MPSI – Programme de colles – Semaine 19
(du 15/02/2021 au 19/02/2021)1 Révisions de MPSI.
Un exercice, court, sur le chapitre suivant sera posé à chaque élève : - Chapitre 6 : Équations différentielles linéaires.
2 Espaces vectoriels.
Tout le programme précédent sur le chapitre 19.
Lesquestions de cours au programme sont les suivantes :
Caractérisation des sous-espaces vectoriels(Théorème 14, Chap 19).Une famille peiqiPI est une base de E ssi tout vecteur de E s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de la famille peiqiPI (Théorème 37, Chap 19).Caractérisation d’une somme directe de deux sous-espaces vectoriels (Proposition 41, Chap 19).
3 Espaces vectoriels de dimension finie.
• Espaces vectoriels de dimension finie. Existence de bases en dimension finie. Théorème de la base extraite, théorème de la base incomplète.
• Dimension d’un espace vectoriel. Caractérisation des bases en dimension finie parmi les familles libres, parmi les familles génératrices. Dimension d’un produit fini d’espaces vectoriels de dimensions finis. Rang d’une famille finie de vecteurs.
Question de cours : Caractérisation des bases parmi les familles génératrices et parmi les familles libres en dimension finie. (Théorèmes 9 et 10, Chap 20).
Question de cours : Caractérisation des familles finies libres et des familles finies génératrices par le rang de la famille (Propositions 16 et 17, Chap 20).
• Dimension d’un sous-espace vectoriel d’un espace de dimension finie. Existence de supplémentaires en dimen- sion finie. Base adaptée à un sous-espace, à une somme directe d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels.
Dimension de la somme de deux sous-espaces. Formule de Grassmann.
Question de cours :Caractérisation des couples de sous-espaces supplémentaires en dimension finie (Pro- position 27, Chap 20).
• Dimension de la somme d’un nombre fini de sous-espaces.
4 La semaine suivante.
Espaces vectoriels, dimension finie, applications linéaires.
Révisions sur : Arithmétique des entiers.
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