MPSI – Programme de colles – Semaine 1
(du 14/09/2020 au 18/09/2020)1 Éléments de logique. Modes de raisonnement.
• Assertion, connecteurs logiques et leur règle de négation, table de vérité.
• Implication et sa négation, réciproque, contraposée, équivalence.
• Quantificateurs, successions de quantificateurs, règle de négation.
• Modes de raisonnement : par l’absurde, par contraposée, par analyse-synthèse, par récurrence (simple, double et forte)
Question de cours :Théorème de récurrence simple (Théorème 15, Chap 0).
2 Calculs algébriques
• Sommes et produits finis de nombres complexes, relation de Chasles, changements d’indice, sommes et produits téléscopiques, exemples simples de regroupements de termes (regroupement par parité), exemples fondamen- taux :
n
ÿ
k“0
k,
n
ÿ
k“0
k2, sommes géométriques.
Question de cours :Factorisation de an`1´bn`1 (Proposition 9, Chap 1).
• Factorielle, coefficients binomiaux : notation ˆn
p
˙
, relation de symétrie, formule et triangle de Pascal.
Question de cours :Formule du binôme dans C(Proposition 28, Chap 1).
• Systèmes linéaires de n équations à p inconnues à coefficients réels ou complexes, système homogène associé, opérations élémentaires sur les lignes, algorithme du pivot de Gauss.
3 Nombres complexes et trigonométrie
• Parties réelles et imaginaires. Opérations sur les nombres complexes. Conjugaison et module, compatibilité avec les opérations. Représentation graphique (affixe d’un point, d’un vecteur).
Question de cours :Inégalité triangulaire (avec cas d’égalité) |z`z1| ď |z| ` |z1|(Proposition 17, Chap 2).
• Fonctions circulaires, fonction tangente, formules trigonométriques : cospa˘bq, sinpa˘bq, cosp2aq, sinp2aq, cosacosb,sinasinb,cosasinb,tanpa˘bq. Résolution d’équations et inéquations de type cospxq “ cospyq etc.
Paramétrage du cercle trigonométrique. Transformation d’une expression acosx`bsinx.
Question de cours :Paramétrage du cercle trigonométrique (Théorème 25, Chap 2).
4 La semaine suivante
Éléments de logique, modes de raisonnement. Calculs algébriques. Nombres complexes.
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