Programme de colles, semaine 5
(du 12/10/2020 au 16/10/2020)1 Ensembles, applications, relations binaires. Généralités sur les fonctions réelles.
Tout le programme précédent sur les chapitres 3 et 4. Lesquestion de coursau programme sont les suivantes : Une fonction f est bornée si, et seulement si, la fonction |f| est majorée (Proposition 27, Chap 4).
Dérivabilité sur R de la fonction f : R ÞÑ R définie par fp0q “ 0 et @x P R˚, fpxq “ x2sinx1, et non continuité de f1 en 0 (Dernier paragraphe du II.1).
Plus la fin du chapitre 4 :
• Étude des fonctions réelles. Asymptotes verticales, horizontales, obliques. Demi-tangentes (verticales ou non) aux bords finis du domaine où la fonction est définie. Prolongement par continuité en un point. Recherches d’extremums et d’inégalités.
• Extension aux fonctions d’une variable réelle à valeurs dans C (toutes les définitions passent par Repfq et Impfq). Continuité, dérivabilité, compatibilité avec les opérations (combinaison linéaire, produit, quotient, mais pas la composition).
Question de cours : Soitϕ:DĂRÑC une fonction dérivable. Alors f :x ÞÑeϕpxq est dérivable surD et :
@xPD, f1pxq “ϕ1pxqeϕpxq (Proposition 55, Chap 4).
• Primitives (existence admise pour les fonctions continues). Intégrale d’une fonction continue sur un segment ra, bs(définie à l’aide des primitives ; la version limite des sommes de Riemann est au programme du semestre 2). La fonctionxÞÑ
żx
x0
fptqdt est l’unique primitive s’annulant enx0.
• Propriétés de l’intégrale : inversion des bornes, linéarité, Chasles, positivité et croissance.
Question de cours : Positivité et croissance de l’intégrale des fonctions à valeurs dans R (Proposition 66, Chap 4).
• Intégration par parties. Changement de variables.
• Extension à l’intégration des fonctions d’une variable réelle à valeurs dans C. Application à l’exponentielle complexe.
2 Fonctions usuelles
• Fonctions logarithme népérien et exponentielle, propriétés, limites particulières. Logarithmes et exponentielles en base quelconque.
Question de cours : @px, yq P pR˚`q2, lnpxyq “lnpxq `lnpyq(Théorème 2, Chap 5).
• Fonctions puissances xÞÑxα avec αPR, propriétés, limites en 0` et`8 en fonction deα. Cas particulier des puissances entières.
• Croissances comparées des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles.
Question de cours : Croissances comparées lim
xÑ`8
lnx
x “0et lim
xÑ0`xlnx“0 (Théorème 21, Chap 5).
Question de cours : Croissances comparées lim
xÑ`8
plnxqβ
xα “ 0 et lim
xÑ0`xα|lnx|β “ 0 pour pα, βq P pR˚`q2 (Théorème 22, Chap 5).
3 La semaine prochaine
Fonctions. Début des équations différentielles linéaires.
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