67s et ∆t _min = 2, 42s or a = ^r

^max

^+r ₂

^min

= c ^∆t

^max

^+∆t ₄

^min

soit a = 3, 8 × 10 ⁸ m.

En utilisant l’équation de la conique, il vient r _min = _1+e ^p et r _max = _1−e ^p d’où e = ^r _r

^max−rmin

min

+r

max

soit e = 0, 05 . Cette valeur proche de 0 est compatible avec l’hypothèse d’une trajectoire circulaire.

Remarque : De nouveau nous négligeons dans ce calcul le rayon terrestre devant D.

12. Si l’on considère que les mesures ne peuvent se faire que la nuit (rapport signal su bruit trop faible en journée à cause du soleil), les époques de nouvelles Lune ne permettent pas de mesure car la Lune est au dessous de l’horizon la nuit. Cela pourrait aussi être un problème météo.

II.4. Tests physiques

13. La force est toujours centrale : le moment cinétique est conservé.

14. Le PFD appliqué à la Lune dans le référentiel géocentrique s’écrit (en projection sur − → e _r :

−M L Dω _L ² = − GM _L M _T D ²

A ce stade, il faut éliminer D qui peut aussi varier si G varie. Pour cela on utilise la conservation du moment cinétique : on a D ² ω _L = ^L

^Lune

M

L

avec L _Lune le moment cinétique de la Lune. On peut alors éliminer la distance D :

ω _L ^1/2 = GM _T L ^3/2 _Lune

(2) Une diminution de G implique donc bien une diminution de ω _L .

Prenons le logarithme de l’expression : ¹ ₂ ln(ω _L ) = ln(G) + cste. En différenciant et en assimilant la différentielle à une variation, il vient

∆ω _L ω _L = 2 ∆G

G

Une variation relative de G est de 1% donne une variation relative de la vitesse angulaire de 2%.

Remarque : Si on en reste à la loi de Kepler ci-dessus, et qu’on la différencie logarithmiquement à D constant (ce qui n’est pas exact), on trouve ω ² _L = ^GM

^T

D

³

⇒ ^∆ω _ω

^L

L

= ¹ ₂ ^∆G _G = 0, 5 %.

15. Le PFD montre que le produit D ³ ω _L ² est une constante. En prenant à nouveau le logarithme et en différenciant, il vient :

∆D = − 1 3

D

ω _L ² ∆ω ² _L (3)

Si ∆ω ² _L < 0, il vient ∆D > 0 soit un éloignement. De plus :

∆D = − 1 3

D ⁴

GM _T ∆ω ² _L = − 1 3

D ⁴ gR ² _T ∆ω ² _L

=

(3, 8 × 10 ⁸ ) ⁴ × (24 × (4, 8 × 10

⁻⁶

× _3,1×10 ¹⁰

⁻²7

) ² ) 9, 81 × (6, 4 × 10 ⁶ ) ²

= 1 × 10

⁻⁹

m.s

⁻¹

= 3 × cm.an

⁻¹

C’est donc cohérent avec les données de l’énoncé.

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