 Manipulations des concepts de base

(1)

X  – MAP 

PC  – mardi  avril  – Espaces probabilis´es

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

Corrigé des exercices non traités surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu après la PC.

 Manipulations des concepts de base

E ^{xercice 1.}

⁽^^ou^⁾

() Soient AetBdeux ´ev´enements tels que A⊂B. On suppose queP(A) =; que dire deP(B) ? Et siP(B) =, que dire deP(A) ?

Soit (A_i)_i≥ une suite d’événements d’un espace probabilisé (Ω,A,P).

() On suppose queP(A_i) =pour touti≥. Montrer queP ∩^∞

i=A_i

=et queP ∪^∞

i=A_i

=.

() On suppose queP(A_i) =pour touti≥. Montrer queP

∪^∞_i=A_i

=et queP

∩^∞_i=A_i

=.

E ^{xercice 2.}

(Indépendances)Alix dispose de quatre livres, un livre de mathématiques, un livre de biologie, un livre de chimie, et un livre mathématiques-biologie-chimie. Alix choisit au hasard, avec la probabilité uniforme, un livre parmi les quatre. NotonsM,BetC les événementsle livre choisi traite notamment de mathématiques(respeivement biologie, chimie). Les événementsM,BetC sont-ils indépendants ?

E ^{xercice 3.}

(Probabilités conditionnelles)Camille cherche un bicorne dans un meuble conitué de sept tiroirs. La probabilité qu’il soit effeivement dans ce meuble ep. Sachant que Camille a examiné les six premiers tiroirs sans succès, quelle ela probabilité qu’il soit dans le septième ?

E ^{xercice 4.}

(Cylindres)Sasha modélise des lancers d’une pièce comme suit. On pose Ω={,}^N^∗. Un élément deΩedonc une suite de et de. Pour ω= (ω_n)_n≥ ∈Ω on interprèteω_k comme le résultat du k-ième lancer ( pour pile,  pour face). Pour tout k ≥  et u_, . . . , u_k ∈ {,} on définit l’ensemble

C_u__,u__,...,u_k ={(ω_n)_n≥:ω_=u_, . . . , ω_k =u_k}. () () Exprimer (par des unions, interseions et complémentaires) les événements suivants en fonc-

tion d’ensembles de type () :

(a) B_n:on obtient pile pour la première fois aun-ième lancer (b) A:le résultat du second lancer epile

(c) C:on n’obtient jamais pile

(d) D_n:on obtient pile au moins deux fois au cours desnpremiers lancers

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.



(2)

On admet l’exience d’une plus petite tribu A contenant tous les ensembles de type () et l’exience d’une probabilit´ePsur (Ω,A) telle que

P

C_u__,u__,...,u_k

= 

^k. ()

() Calculer les probabilités des événementsA, B_n, C, D_nprécédents.

Remarque :On peut prouver queΩn’epas dénombrable, et qu’il n’exie pas de probabilitéP sur (Ω,P(Ω)) telle que () soit vérifiée pour tous les ensembles de type ().

 Lemmes de Borel–Cantelli

E ^{xercice 5.}

(Limite supérieure d’ensembles)Soit (A_n)_n≥une suite d’événements d’un espace pro- babilisable (Ω,A). On pose

lim sup

n→∞ A_nB

\

p≥





 [

n≥p

A_n





 .

() Que représente l’événement lim sup_n→∞A_n?

() SiA=R, donner lim sup_n→∞A_ndans les trois cas suivants : (a) A_n= [−/n,+/n]

(b) A_n= [−−(−)ⁿ,+ (−)ⁿ[

(c) A_n=p_nN, o `u (p_n)_n≥ela suite des nombres premiers etp_nNel’ensemble des multiples dep_n,

() Comparer lim sup_n→∞(A_n∪B_n) et lim sup_n→∞(A_n∩B_n) avec lim sup_n→∞A_net lim sup_n→∞B_n. () Que représente l’événement lim infn→∞A_nBS

p≥

T

n≥pA_n

?

Rappel des lemmes de Borel-Cantelli.

∗ Premier lemme de Borel-Cantelli. Soit (Ω,A,P) un espace probabilité et (A_n)_n≥ une suite d’événements. On suppose queP∞

n=P(A_n)<∞. AlorsP(lim sup_n→∞A_n) =. En d’autres termes, de mani`ere ´equivalente :

– presque s ûrement,Ann’eréalisé qu’un nombre fini de fois ; – presque s ûrement,A_nn’epas réalisé à partir d’un certain rang ; – avec probabilité,A_neréalisé une infinité de fois.



(3)

∗Deuxième lemme de Borel-Cantelli. Soit (Ω,A,P) un espace probabilité et (A_n)_n≥une suite d’événementsindépendants. On suppose queP∞

n=P(A_n) =∞. AlorsP(lim sup_n→∞A_n) =. En d’autres termes, de mani`ere ´equivalente :

– presque s ûrement,A_neréalisé une infinité de fois.

– avec probabilité,A_nn’epas réalisé à partir d’un certain rang.

E ^{xercice 6.}

(Marche aléatoire vue de l’origine) Soit (Y_n)_n≥ une suite de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes définies sur (Ω,A,P) telles que P(Y_n =) = p et P(Y_n = −) = −p avec

< p <et p,/. On consid`ere la marche al´eatoire Z_n=Y_+Y_+· · ·+Y_n (avec Z_ =). On note A_n={Z_n=}.

() Que représente l’événement lim sup_n→∞A_n? () Montrer queP(lim sup_n→∞A_n) =.

() Lorsquep=/, on peut montrer en utilisant la formule de Stirling que P(Z_n=) ∼

n→∞

√ πn. Peut-on en d´eduire direement queP(lim sup_n→∞A_n) =?

 Exercice `a chercher pour le lundi  avril

E ^{xercice 7.}

(Un contre-exemple ?) Soit X une variable aléatoire géométrique de paramètre /.

Pour n ≥, on considère l’évènement A_n ={X ≥ln(n)/ln()}. Montrer que P

n≥P(A_n) = ∞ et que P(lim sup_n→∞A_n) =. Commenter.

 Plus appliqu´e

E ^{xercice 8.}

(Un petit calcul) Combien de fois faut-il, en moyenne, lancer une pi`ece en l’air pour observer une suite d’un nombre impair de piles, suivi d’un face ?

E ^{xercice 9.}

(Temps d’attente) Anne retourne une à une les cartes d’un jeu decartes bien mélangé, posé face caché sur une table, jusqu’à trouver un as. Combien de cartes aura-t-on vu en moyenne ?

E xercice 10.

(Piles consécutifs)Andrea lance une infinité de fois une pièce équilibrée. Pourn≥, on noteL_nla plus longue séquence depilesconsécutifs dans lesnpremiers lancers. Le but de cet exercice ed’étudier le comportement deL_nquandn→ ∞. Par exemple :

n          · · · tirage F P P F P P P F P · · · L_n          · · ·



(4)

Pour modéliser ce problème, Andrea considèreX_, X_, . . . des variables aléatoires indépendantes et de même loi telles queP(X_=) =P(X_=) =/. Posons :

L_n:= max{k≥; il exiei≤n−ktel queX_i+=· · ·=X_i+k =}. () Montrer que pour toutj∈ {, . . . , n}on aP(L_n≥j)≤ ⁿ⁻^j+

^j ≤ ⁿ

^j. () Montrer que pour toutj∈ {, . . . , n}on aP(L_n≤j)≤

− ^

^j

^bn/jc

.

() Trouver une suite (an) de nombre r´eels positifs tels que pour tout∈],[, on a

P − < L_n

a_n <+

!

−→

n→∞ .

() Montrer que pour tout ∈],[, on a P _L

n

a_n >−, `a partir d’un certain rang

= . Montrer que pour tout∈],[, on aP

_L

n

a_n <+, `a partir d’un certain rang

=.

() En d´eduire queP _L

n

a_n →lorsquen→ ∞

=. Autrement dit, presque s ˆurement, ^L_aⁿ_n converge vers.

 Pour aller plus loin

E xercice 11.

(Approximation diophantienne et Borel-Cantelli)On admet l’exience d’une tribu Asur [,] contenant tous les intervalles inclus dans [,] (c’ela tribu bor´elienne) et d’une mesure de probabilit´eP sur ([,],A) telle que P([a, b]) =b−a pour tous≤a≤ b≤ (c’ela mesure de Lebesgue).

() Soit >fix´e. Montrer que

P (

x∈[,] :∃un nombreinfinide rationnelsp/qavec pgcd(p, q) =tq

x−p q

≤  q^+

)!

=.

Ainsi,presque toutxemal approchable par des rationnels `a l’ordre+. Indication.Pour toutq≥, on pourra consid´erer

A_qB[,]∩

q

[

p=

"

p q− 

q^+,p q+ 

q^+

# .

() Montrer que P

(

x∈[,] :∃un nombreinfinide rationnelsp/qavec pgcd(p, q) =tq

x−p q

≤  q^

)!

=.

Ainsi,presque toutxebien approchable par des rationnels `a l’ordre.



 Manipulations des concepts de base

X  – MAP 

PC  – mardi  avril  – Espaces probabilis´es

 Manipulations des concepts de base

E xercice 1.

E xercice 2.

E xercice 3.

E xercice 4.

 Lemmes de Borel–Cantelli

E xercice 5.

E xercice 6.

 Exercice `a chercher pour le lundi  avril

E xercice 7.

 Plus appliqu´e

E xercice 8.

E xercice 9.

E xercice 10.

 Pour aller plus loin

E xercice 11.

E ^{xercice 1.}

E ^{xercice 2.}

E ^{xercice 3.}

E ^{xercice 4.}

E ^{xercice 5.}

E ^{xercice 6.}

E ^{xercice 7.}

E ^{xercice 8.}

E ^{xercice 9.}