Soit B ∈ Mn(IR)(n ≥ 1) une matrice symétrique

Université de Marseille

Licence de Mathématiques, 3ème année, analyse numérique et optimisation Partiel du 22 mars 2019

La partiel contient 3 exercices. Le barème est sur 28 points, il n’est donc pas demandé de tout faire pour avoir 20. . . Les documents (polycopié du cours, notes de TD, notes personnelles) sont autorisés.

Notation : pourx, y ∈IRⁿ(n≥1),x·ydésigne le produit scalaire usuel dexavecy. La notation “s.d.p.” signifie

“symétrique définie positive”. Pour une matriceA,ci(A)désigne la i-ième colonne deAetli(A)désigne la i-ième ligne deA.

Exercice 1(Diagonalisation du produit d’une matrice s.d.p. et d’une matrice symétrique, barème 8 points). On rappelle le théorème suivant, vu en cours :

Théorème 1. Soit B ∈ M_n(IR)(n ≥ 1) une matrice symétrique. Alors, il existe {f1, . . . , fn} base deIRⁿ et λ1. . . λn ∈IRtels queAfi=λifipour touti∈ {1, . . . , n}etfi·fj =δi,jpour tout(i, j)∈ {1, . . . , n}².

SoitA∈M_n(IR)(n≥1) une matrice s.d.p.. On note{e1, . . . , en}la base canonique deIRⁿet{f1, . . . , fn}une base deIRⁿdonnée par le théorème 1. On définit la matriceP dansM_n(IR)parci(P) =P ei=fipouri∈ {1, . . . , n}.

1. Montrer queP est inversible,P^t =P⁻¹. On poseD =P⁻¹AP. Montrer queDest diagonale à coefficients diagonaux strictements positifs.

2. On note√

D la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les racines positives des coefficients diagonaux de la matriceD(donnée à la question 1). On poseC=P√

DP⁻¹, montrer queC²=Aet queC est s.d.p.

SoitB∈M_n(IR)une matrice symétrique.

3. En donnant un exemple pourn= 2, montrer queA⁻¹Bn’est pas nécessairement symétrique.

4. Montrer que les valeurs propres deA⁻¹Bsont les mêmes que les valeurs propres deC⁻¹BC⁻¹(la matriceC étant donnée à la question 2) et que les sous espaces correspondants sont de même dimension. En déduire que la matriceA⁻¹Best diagonalisable dansIR.

Exercice 2(Matrice tridiagonale périodique et factorisation périodique, barème 10 points).

Soient d, u, ℓ ∈ R tels qued > |u|+|ℓ|. Soit A ∈ M_n(IR) tridiagonale périodique :Ai,i = d, 1 ≤ i ≤ n, Ai,i+1=u, Ai+1,i=ℓ, 1≤i≤(n−1),A1,n=ℓ, An,1=uetAi,j= 0sinon.

1. Montrer qu’il existe des réelsα, βetγtels queA=αLˆUˆ avec

• Lˆ ∈M_n(IR)telle queLˆi,i = 1, 1 ≤i≤n,Lˆi+1,i =−β, 1 ≤i ≤(n−1),Lˆ1,n =−βetLˆi,j = 0 sinon.

• Uˆ ∈ M_n(IR)telle queUˆi,i = 1, 1 ≤i ≤n,Uˆi,i+1 =−γ, 1 ≤i ≤(n−1),Uˆn,1 =−γetUˆi,j = 0 sinon.

• |β|<1, |γ|<1.

Trouverα, βetγen fonction deℓ, detu.

Indication : On pourra commencer par remarquer queli( ˆL)cj( ˆU) =











1 +βγsi(i, j) = (i, i),

−γsi(i, j) = (i, i+ 1)ou(n,1),

−βsi(i, j) = (i, i−1)ou(1, n), 0sinon.

2. Pour résoudreAx = b, on posec = α⁻¹b et on résout successivement les deux systèmes suivants (avec les matricesLˆ etUˆ de la question 1),

Lyˆ =c U xˆ =y.

1

(a) (Calcul dey) Poury∈IRⁿ, on notey1, . . . , ynles composantes dey. Montrer queLyˆ =csi et seulement si

yi=

i

X

k=1

ckβ^i−k+βⁱynpour tout1≤i≤n.

[Utiliser une récurrence suri,iallant de1àn.]

En déduire queLˆest inversible etyn = (Pn

k=1ckβ^n−k)/(1−βⁿ).

(b) On suppose, dans cette question seulement, queβ = 1. Montrer queLˆ n’est pas inversible et donner un élément non nul deKer ˆL.

(c) (Calcul dex) Par une technique analogue à celle de la question 2a, montrer queUˆ est inversible et calculer xen fonction dey. [On pourra calculer lesxi,iallant denà1en fonction dex1.]

3. Pour résoudre effectivement le systèmeAx=bavec la méthode donnée par les questions 1-2, pour calculery (question 2a) on calcule d’abord lesβⁱ (1 ≤ i ≤n) etyn, puis on utilise plutôt la formuleyi =ci+βyi−1

pouri < n(en posanty0 =yn). On calcule ensuitex(question 2c) de manière analogue. Compter le nombre d’opérations (on ne demande pas le décompte exact, mais un ordre de grandeur) pour résoudreAx= bavec cette méthode.

Exercice 3(Vitesse de convergence pour la méthode de Jacobi, barème 10 points).

SoientA ∈M_n(IR)une matrice symétrique inversible etb ∈IRⁿ,n > 1. On posex¯=A⁻¹b. On noteDla partie diagonale deA,−Ela partie triangulaire inférieure stricte deAet−Fla partie triangulaire supérieure stricte deA.

On suppose que les coefficients diagonaux deDsont strictement positifs et on noteBJ la matrice des itérations de la méthode de Jacobi, c’est-à-direBJ=D⁻¹(E+F). Noter que, grâce à l’exercice 1, la matriceBJest diagonalisable dansIR. On rappelle que la méthode de Jacobi s’écrit

Initialisation :x⁽⁰⁾ ∈IRⁿ,

Itérations :pour toutk≥0,Dx^(k+1)= (E+F)x^(k)+b.

On munitIRⁿd’une norme notéek · k. On noteρle rayon spectral deBJet supposeρ <1(de sorte que la méthode de Jacobi est convergente).

On noteai,jle coefficient deAde la lignei, colonnej. On suppose queAest tridiagonale, c’est-à-direai,j = 0si

|i−j|>1.

1. (Un exemple) On suppose dans cette question queA=





2 −1 0

−1 2 −1 0 −1 2



. (a) Calculer les valeurs propres deBJ.

(b) Montrer qu’il existe une infinité dex⁽⁰⁾pour lesquelsx⁽¹⁾ = ¯x.

2. Soitλune valeur deBJ. Montrer que−λest aussi valeur propre deBJet que les sous espaces propres associés àλet−λsont de même dimension. [Utiliser le fait queA est tridiagonale et remarquer queBJx = λxest équivalent à(E+F)x=λDx. Considérer le vecteuryde composantesyi= (−1)ⁱxi.]

3. Montrer que sinest impair,0est valeur propre deBJ.

Question plus difficile, hors barème : dans le cas où il existe un réel a tel queai+1,i = a pour tout i ∈ {1, . . . , n−1}, donner un vecteur propre associé à la valeur propre0(chercher un vecteur dont les composantes appartiennent à l’ensemble{1,−1,0}).

4. On suppose, dans cette question, quex¯−x⁽⁰⁾ =P

i∈Iαifi, où{f1, . . . , fn}est une base deIRⁿ, formée de vecteurs propres de BJ,BJfi = λifi, etI = {i;|λi| < ρ}. Montrer qu’il existeC > 0etµ < ρtels que kx¯−x^(k)k ≤Cµ^kpour toutk∈IN^⋆.

5. On suppose, dans cette question, quenest impair.

Montrer qu’il existe une infinité dex⁽⁰⁾pour lesquelsx⁽¹⁾ = ¯x.

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