Sommes de Riemann
Théorème 1 – Convergence des sommes de Riemann
Soit f une fonction définie sur un segment[a,b]. Pour n∈N∗, on pose :
Sn(f)=b−a n
n−1
X
k=0
f µ
a+kb−a n
¶
Si f estcontinuesur[a,b], alors Sn(f)−−−−−→n
→+∞
Z b a
f(t) dt .
B L’hypothèse de continuité est essentielle.
Remarques.
• On rencontre des variantes (au niveau des bornes de la somme) : si f est continue sur [a,b], alors
b−a n
n
X
k=1
f µ
a+kb−a n
¶
=Sn(f)−b−a
n f(a)+b−a
n f(b)−−−−−→
n→+∞
Z b a
f(t) dt b−a
n
n
X
k=0
f µ
a+kb−a n
¶
=Sn(f)+b−a
n f(b)−−−−−→n
→+∞
Z b a f(t) dt
• Cas particulier fréquent : sif est continue sur [0, 1], alors 1
n
n−1
X
k=0
f µk
n
¶
−−−−−→n
→+∞
Z 1 0
f(t) dt 1
n
n
X
k=1
f µk
n
¶
−−−−−→
n→+∞
Z 1 0
f(t) dt 1
n
n
X
k=0
f µk
n
¶
−−−−−→n
→+∞
Z 1 0
f(t) dt
Exemple. Déterminer la limite de la suite (un) définie par :
∀n∈N∗,un=1 n
n
X
k=1
cos µ
1+k n
¶
1
ÞLa fonctionf :x7→cos(x) estcontinuesur [1, 2] donc d’après les résultats précédents :
un=2−1 n
n
X
k=1
f µ
1+k2−1 n
¶
−−−−−→
n→+∞
Z 2 1
cos(t) dt=[sint]21=sin(2)−sin(1)
¦ Parfois la suite considérée n’est pas exactement une somme de Riemann comme dans l’exemple suivant.
Exemple. Déterminer un équivalent deun=
n
X
k=1
pn+k.
ÞPourn∈N∗, on metpnen facteur :
un=p n
n
X
k=1
s 1+k
n =np n×1
n
n
X
k=1
s 1+k
n
=vn
La suite (vn) est une somme de Riemann. La fonctionf :x7→p
1+xestcontinuesur [0, 1], donc :
vn= 1 n
n
X
k=1
f µk
n
¶
−−−−−→
n→+∞
Z 1 0
p1+tdt=
·2
3(1+x)3/2
¸1 0
=2
3(23/2−1)=4p 2−2 3
La limite de (vn) estfinieetnon nulle, doncvn ∼
n→+∞
4p 2−2
3 et par produit :
un ∼
n→+∞
4p 2−2
3 np
n
2
