Le second degré
I- Fonctions polynômes du second degré
1) Définition
Une fonction polynôme du second degré est une fonctionf définie surRpar : f(x) =ax2+bx+c
oùa,betcsont trois nombres réels aveca,0.
Définition
Exemple 1 :
Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions polynômes du second degré ? 1) f(x) = 4x−7
3x2 2) g(x) =x52 −1
3) h(x) =−4(x+ 1)2+ 7
2) Représentation graphique
A l’aide de l’animation geogebra on observe que les courbes représentatives ont toute la même allure. Elles sont appelés des paraboles.
La courbe représentative d’une fonction polynôme de degré 2 est une parabole, ouverte vers le haut sia >0 et ouverte vers le bas sia <0.
Propriété
a >0
x −∞ xS +∞
Variations de
f yS
a <0
x −∞ xS +∞
Variations de f
yS
4) Elément de symétrie
Soitfune fonction polynôme de degré 2 etP la parabole qui la représente :
• La parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées.
• Le point S de la parabole situé sur l’axe de symétrie est appelé sommet de la parabole, son abscisse est x=−b
2a.
• Sia >0 il s’agit d’un minimum et sia <0 d’un maximum.
Propriété
Exemple 2 :
1) Régler la fenêtre de la calculatrice graphique de la façon suivante :
Xmin=−6,Xmax= 6 Ymin=−10,Ymax= 10.
2) Représenter une à une, sur la calculatrice, les fonctions définies par :
• f(x) =x2−2x−1
• g(x) =−0.5x2+ 3x−4
• h(x) = 2x2−x−6
• k(x) =−3x2−9x−1
Puis faire correspondre chaque courbe à chaque fonction.
3) Calculer les coordonnées du sommet de chaque parabole.
II- Forme canonique
1) Un exemple
Soit (E) l’équationx2+ 10x−39 = 0.
1) Développer (x+ 5)2et en déduire quex2+ 10x= (x+ 5)2−25.
2) En déduire la résolution de (E) 2) Propriété
Pour toute fonction polynôme de degré 2 définie surRparf(x) =ax2+bx+c,a,0 il existe 2 nombres réelsα etβtels que :
Pour toutx∈R,f(x) =a(x−α)2+β Cette écriture est appelée forme canonique def.
Propriété Propriété et définition
Démonstration
f(x) =ax2+bx+c=a x2+b ax+c
a
!
=a
x+ b 2a
!2
− b2 4a2+c
a
f(x) =a
x+ b 2a
!2
−b2−4ac 4a2
f(x) =a(x−α)2+β
En posantα=−2ab etβ=−b24a+4ac Exemple 3 :
Mettre sous forme canonique les fonctions suivantes : 1) f(x) =x2+ 6x−5
2) f(x) =x2−5x+ 7 3) f(x) = 3x2+ 12x−6
3) Lien avec le sommet de la parabole
Soitf une fonction polynôme de degré 2 de forme canoniquef(x) =a(x−α)2+β.
Le sommet S de la paraboleP représentantf a pour coordonnées S(α;β) Propriété
III- Résoudre une équation du second degré
1) Exemples
Résoudre les équations suivantes : 1) 2x2−10 = 0
2) 4x2−3x= 0
3) 5x2+ 4 = 0 4) x2+ 2x+ 1 = 0
5) x2−10x+ 7 = 0
2) Généralisation
On veut résoudre l’équationax2+bx+c= 0, en utilisant la forme canonique l’équation s’écrit : a
x+ b 2a
!2
−b2−4ac 4a2
= 0
On appelle discriminant le réel∆défini par∆=b2−4ac.
Définition
En utilisant∆l’équation équivaut à x+ b 2a
!2
− ∆ 4a2 = 0
• Si∆<0 alors x+ b 2a
!2
− ∆
4a2 >0 donc l’équation n’a pas de solution.
• Si∆= 0 alors l’équation équivaut à x+ b !2
= 0 donc une seule solutionx=− b .
• Si∆>0 alors l’équation équivaut à
x+ b 2a
!
−
√
∆ 2a
! x+ b
2a
! +
√
∆ 2a
!
= 0 donc
x+ b 2a
!
−
√
∆
2a = 0 ou x+ b 2a
! +
√
∆ 2a = 0 x=−b+
√
∆
2a ou x=−b+
√
∆ 2a
Soita,betctrois nombres réels aveca,0 et (E) l’équationax2+bx+c= 0.
Pour résoudre (E) on calcule son discriminant∆=b2−4ac :
• Si∆<0 alors l’équation n’a pas de solution.
• Si∆= 0 alors l’équation admet une unique solution :x=− b 2a.
• Si∆>0 alors l’équation admet deux solutions :x1= −b−
√
∆
2a etx2=−b+
√
∆ 2a . Propriété
Exemple 4 :
Résoudre les équations suivantes : 1) 3x2+x−2 = 0
2) x2−x+ 5 = 0 3) −4x2−20x−25 = 0
3) Algorithme de résolution
Algorithme 1 :Résoudre une équation du second degré Variables : a, b, c, D,x1,x2
Entrées : coefficienta,betc Traitement
D←−b2−4ac siD>0alors x1←−−b+
√ D 2a
x2←−−b−
√ D 2a
Afficher "l’équation a deux solutionsx1etx2"
fin
siD = 0alors x1←−−b
Afficher "l’équation a une unique solution2a x1"
fin
siD<0alors
Afficher "l’équation n’a pas de solution"
fin Fin
4) Factorisation
• Si∆<0 alorsax2+bx+cne peut pas être factorisé.
• Si∆= 0 alorsax2+bx+c=a x+ b 2a
!2
• Si∆>0 alorsax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2) oùx1etx2sont les solutions deax2+bx+c= 0.
Propriété
5) Signe deax2+bx+c
Le signe deax2+bx+cest donné dans chacun des tableaux suivants :
• Si∆<0 alors
−∞ +∞
signe de a
• Si∆= 0 alors
−∞ x0 +∞ signe | signe
dea 0 dea
|
• Si∆>0 alors
−∞ x1 x2 +∞
signe | signe | signe
dea 0 opposé 0 dea
| |
oùx1etx2sont les racines deax2+bx+cetx1< x2 Propriété
IV- Résumé
∆=b2−4ac ∆>0 ∆= 0 ∆<0
Solutions de l’équation ax2+bx+c= 0
2 solutions distinctes : x1=−b−
√
∆ 2a x2= −b+
√
∆ 2a
une solutionx0=−b
2a aucune solution
Factorisation de
ax2+bx+c a(x−x1)(x−x2) a(x−x0)2 pas de factorisation Signe deax2+bx+c
−∞ x1 x2 +∞
signe | signe | signe
dea 0 opposé 0 dea
| |
−∞ x0 +∞ signe | signe
dea 0 dea
|
−∞ +∞
signe de a
Courbes poura >0
O x1 x2
O x0 O
Courbes poura <0
x2 O x1 O
x0
O
