Montrer que c’est un ´el´ement alg´ebrique surQ(√ 6)

Universit´e Paris 7-Denis Diderot Alg`ebre – Ann´ee 2006-07 M1 math´ematiques

Feuille d’exercices 8 Corps

Exercice 1 Soit√

2 +√ 3∈R.

1. Montrer que c’est un ´el´ement alg´ebrique surQ(√ 6).

2. En d´eduire que c’est un ´el´ement alg´ebrique surQ.

3. Quel est le degr´e de√ 2 +√

3 surQ?

Exercice 2

SoitKun corps. Soit Lune extension finie deK de degr´e impair. Soitα∈Ltel queL=K(α).

1. NotonsP le polynˆome minimal deα. Montrer queP est de degr´e impair.

2. Montrer qu’il existeQ,R∈K[X] tels queP =XQ(X²) +R(X²). En d´eduire qu’il existe F∈K(X) tel queα=F(α²).

3. Montrer queK(α) =K(α²).

Exercice 3

PosonsP =X⁶+X³+ 1∈Q[X]. Soitαune racine deP dansC. Soitφun plongementQ(α) dansC.

1. Montrer queP diviseX⁹−1. En d´eduire queφ(α)⁹= 1 et que φ(α)³6= 1.

2. Donner toutes les possibilit´es pourφ(α).

3. Soientφ₁ et φ₂ deux plongements deQ(α) dansC. Montrer que siφ₁(α) =φ₂(α) on aφ₁=φ₂. 4. Combien y a-t-il de plongements deQ(α) dansC.

5. Quel est le degr´e d’un corps de rupture deP surQ?

6. D´eterminer un corps de d´ecomposition deP. Quel est son degr´e surQ?

Exercice 4 SoitKun corps. On identifie K `a un sous-corps deK(X).

1. Montrer queX ∈K(X) est transcendant surK.

2. SoientP,Q∈K[X] de degr´ed >0 ete >0 respectivement. Quel est le degr´e deP◦Q? P◦Qpeut-il ˆ

etre nul ?

3. Montrer que les seuls ´el´ements alg´ebriques deK[X] sont les ´el´ements deK.

4. Soit L une extension de K. Soitt ∈ L un ´el´ement transcendant sur K. D´emontrer que L contient un sous-corps isomorphe `a K(X).

Exercice 5

Notons Q(i) le sous-corps de C engendr´e par i. Notons ¯Q la clˆoture alg´ebrique de Q dans C. Notons Q¯^r= ¯Q∩R.

1. D´emontrer que tout ´el´ement de Cest alg´ebrique surR.

2. D´emontrer que tout ´el´ement de Calg´ebrique surQ(i) est alg´ebrique surQ.

3. Soitαune racine cubique de 2 dansC qui n’est pas r´eelle. Quel est le degr´e de l’extension ¯Q^r(α)|Q¯^r ? 4. L’extension ¯Q|Q¯^rest-elle quadratique ? Est-elle finie ?

Exercice 6

Soit K un corps. On note K[[T]] l’ensemble des suites `a valeurs dans K. La suite (u_n)_n≥0 est not´ee P∞

n=0unTⁿ.

1. Montrer que l’addition et la multiplication des polynˆomes deK[T] s’´etend `aK[[T]], faisant ainsi deK[[T]]

un anneau int`egre.

2. NotonsK((T)) le corps des fractions deK[[T]]. Montrer que c’est une extension deK(T).

3. Montrer qu’on aP∞

n=0Tⁿ = 1/(1−T) dansK((T)). En d´eduire queK(T)∩K[[T]]6=K[T].

4. SoitIun id´eal deK[[T]]. En consid´erant un ´el´ement F∈I dont le plus petit terme non nul est de degr´e minimal parmi les ´el´ements deI, montrer queI est principal et engendr´e parF. Montrer que tout id´eal de K[[T]] est de la forme (T^k) aveckentier≥0.

5. Montrer que (T) est l’unique id´eal maximal de K[[T]] et queK[[T]]^∗=K[[T]]−(T).

6. Montrer que le polynˆome X^k −(T + 1) est irr´eductible sur K(T). Quel est le degr´e de l’extension K(T)[X]/(X^k−(T+ 1))|K(T) ?

7. Supposons dsormaisK de caract´eristique 0. Consid´erons Uk =P∞

n=0unTⁿ/n!∈K[[T]] tel queu0 = 1, u1 = 1/k, u2 = 1/k(1/k−1)... un = 1/k(1/k−1)...(1/k−n+ 1).... Montrer que Uk est une racine de X^k−(T+ 1). Quel est le degr´e de l’extensioinK(T)(Uk)|K(T) ?

8. En d´eduire que l’extensionK((T))|K(T) n’est pas finie.

Exercice 7

Notons ¯Qle sous-corps deC form´e par les ´el´ements alg´ebriques surQ.

1. Montrer qu’il existe une application ¯Q→Z[X] telle que l’image r´eciproque de tout ´el´ement soit finie.

2. On dit qu’un ensemble E est d´enombrable s’il existe une application injective E → N. On pourra essayer de montrer qu’il existe des nombres transcendants dans Ren utilisant les faits suivants : (i) Z[X] est d´enombrable, (ii) Rn’est pas d´enombrable et(iii)si E est un ensemble d´enombrable et s’il existe une applicationF →Etelle que l’image r´eciproque de tout ´el´ement deEest finie, l’ensembleF est d´enombrable.

Exercice 8 Consid´erons le polynˆomes X⁴−3∈Q[X].

1. Ce polynˆome est-il irr´eductible surQ?

2. En d´eterminer un corps de rupture dansR. Quel est son degr´e ? 3. Ce polynˆome admet-il un corps de d´ecomposition dansR?

Exercice 9 SoitFq un corps fini `aq´el´ements, o`uqest impair.

1.Montrer que l’applicationF^∗_q →F^∗_q qui `a xassoxiex²est un homomorphisme de groupes dont le noyau a 2 ´el´ements. En d´eduire qu’il y a (q−1)/2 carr´es parfaits dansF^∗_q.

2. Soita∈Fq. Montrer que les ensembles{x²/x∈Fq}et {a−y²/y∈Fq}ont chacun (q+ 1)/2 ´el´ements.

3. En d´eduire que tout ´el´ement deFq est somme de deux carr´es.

Exercice 10

SoitF_q un corps fini `aq´el´ements. SoitP ∈F_q[X] un polynˆome irr´eductible de degr´eddistinct deX. 1. Montrer queP est sans racine multiple dans une clˆoture alg´ebrique ¯Fq deFq.

2. Montrer que les racines dePdans ¯Fq sont des racines de l’unit´e. Plus pr´ecis´ement quePdiviseX^qd−1−1 dansFq[X].

3. Montrer que tout corps de rupture deP est un corps de d´ecomposition.

4. Montrer que tout polynˆome irr´eductible deF_q[X] et de degr´e divisantddiviseX^qd−X.

5. Montrer que le polynˆomeX^qd−X est sans racine multiple. En d´eduire la formule Y

Q

Q=X^qd−X,

o`u Qparcourt les polynˆomes unitaires, irr´eductibles deFq[X] et de degr´e divisantd.

6. Notonsi_n le nombre de polynˆomes irr´eductibles de degr´endeF_q[X]. ´Etablir la formule X

d|n

di_d=qⁿ.

Exercice 11

Soitnun entier≥1. PosonsP_n =X²ⁿ+X+ 1∈F₂[X]. Fixons ¯F₂ une clˆoture alg´ebrique de ¯F₂. Pour t entier≥1, on noteF₂t le sous-corps `a 2^t´el´ements de ¯F₂. Soitk_n un sous-corps de ¯F₂qui est un corps de d´ecomposition deP_n surF₂. NotonsE_n l’ensemble des racines deP_n dansk_n.

1. D´emontrer queP_n n’a pas de racine multiple. Quel est le cardinal deE_n ?

2. Soientα_n,α⁰_n∈E_n. D´emontrer quex=α_n−α⁰_n v´erifiex²ⁿ+x= 0. En d´eduire quex∈F₂n. 3. D´emontrer queα²_nⁿ+αn6= 0. En d´eduire queαn n’appartient pas `aF2ⁿ.

4. D´emontrer queα²_n²ⁿ+αn= 0. En d´eduire queαn appartient `aF₂2n. 5. En d´eduire queEn={αn+x/x∈F2ⁿ}, puis quekn=F₂2n.

6. D´emontrer que le polynˆomePn divise le polynˆomeX²²ⁿ+X dansF2[X].

7. Quels sont les degr´es des extensionsF₂2n|F2ⁿ et F₂2n|F2 ?

8. D´emontrer que tout polynˆome irr´eductible divisant Pn est de degr´e divisant 2nmais ne divisant pasn.

9. Supposons quen= 2^k aveckentier≥0. Montrer que tous les facteurs irr´eductibles dePn sont de degr´e 2^k+1. Combien y en a-t-il ?

10. D´emontrer que le polynˆomeP₂k admetF₂2k+1 comme corps de rupture et de d´ecomposition (autrement ditF₂2k+1 est engendr´e par l’une quelconque des racines deP₂k).

Exercice 12

Soit K un corps de caract´eristique 6= 2. Soit ¯K une clˆoture alg´ebrique de K. Posons K0 = K, K1 le sous-corps de ¯K engendr´e par les ´el´ements de degr´e 2 sur K0, ...,Kn le sous-corps de ¯K engendr´e par les

´

el´ements de degr´e 2 surK_n−1... Posons ¯K⁽²⁾ =∪n≥0K_n.

1. SoitL|K une extension de corps de degr´e 2 (on parle d’extension quadratique). D´emontrer qu’il existe a∈Ltel que A=a²∈Ket K(a) =L. On ´ecrit alorsL=K(√

A).

2. D´emontrer que siK est un corps fini, on aK(√

A) =K(√

B) (A,B∈K).

3. D´emontrer que l’extensionK_n|K est alg´ebrique.

4. D´emontrer que ¯K⁽²⁾ est un corps. On l’appelle laclˆoture quadratiquedeK dans ¯K.

5. D´emontrer qu’il n’existe pas d’extension de degr´e 2 de ¯K⁽²⁾.

6. LorsqueK est le corps finiFp, montrer que les ´el´ements non nuls de ¯K⁽²⁾ sont les racines p²ⁿ−1-`emes de l’unit´e lorsquenvarie parmi les entiers≥0.

7. La clˆoture quadratique deQco¨ıncide-t-elle avec sa clˆoture alg´ebrique ?

Exercice 13

Soit ¯Q l’ensemble des nombres alg´ebriques dans C. Soit α∈ Q. On dit que¯ αest totalement r´eel(resp.

totalement imaginaire) si pour tout plongement φde Q(α) dans C, on a φ(α)∈R(resp. φ(α)∈/ R). On dit queαesttotalement positifsi de plusφ(α)≥0 pour toutφ.

1. Montrer que l’ensemble des nombres alg´ebriques totalement r´eels est un sous-corps ¯Q^R de ¯Q.

2. D´emontrer que les nombres rationnels sont totalement r´eels. Lesquels des nombres suivants sont totale- ment r´eels : √

2,³√ 2,p

2 +√

2, 1 +√

2, 2 +√

2. Lesquels sont totalement positifs ? 3. Soit L= ¯Q^R(√

A) un sous-corps de Cqui est une extension quadratique de ¯Q^R, avec A∈R. Montrer que siAest totalement positifLest totalement r´eel. En d´eduire queA n’est pas totalement positif.

4. Un sous-corps de ¯Qest dittotalement r´eelsi tous ses ´el´ements sont totalement r´eels. Indiquer des corps quadratique et cubique (i.e. des extensions deQde degr´e 2 et 3 respectivement) qui sont totalement r´eels, puis de tels corps qui ne sont pas totalement r´eels.

5. Un sous-corpsLde ¯Qest ditCM siL=K(α) avecKtotalement r´eel,L|Kquadratique etαtotalement imaginaire. Lesquels des corps suivants sontCM : Q(i),Q(i,√

2),Q(p 1 +√

2) ?