3 Loi de r´ eciprocit´ e quadratique

(1)

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013

D. Blotti`ere Maple

TP n˚2

Proc´ edures et loi de r´ eciprocit´ e quadratique

¹

Plan 1. Proc´edures

2. Multiplication dansZ/NZ 3. Loi de r´eciprocit´e quadratique

Ce T.P. a deux objectifs.

1. Introduire les procédures, qui permettent de définir de nouvelles fonctions Maple. Ces nouvelles fonctions (ou procédures donc) seront utiles pour découper un problème complexe en un certain nombre de problèmes plus élémentaires, que l’on saura résoudre. Les procédures donnent, en outre, plus de lisibilité au code.

2. Faire un pas vers la loi de réciprocité quadratique, qui est un résultat substantiel de la théorie des nombres,

`

a l’aide de Maple. Cela nous offrira l’occasion de construire nombre de proc´edures et ainsi de nous entraˆıner.

1 Proc´ edures

D´efinition 1 (Proc´edure)

Une procédure Maple peut être vue comme un analogue d’une fonction mathématique. On peut, dans un premier temps, voir une procédure comme un programme Maple qui, à partir de valeurs données (arguments), retourne une unique valeur (valeur de sortie).

arguments // Proc´edure //valeur de sortie

La syntaxe générale d’une procédure Maple est la suivante.

proc(arg1, . . . , argn) #arg1, . . . , argn sont les arguments de la proc´edure localvar1, . . . , varm; #var1, . . . , varmsont des variables ”auxiliaires”

instruction 1 ; instruction 2 ; . . .

instructionp;

return(valeur de sortie) ; end ;

Remarque 1

1. Les variables locales, i.e. définies avec local, ne sont créées que pour le corps de la procédure (on parle d’existence locale). Hors du corps de la procédure, les valeurs des variables locales ne sont pas accessibles.

2. La définition de procédure donnée ci-dessus mentionne des arguments, des variables locales et une valeur de sortie. Signalons qu’une procédure peut avoir n’aucun argument, n’utiliser aucune variable locale ou n’avoir aucune valeur de sortie.

1. Cf. conférence de J.-B. Bost intitulée^≪Le travail du mathématicien^≫, donnée le 22 novembre 2012.

(2)

Exemple 1

Ci-dessous, on donne le code d’une procédure, nomméesomme, qui a deux argumentsa etb (que l’on suppose être des nombres) et qui renvoie la sommea+b. En elle-même, cette procédure a un intérêt discutable, mais elle présente l’avantage d’être simple à comprendre.

somme:=proc(a,b) locals; s:=a+b; return(s) ; end ;

Saisir ce code. `A ce moment, on dispose d’une nouvelle fonction Maple (somme) que l’on peut appeler/ex´ecuter comme suit.

somme(12,9) ;

Remarque 2

Après avoir défini une procédure, on veillera toujours à la tester en choisissant des valeurs pertinentes.

Exercice 1

En s’inspirant de la procéduresomme, écrire une procédure, nomméesomme bis, réalisant la même tˆache que somme, mais n’utilisant pas de variable locale.

Exercice 2

Sin est une variable contenant un entier, l’instruction

nmod 2 ;

retourne la valeur du reste de la division euclidienne denpar 2, i.e.

• 0 sinest pair (i.e. divisible par 2) ;

• 1 sinest impair.

A l’aide de la commande mod (pour modulo), écrire une procédure nommée` is paird’argument un entiernqui retourne 1 si l’entier nest pair et 0 sinon.

Exercice 3

Voici le code d’une proc´edure Maple.

somme entiers:=proc(n) locals, k;

s:=0 ; k:=1 ;

while (k <=n) do s:=s+k; k:=k+ 1 ; od ;

return(s) ; end ;

(3)

1. Saisir ce code.

2. Que fait la procéduresomme entiers? On précisera l’ensemble où est implicitement supposé vivre l’argu- mentn.

3. Tester la procéduresomme entierssur les valeurs 0,1,2,3,4 pour vérifier la réponse à la question 2.

4. Écrire une procédure somme cubesd’argumentn (supposé être un entier naturel non nul) et retournant la valeur de la somme

1³+ 2³+. . .+n³=

n

X

k=1

k³. 5. Saisir le code Maple suivant :

a:= 123 ;

printf(”La valeur de la dernière variable affectée est a.”) ; printf(”La valeur de la dernière variable affectée est %d.”,a) ;

et commenter.

6. À l’aide des deux procédures somme entiers, somme cubes et d’une boucle for, écrire un code Maple testant la validité de l’égalité

(∗) 1³+ 2³+. . .+n³= (1 + 2 +. . .+n)² pour tous les entiers n∈J1,20K.

Pour chaque rang n∈J1,20K, on souhaite obtenir l’affichage :

L’identité (*) est vérifiée au rang n.

si l’égalité est vérifiée et l’affichage :

L’identité (*) n’est pas vérifiée au rangn.

dans le cas contraire, o`unest remplac´e par sa valeur.

Remarque 3

On a démontré (par récurrence) dans le chapitre 1 du cours (cf. exemple 22) que pour toutn∈N^∗ :

n

X

k=1

k= n(n+ 1)

2 .

D’autre part, dans l’exercice 18, on a ´etabli (par r´ecurrence) que pour toutn∈N^∗ :

n

X

k=1

k³=

n(n+ 1) 2

² .

L’identité (*) que l’on a simplement vérifiée avec Maple pourn∈J1,20Kest donc en fait vraie pour toutn∈N^∗. Exercice 4

Ecrire une procédure nommée´ f actorielle d’argument un entier naturel n (éventuellement nul donc) qui re- tourne la valeur den!.

2 Multiplication dans Z /N Z

SoitN ∈N^∗ fix´e.

D´efinition 2 (Ensemble Z/NZ) On note

Z/NZ={0,1,2,3, . . . , N−1}

des N restes possibles pour la division d’un entier parN.

(4)

D´efinition 3 (Notation a) Sia est un entier, alors on note

a∈Z/NZ le reste de la division euclidienne dea parN.

D´efinition 4 (Multiplication dans Z/NZ) 1. Soienta, b∈Z/NZ.

(a) On d´efinit a×b par :

a×b=a×b∈Z/NZ où×réfère à la multiplication usuelle des entiers.

(b) Le nombrea×bs’obtient en calculant d’abord a×b (mutliplication usuelle d’entiers), puis en prenant le reste de a×b dans sa division euclidienne parN.

2. On dit que l’on multiplie moduloN, lorsque l’on utilise×dansZ/NZ. Exemple 2

On suppose ici queN = 3. On travaille donc modulo 3.

La table de multiplication (pour ×) deZ/3Z={0,1,2}est donc la suivante.

× 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

On a plac´e 1 (= 2×2) dans la case en bas `a droite car2×2 = 4et 4 a pour reste 1 dans sa division euclidienne par 3.

Exercice 5

On suppose ici queN = 5. On calcule donc modulo 5.

Calculer ”`a la main” (i.e. sans l’aide de Maple) les nombres suivants

2×2 ; 2×3 ; 3×3.

Exercice 6

Ecrire une procédure nommée´ mult mod d’argument(a, b, N)où – N est un entier naturel non nul ;

– aetb sont deux ´el´ements deZ/NZ;

qui renvoie la valeur de a×b dansZ/NZ(on calcule donc modulo N).

Exercice 7

On suppose ici queN = 7. On travaille donc modulo 7.

En utilisant une boucle for (voire des boucles for) et la proc´edure mult mod construite dans l’exercice 6, compl´eter la table de multiplication de (pour×) deZ/7Z={0,1,2,3,4,5,6}.

(5)

× 0 1 2 3 4 5 6

0

1

2

3

4

5

6

D´efinition 5

On dit qu’un élément entier nest un carré moduloN s’il existea∈Z/NZtel que : a×a=n.

Exemple 3

Ici on suppose `a nouveau queN = 7. On travaille donc modulo 7.

1. Le nombre 23 est un carr´e modulo 7.

En effet

23 = 2 et

2 = 3×3.

2. Le nombre 10 n’est pas un carr´e modulo 7. En effet, 10 = 3

et 3 n’apparaˆıt pas sur la diagonale de la table de multiplication de Z/7Zdress´ee `a l’exercice 7.

Exercice 8

Ecrire une procédure nommée´ square mod d’argument(a, N)où – N est un entier naturel non nul ;

– aest un ´el´ement deZ/NZ;

qui renvoie la valeur de a×a dans Z/NZ (on calcule donc modulo N). On pourra s’inspirer de la proc´edure mult modconstruite `a l’exercice 6.

D´efinition 6 (Symbole de Legendre)

Soit nun nombre entier. On d´efinit le symbole de Legendre n N

par :

n N

=







0 siN divise n ;

1 siN ne divise pasnet si nest un carr´e moduloN ;

−1 siN ne divise pasnet si nn’est pas un carr´e modulo N .

(6)

Remarque 4

Dans le cas o`u nne divise pasN, le symbole de Legendren N

encode donc le fait quensoit ou non un carr´e modulo N.

Exercice 9

Ecrire une procédure nommée´ symbole legendre d’argument(n, N)où – N est un entier naturel non nul ;

– nest un entier ;

qui renvoie la valeur du symbole de Legendren N

.

3 Loi de r´ eciprocit´ e quadratique

D´efinition 7 (Nombre premier) Un entier naturelpest dit premier si :

– p≥2;

– pne poss`ede pas d’autres diviseurs entiers naturels que 1 et lui-mˆeme.

Exemple 4

1. Les nombres2,3,5,7,11,13sont des nombres premiers.

2. Le nombre 51 n’est pas premier (3 est un entier naturel qui divise 51 et 3 est diff´erent de 1 et 51 ( !)).

Remarque 5

Le caractère premier d’un nombre peut être testé avec la commande Maple isprime.

Exercice 10

A l’aide de Maple, d´eterminer si le nombre` 123457 est ou non premier.

On examine `a pr´esent la question suivante.

Sipetqsont deux nombres premiers impairs distincts, alors y a-t-il un lien entre les propri´et´es

≪pest un carr´e moduloq^≫ et ^≪q est un carr´e modulop^≫ ?

Il s’agit d’une question délicate, qui admet néanmoins une réponse positive et précise, donnée par le théorème suivant.

Théorème 1 (Loi de réciprocité quadratique)

Soientpetq des nombres premiers impairs distincts. On a : p

q q p

= (−1)^{(p−1)(q−1)}⁴ .

La loi de réciprocité quadratique² a été conjecturée par Euler et Legendre et démontrée par Gauß (1801).

Il s’agit d’un résultat profond, dont nous ne discuterons pas la preuve. On se propose simplement de le vérifier numériquement sur un certain nombre d’exemples.

Exercice 11

Vérifier la validité de la loi de réciprocité quadratique dans les cas suivants.

p= 13 etq= 83 ; p= 17etq= 127 ; p= 33331etq= 131071

On v´erifiera que tous ces nombres sont bien premiers et on pourra utiliser la proc´edure symbole legendre construite dans l’exercice 9.

2. On a ici donné une version partielle de la loi de réciprocité quadratique. Par exemple, on a aussi un résultat lorsquep= 2 et