MPSI - Programme de colles - Semaine 14
(du 11/01/2021 au 15/01/2021)1 Nombres réels.
Tout le programme précédent sur le chapitre 12. Les questions de cours au programme sont les suivantes : Existence et unicité de la partie entière d’un réel(Théorème 20, Chap 12). Les ensembles Q et RzQ sont denses dans R(Théorème 26, Chap 12).
2 Suites numériques.
• Suite majorée, minorée, bornée. Suite stationnaire, monotone, strictement monotone.
• Limite finie ou infinie d’une suite(définitions avec inégalités larges). Suites convergentes, divergentes.
• Opérations sur les limites : combinaison linéaire, produit, quotient.
Question de cours : Opérations sur les suites de limite nulle (Propositions 21 et 22, Chap 13).
• Stabilité des inégalités larges par passage à la limite. Théorème d’encadrement des limites. Théorèmes de divergence par minoration ou majoration.
• Théorème de limite monotone. Suites adjacentes.
Question de cours : Théorème de la limite croissante (Théorème 35, Chap 13).
Question de cours : Théorème des suites adjacentes (Théorème 38, Chap 13).
• Suites extraites. Théorème de Bolzano-Weierstrass(démonstration non exigible).
• Traduction séquentielle de la densité, de la caractérisation de la borne supérieure, d’une partie non majorée.
Question de cours : Caractérisation séquentielle de la densité (Théorème 43, Chap 13).
• Suites de références : suites arithmético-géométriques, suites récurrentes linéaires d’ordre 2. Suites définies par la relation de récurrenceun`1 “fpunq.
• Extension aux suites complexes.
Question de cours : Théorème de Bolzano-Weierstrass version complexe (Théorème 72, Chap 13).
3 Comparaison des suites numériques.
• Relations de domination, de négligeabilité, d’équivalence pour les suites (définitions par le quotient uvn
n où pvnqnPN ne s’annule pas à partir d’un certain rang).
• Liens entre les différentes relations. Opérations sur les relations. Comparaisons de référence. Formule de Stirling (non démontré). Exemples de développements asymptotiques.
Question de cours : Pour tout aPR,an“opn!q (Proposition 20, Chap 14).
4 La semaine suivante
Suites numériques. Comparaison des suites numériques. Limites et continuité des fonctions.
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