MPSI – Programme de colles – Semaine 20
(du 08/03/2021 au 12/03/2021)1 Révisions de MPSI.
Un exercice sur le chapitre suivant sera posé à chaque élève : - Chapitre 7 : Arithmétique des entiers.
2 Espaces vectoriels et espaces vectoriels de dimension finie.
Tout le programme précédent sur les chapitres 19 et 20.
Lesquestions de cours au programme sont les suivantes :
Caractérisation des bases parmi les familles génératrices et parmi les familles libres en dimension finie (Théorèmes 8 et 9, Chap 20). Caractérisation des familles finies libres et des familles finies génératrices par le rang de la famille (Propositions 14 et 15, Chap 20). Caractérisation des couples de sous-espaces supplémentaires en dimension finie(Proposition 23, Chap 20).
3 Applications linéaires.
• Applications linéaires. Opérations sur les applications linéaires : combinaison linéaire, composition, réci- proque.
Question de cours : LpE, Fq est un sous-espace vectoriel deFE (Théorème 5, Chap 21).
• Image directe et image réciproque de sous-espaces vectoriels par une application linéaire. Image et noyau d’une application linéaire. Caractérisation de l’injectivité, de la surjectivité d’une application linéaire.
Question de cours : Soit uP LpE, Fq. L’image réciproque d’un sous-espace vectoriel de F paru est un sous-espace vectoriel deE (Théorème 14, Chap 21).
• Image d’une famille de vecteurs par une application linéaire. Caractérisation des isomorphismes par l’image de bases.
Question de cours :SipxiqiPIfamille libre deE etuPLpE, Fqinjective, alorspupxiqqiPIlibre (Proposition 23, Chap 21).
• Détermination d’une application linéaire par la donnée de l’image d’une base, par la donnée de sa restriction sur des sous-espaces E1, . . . , Ep tels queE “Àp
i“1Ei.
• AnneaupLpEq,`,˝qdes endomorphismes deE. Automorphismes deE, groupe linéaireGLpEq. Homothéties, projecteurs/projections vectorielles, symétries vectorielles.
• Application linéaire de rang fini. Rang d’une application linéaire de rang fini. Invariance du rang par com- position par un isomorphisme.
• Théorème du rang. Caractérisation des isomorphismes entre deux espaces vectoriels de même dimension finie.
Question de cours : Théorème du rang (Théorèmes 58 et 59, Chap 21).
Question de cours :Caractérisation des isomorphismes entre deux espaces vectoriels de même dimension finie et son application à l’inversibilité des endomorphismes en dimension finie (Théorème 60 et Corollaire 61, Chap 21).
4 La semaine suivante.
Applications linéaires, hyperplans, sous-espaces affines.
Révisions sur : Groupes, anneaux, corps.
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