MPSI - Programme de colles - Semaine 16
(du 25/01/2021 au 29/01/2021)1 Limites et continuité des fonctions.
Tout le programme précédent sur les chapitres 15 et 16.
Les questions de cours au programme sont les suivantes : Caractérisation séquentielle de la limite (Théorème 32, Chap 15). Théorème de la limite croissante (Théorème 33, Chap 15). L'image d'un intervalle par une fonction continue (Théorème 8, Chap 16). L'image d'un segment par une fonction continue (Corollaire 11, Chap 16).
2 Comparaison locale des fonctions et développements limités.
• Notions de domination, négligeabilité et d'équivalence de fonctions au voisinage de a P R. Propriétés et opérations valides. Propriétés conservées par l'équivalence : signe et limite.
• Développements limités, unicité des coecients, troncature. Développement limité en 0d'une fonction paire ou impaire. Forme normalisée d'un développement limité :fpa hq hppa0 a1h anhn ophnqq pour hÑ0, avec a0 0.
Question de cours : Unicité du DLnpx0q. (Proposition 26, Chap 17)
• Développements limités et continuité/dérivabilité. Formule de Taylor-Young (admise à ce stade du cours).
Développements limités usuels à tout ordre en0:exp,sin,cos,sh,ch,xÞÑlnp1 xq,xÞÑ p1 xqα, etarctan ettanà l'ordre3.
• Opérations sur les développements limités : combinaison linéaire, produit, quotient. Composition de DL (pas de résultat théorique sur la composition). Primitivation d'un DL.
Question de cours : Développement limité d'un produit de deux fonctions. (Proposition 37, Chap 17)
• Application des DL pour préciser l'allure d'une courbe au voisinage d'un point : tangente, asymptotes obliques (notion de développement asymptotique). Condition nécessaire, condition susante à l'ordre 2 pour un extremum local.
3 Dérivabilité. (Question de cours seulement)
Question de cours : Composition de fonctions dérivables ponctuellement (Théorème 22, Chap 18).
Question de cours : Théorème de Rolle (Théorème 26, Chap 18).
Question de cours : Théorème des accroissements nis (Théorème 27, Chap 18).
4 La semaine suivante
Comparaison locale des fonctions et développement limités. Dérivabilité. Révisions du programme d'Ana- lyse du premier semestre.
MPSI Lycée Pierre d'Ailly 2020-2021 Page 1
