Lyc´ee La Martini`ere
MPSI 2013
Analyse harmonique d’un signal I Th´ eor` eme de Fourier
Soit une fonctionf(t) p´eriodique, de p´eriode T = 2π/ω = 1/ν, d´efinie sur l’ensemble des r´eels et C1 par morceaux.f est d´eveloppable en s´erie deFourier `a toute date to`uf est continue :
f(t) =a0+
∞
X
n=1
[ancos(nωt) +bnsin(nωt)]
avec : a0 = 1
T
Z t0+T t0
f(t) dt an= 2 T
Z t0+T t0
f(t) cos(nωt) dt bn= 2 T
Z t0+T t0
f(t) sin(nωt) dt
• La d´ecomposition est unique et ne d´epend pas du choix de t0.
• En une discontinuit´etd, la s´erie deFourier prend la valeurfF(td) = 12
f(t−d) +f(t+d) .
• Le coefficient a0 est appel´e composante continue de f(t). C’est aussi la valeur moyenne de f(t) : a0 =< f(t)>.
• Le terme [ancos(nωt) +bnsin(nωt)] (pour n ≥ 1) est appel´eharmonique de rang n; sa pulsation est nω.
• L’harmonique de rang 1 [a1cos(ωt) +b1sin(ωt)] est appel´eefondamental.
II Propri´ et´ es des s´ eries de Fourier
Limite des coefficients
Pour un signal physique, l’amplitude des harmoniques tend vers z´ero quand le rang ntend vers l’infini : limn→∞an= 0
limn→∞bn= 0 et lim
n→∞cn= 0 Parit´e
• pour une fonction f(t) paire : ∀n, bn= 0
• pour une fonction f(t) impaire : ∀n, an= 0 et a0= 0
III Spectre de fr´ equence
D´efinition
L’ensemble des amplitudescn=p
a2n+b2nconstitue lespectrede la fonctionf(t). Il est repr´esent´e par un diagramme en bˆatons en portant en abscisse les fr´equenceskνet en ordonn´ees la valeur deckcorrespondante o`u kest un entier.
Exemples de spectres de fr´equence
0 ν 2ν 3ν 4ν 5ν 6ν 7ν 8ν 9ν 10ν 0
0,2 0,4 0,6 0,8 1 ck
-T -T/2 0 t T/2 T
-1 -0,5 0 0,5 1
f(t)
On consid`ere la fonction sinuso¨ıdale :
f(t) = cos(ωt) = cos(2πνt)
Son spectre est constitu´e d’une seule raie, `a l’abscisseν et de hauteur unit´e.
2/3 Analyse harmonique d’un signal
On consid`ere la fonction :
f(t) = cos(ωt) + 0,3 cos(2ωt) + 1,5 sin(3ωt) Son spectre est constitu´e de trois raies :
• une raie `a l’abscisse ν de hauteur 1 ;
• une raie `a l’abscisse 2ν de hauteur 0,3 ;
• une raie `a l’abscisse 3ν de hauteur 1,5.
0 ν 2ν 3ν 4ν 5ν 6ν 7ν 8ν 9ν 10ν 0
0,5 1 1,5
ck
-T -T/2 0 t T/2 T
-2 -1 0 1 2 f(t)
IV Exemples de d´ ecomposition en s´ erie de Fourier
Signal triangulaire
−T −T/2 0 T/2 T
t
−1
−0,5 0 0,5 1
f(t)
La fonction trianglef(t) de p´eriodeT repr´esent´ee ci-contre se d´ecompose en s´erie de Fourier :
f(t) = 8 π2
cosωt+ 1
32 cos(3ωt) +...+ 1
(2p+ 1)2 cos ((2p+ 1)ωt) +...
La d´ecomposition en s´erie de Fourier de la fonction f(t) est illustr´ee ci-dessous :
−T −T/2 0 T/2 T
t
−1
−0,5 0 0,5
1 fondamental
+
-T -T/2 0 T/2 T
t -1
-0,5 0 0,5
1 harmonique de rang 3
+
-T -T/2 0 T/2 T
t -1
-0,5 0 0,5
1 harmonique de rang 5
+ ... =
−T −T/2 0 T/2 T
t
−1
−0,5 0 0,5 1
f(t)
Signal rectangulaire
−T −T/2 0 T/2 T
t
−1
−0,5 0 0,5 1
f(t)
La fonction rectangulaire f(t) de p´eriode T repr´esent´ee ci-contre se d´ecompose en s´erie deFourier :
f(t) = 4 π
sinωt+ 1
3sin(3ωt) +...+ 1
(2p+ 1)sin ((2p+ 1)ωt) +...
La d´ecomposition en s´erie de Fourier de la fonction f(t) est illustr´ee ci-dessous :
−T −T/2 0 T/2 T
t
−1
−0,5 0 0,5
1 fondamental
+
-T -T/2 0 T/2 T
t -1
-0,5 0 0,5
1 harmonique de rang 3
+
-T -T/2 0 T/2 T
t -1
-0,5 0 0,5
1 harmonique de rang 5
+ ... =
−T −T/2 0 T/2 T
t
−1
−0,5 0 0,5 1
f(t)
V Synth` ese de Fourier
Soit fn(t) la somme dea0 et des npremi`eres harmoniques de la s´erie deFourier : lim
n→∞fn(t) =f(t).
En pratique, puisque les coefficients de Fourier tendent vers 0, quelques termes de la s´erie suffisent souvent `a repr´esenter correctement la fonction.
Signal triangulaire Signal rectangulaire
Analyse harmonique d’un signal 3/3
0 ν 2ν 3ν 4ν 5ν 6ν 7ν 8ν 9ν 10ν
0 0,2 0,4 0,6 0,8 cn
−T −T/2 0 t T/2 T
−1
−0,5 0 0,5 1
f1(t)
Figure 1 – Repr´esentation tem- porelle et spectre de fr´equence du fondamental.
0 ν 2ν 3ν 4ν 5ν 6ν 7ν 8ν 9ν 10ν
0 0,2 0,4 0,6 0,8 cn
−T −T/2 0 t T/2 T
−1
−0,5 0 0,5 1
f5(t)
Figure 2 – Repr´esentation tem- porelle et spectre de fr´equence du fondamental et des 5 premi`eres harmoniques (2 harmoniques non- nulles).
0 ν 2ν 3ν 4ν 5ν 6ν 7ν 8ν 9ν 10ν 0
0,2 0,4 0,6 0,8 cn
−T −T/2 0 t T/2 T
−1
−0,5 0 0,5 1
f9(t)
Figure 3 – Repr´esentation tem- porelle et spectre de fr´equence du fondamental et des 9 premi`eres harmoniques (4 harmoniques non- nulles).
0 ν 2ν 3ν 4ν 5ν 6ν 7ν 8ν 9ν 10ν
0 0,5 1 cn
−T −T/2 0 t T/2 T
−1 0 1 f1(t)
Figure 4 – Repr´esentation tem- porelle et spectre de fr´equence du fondamental.
0 ν 2ν 3ν 4ν 5ν 6ν 7ν 8ν 9ν 10ν
0 0,5 1 cn
−T −T/2 0 t T/2 T
−1 0 1 f5(t)
Figure 5 – Repr´esentation tem- porelle et spectre de fr´equence du fondamental et des 5 premi`eres harmoniques (2 harmoniques non- nulles).
0ν 3ν 5ν 7ν 9ν 11ν13ν15ν17ν19ν 0
0,5 1 cn
−T −T/2 0 t T/2 T
−1 0 1 f19(t)
Figure 6 – Repr´esentation tem- porelle et spectre de fr´equence du fondamental et des 19 premi`eres harmoniques (9 harmoniques non- nulles).
