Programme de colles, semaine 8
(du 16/11/2020 au 20/11/2020)1 Équations différentielles linéaires
Une résolution d’équation différentielle sera posée à chaque étudiant.
Lesquestions de coursau programme sont les suivantes :
Résolution de l’équation homogènepHq :y1`apxqy“0 (Théorème 2, Chap 6).Théorème de structure de l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y1 `apxqy“bpxq(Théorème 5, Chap 6).
2 Arithmétique dans Z
• Divisibilité dansZ, diviseurs, multiples. Ensemble des diviseurs d’un entier, ensemble des multiples d’un entier.
Caractérisation des couples d’entiers associés.
Questions de cours : Théorème de la division euclidienne (Théorème 8, Chap 7).
• PGCD de deux entiers naturels dont l’un au moins est non nul (le PGCD est défini comme le plus grand diviseur commun pour l’ordre naturel de N). Notation a^b ou P GCDpa, bq. Algorithme d’Euclide. Extension de la notion de PGCD pour deux entiers relatifs quelconques.
Question de cours : Relation de Bézout (Théorème 16, Chap 7).
Question de cours : Caractérisation du PGCD : l’ensemble des diviseurs communs àaetb (entiers naturels dont un au moins non nul) est égal à l’ensemble des diviseurs de a^b (Proposition 13, Chap 7).
• PPCM de deux entiers relatifs. Notation a_b ou P P CMpa, bq. Caractérisation du PPCM : l’ensemble des multiples communs à aetb est égal à l’ensemble des multiples dea_b.
• Nombres entiers premiers entre eux. Identité de Bézout. Lemme de Gauss. Forme irréductible d’un rationnel.
Lemme de Gauss généralisé.
Questions de cours : Identité de Bézout et lemme de Gauss (Théorèmes 20 et 21, Chap 7).
• Congruences modulo un entier de Z. Notation a ” brns. Compatibilité avec les opérations (somme, produit, puissances entières positives). Petit théorème de Fermat. (Les anneaux Z{nZ sont hors programme.) Questions de cours : Opérations sur les congruences : somme, produit, puissance (Propositions 52 et 53, Chap 7).
3 La semaine suivante :
Arithmétique. Groupes, anneaux, corps.
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