E 552. Les 2 cordes du dodécagone.
On trace les sommets d’un dodécagone sur la circonférence d’un cercle de telle sorte que les longueurs des arcs qui séparent les sommets adjacents prennent les valeurs entières de 1 à 12 cm dans un ordre arbitraire. On trace toutes les cordes qui joignent les sommets deux à deux.
Démontrer qu’au moins deux d’entre elles sont perpendiculaires.
Analyse de Michel Lafond
On définit un arc composé comme une réunion d’au moins deux arcs simples et adjacents.
Avec n = 12 le périmètre du cercle (somme des longueurs de tous les arcs) est L = 78.
Il est évident que s’il existe un arc composé de longueur L / 2 = 39 (demi-cercle) alors il existe deux cordes perpendiculaires : Figure 1 ci-dessous.
En effet, l’arc (AB) de longueur L / 2 = 39 est un diamètre et il est composé d’au moins deux arcs, donc pour chaque point intermédiaire (comme M) les cordes MA et MB sont perpendiculaires.
Dans la suite, on exclura ce cas.
Si P est un sommet du dodécagone, un arc maximal d’origine P est un arc composé d’origine P, dont la somme des longueurs est la plus grande possible tout en étant strictement inférieure à S / 2.
De chaque sommet P partent donc deux arcs maximaux.
Ainsi sur la figure 2, à partir de P, l’arc maximal gauche P + mesure 38 et l’arc maximal droit P mesure 32. On dira que p+ = 38 et p= 32 sont les poids de P.
On indiquera ces poids en gras et on les désignera par p+ et p. [p+ dans le sens positif à partir de P].
12 11
4
9 3
Figure 1
A
B M
12 11
4 9
7 6
1
8
2
5
10
3 P
P +
P Figure 2
38 32
Le résultat suivant est admis (évident).
Lemme :
Dans le cas (supposé) où aucun arc composé n’est un diamètre, deux cordes distinctes PR et QS (aucune n’étant un diamètre, et l’ordre est PQRS) sont perpendiculaires si et seulement si la somme des longueurs des arcs PR et QS est égale à L / 2 = 39.
Donnons-nous un dodécagone dans lequel aucun arc composé n’est un diamètre.
Supposons (CAS 1) qu’au sommet P, les deux poids p + et p soient égaux comme dans la Figure 3 ci- dessous avec deux poids égaux à 35 en P).
Dans ce cas, on va démontrer simplement l’existence de deux cordes perpendiculaires.
Notons p = p + = p les poids respectifs de PQ = P + et de PR = P (Figure 4 ci-dessous)
Démontrons d’abord par l’absurde que l’arc QR de longueur z est simple.
12 11
4 9
7 3
1 8 2
5
10
6 P
P +
P Figure 3
35 35
z P
poids p + poids p Figure 4
Q R
Figure 4’
Q
Q1 Q2
R z1 z2
[Cela pourrait être utile pour le cas 2].
Si QR était composé, on aurait parmi les 12 arcs donnés, un arc QQ1 de longueur z1 et un arc Q2R de longueur z2 en accord avec la figure 4’.[éventuellement Q1 = Q2]
Par symétrie, on peut supposer z1 < z2 (on ne peut pas avoir l’égalité). On a donc z1 < z / 2.
Or 2p + z = 78 implique p = (78 – z) / 2 donc p + z1 = (78 – z) / 2 + z1 <(78 – z) / 2 + z / 2 = 39.
p + z1 < 39 est contradictoire avec la maximalité de PQ puisque PQ1 serait un arc composé d’origine P et de longueur supérieure à celle de PQ tout en étant inférieure à 39.
QR est donc un arc simple de longueur z = 78 – 2p qui est un nombre pair. Soit z = 2 z’.
Les arcs de PQ et de PR formant deux ensembles disjoints, l’arc A = ST de longueur z’ ne peut pas être à la fois un arc de PQ et un arc de PR. On peut donc supposer que A n’est pas dans PR et dans ce cas, la réunion de PR et de A = ST (PSTR dans l’ordre) a pour longueur p + z’ = (78 – z) / 2 + z / 2 = 39 donc d’après le lemme, les cordes PT et RS sont perpendiculaires.
Application à la Figure 3’ où z = 8 donc z’ = 4 : L’arc ST de longueur 4 appartient à PQ donc n’appartient pas à PR. Par conséquent, PT et SR sont perpendiculaires.
La méthode décrite ci-dessus est facilement programmable, mais uniquement dans le CAS 1.
Il reste le délicat CAS 2 qui se produit lorsqu’en tout point P du dodécagone, les 2 poids sont différents.
C’est le cas de la figure 2 reproduite en Figure 2’ ci-dessous dans laquelle tous les poids ont été indiqués (en gras) :
12 11
4
9
7 3
1 8 2
5
10
6 P
Figure 3’
Q R
S T
12 11
4 9
7
6
1 8
2
5
10
3 Figure 2’
38 32 38
38
38 36
35
32 37
36 37 30 35 32 28
37 29 31
35 36
37 36
32 37
P Q
P’
Q’
R
T
Le raisonnement fait dans le CAS 1 ne s’applique pas. Mais on peut l’adapter ainsi : Le corrigé que vous m’avez envoyé est effectivement disons fantaisiste.
Il est vrai qu’il y a nécessairement des arcs maximaux de mêmes longueur, mais il est faux d’affirmer que nécessairement ils ont une extrémité commune. Ainsi, dans la figure 2’, il y a 3 arcs maximaux de
longueur 37 : (11-4-9-7-6) ; (4-9-7-6-1-8-2) ; (7-6-1-8-2-3-10) mais les 6 extrémités sont toutes
différentes ! Je pense que l’auteur a voulu dire quelque chose comme : il existe*** nécessairement 2 arcs maximaux ayant un arc extrême commun, et de directions opposées.
En effet, dans 2’, on remarque qu’on a l’égalité p+ = q = 38 entre les poids de l’arc PQ [nombres
cerclés]. Cela prouve, après avoir ôté l’arc extrême de longueur 11 commun, que les arcs disjoints PP’ et QQ’ ont la même longueur (à savoir 38 – 11 = 27). Or 39 – 27 = 12 et l’arc PR de longueur 12
appartient à PP’ donc n’appartient pas à QQ’. Par conséquent, on peut appliquer le lemme à la réunion de QQ’ et de PR ce qui donne les cordes perpendiculaires PQ’ et QR.
Un autre couple peut être trouvé par le même procédé en remarquant l’égalité des poids 36 aux extrémités de l’arc de longueur 9. Il conduit aux cordes perpendiculaires PP’ et RT.
*** Le hic, c’est que cette existence n’est pas démontrée. Je vais voir, par informatique, s’il y a des contre-exemples.
