MPSI  Programme de colles  Semaine 24

MPSI Programme de colles Semaine 24

1 Toute l'algèbre linéaire.

Toute l'algèbre linéaire est au programme : chapitres 19, 20, 21, 22, 23, 24 et 25.

2 Opérations élémentaires et systèmes linéaires.

• Opérations sur les lignes et les colonnes d'une matrice. Interprétation en termes de produit matriciel. Matrices de transvectionT_i,jpλq, matrices de dilatationD_ipµq et matrices de permutationP_i,j. Les opérations élémentaires conservent le rang. Application au calcul du rang et à l'inversion de matrices.

Question de cours : Les opérations élémentaires sur les lignes conservent le noyau. Les opérations élémentaires sur les colonnes conservent l'image. (Propositions 11 et 16, Chap 25).

• Écriture matricielle d'un système linéaire. Interprétation géométrique : intersection d'hyperplans anes. Système homogène associé. Rang, dimension de l'espace des solutions. Compatibilité d'un système linéaire. Structure ane de l'espace des solutions. Systèmes de Cramer. Algorithme du pivot de Gauss.

3 Intégration sur un segment.

• Continuité uniforme. Théorème de Heine.

• Subdivision d'un segment. Fonction en escalier. Intégrale d'une fonction en escalier sur un segment.

• Fonction continue par morceaux sur un segment. Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment.

Valeur moyenne.

• Linéarité, positivité et croissance de l'intégrale. Inégalité

»

ra,bsf ¤

»

ra,bs|f|. Relation de Chasles.

Question de cours : Soit f :ra;bs Ñ R une fonction continue et positive sur ra;bs. Si f n'est pas la fonction nulle sur ra;bs, alors

»

ra,bsf ¡0 (Théorème 31, Chap 26).

• Extension de la notation

»_b

a

fptqdtau cas où b¤a. Propriétés correspondantes.

• Inégalité de Cauchy-Schwarz, cas d'égalité. Inégalité de Minkowski, cas d'égalité.

Question de cours : Inégalités de Cauchy-Schwarz et Minkowski (sans cas d'égalité) (Théorèmes 44 et 46, Chap 26).

• Sommes de Riemann. Interprétation géométriques.

• Extension des notions précédentes au cas des fonctions à valeurs complexes.

4 Intégration et dérivation.

• Intégrale fonction de sa borne supérieure. Dérivation dexÞÑ

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a

fptqdtpourf continue. Calcul d'une intégrale au moyen d'une primitive. Toute fonction continue sur un intervalle possède des primitives.

Question de cours : Soient f : I Ñ R continue par morceaux, x0 PI et a P I. Si f est continue en x0, alors Φ :xÞÑ

»_x

a

fptqdt est dérivable enx0 avec Φ¹px0q fpx0q. (Proposition 7, Chap 27).

• Intégration par parties, changement de variable.

• Primitives usuelles. Calcul de primitives par intégration par parties, changement de variables.

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• Utilisation de la décomposition en éléments simples pour calculer les primitives d'une fraction rationnelle.

• Formule de Taylor avec reste intégral. Inégalité de Taylor-Lagrange (l'égalité est hors-programme). Formule de Taylor-Young. Primitivation d'un développement limité.

Question de cours : Formule de Taylor avec reste intégral. (Théorème 17, Chap 27).

Question de cours : Inégalité de Taylor-Lagrange. (Théorème 18, Chap 27).

• Extension des notions au cas des fonctions dénies sur un intervalle à valeurs complexes.

5 La semaine suivante.

Intégration. Séries. Déterminants.

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