MPSI – Programme de colles – Semaine 18
(du 08/02/2021 au 12/02/2021)En plus de la question de cours traditionnelle, chaque étudiant devra écriredeux DLnp0qusuelsparmi exp, sin,cos, sh, ch,x ÞÑ 1´x1 , x ÞÑ 1`x1 ,x ÞÑ lnp1`xq, x ÞÑlnp1´xq, x ÞÑ p1`xqα, et arctanà n’importe quel ordrenPN, ettanettanhà l’ordren“3.
1 Révisions de MPSI.
Un exercice, court, sur l’un au moins des chapitres suivants sera posé à chaque élève : - Chapitre 9 : Polynômes ;
- Chapitre 10 : Arithmétique dans KrXs; - Chapitre 11 : Fractions rationnelles.
2 Comparaison locale des fonctions et développements limités. Dérivation.
Tous les programmes précédents sur les chapitres 17 et 18.
Lesquestions de coursau programme sont les suivantes :Condition nécessaire pour avoir un extremum local en un point intérieur où la fonction est dérivable(Proposition 11, Chap 18).Caractérisation des fonctions dérivables monotones ou constantes sur un intervalle (Théorème 34, Chap 18).Théorème de la limite de la dérivée(Théorème 38, Chap 18).
3 Espaces vectoriels.
• Structure d’espace vectoriel. Exemples fondamentaux : K, Kn, KrXs, KN, EX “ FpX, Eq, produit d’un nombre fini d’espaces vectoriels.
• Sous-espaces vectoriels. Intersection d’une famille quelconque de sous-espaces vectoriels. Sous-espace vectoriel engendré par une partieX ou une famillepxiqiPI (notationVectpXq,VectpxiqiPI).
Question de cours : Caractérisation des sous-espaces vectoriels (Théorème 14, Chap 19).
• Familles et parties génératrices. Familles et parties libres, liées. Bases et coordonnées.
Question de cours : Une famille peiqiPI est une base deE ssi tout vecteur de E s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de la famille peiqiPI (Théorème 37, Chap 19).
• Somme de deux sous-espaces vectoriels. Somme directe. Sous-espaces supplémentaires.
Question de cours : Caractérisation d’une somme directe de deux sous-espaces vectoriels (Proposition 41, Chap 19).
• Somme d’un nombre fini de sous-espaces. Somme directe d’un nombre fini de sous-espaces.
4 La semaine suivante.
Espaces vectoriels, espaces vectoriels de dimension finie.
Révisions sur : Équations différentielles linéaires.
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