MPSI - Programme de colles, semaine 12
(du 14/12/2020 au 18/12/2020)1 Arithmétique dans K r X s ( K “ R ou C ).
Tout le programme précédent sur le chapitre 10. Les questions de cours au programme sont les suivantes : Caractérisation du PGCD : D est un PGCD de A et B ssi DivpAq XDivpBq “ DivpDq (Chap 10, Proposition 3).Lien entre le PGCD et le PPCM de deux polynômes non nuls (Chap 10, Proposition 14). Caractérisation de la divisibilité dans CrXs à l’aide des racines et des multiplicités(Chap 10, Théorème 30 et Corollaire 31).
2 Fractions rationnelles
• CorpsKpXq. Forme irréductible d’une fraction rationnelle. Fonction rationnelle. Degré. Partie entière.
Question de cours :Partie entière d’une fraction rationnelle (Définition 11 et sa démonstration, Chap 11).
• Zéros et pôles d’une fraction rationnelle. Multiplicités.
• Décomposition en éléments simples surC et surR. Si λest un pôle simple, coefficient de 1
X´λ. Décompo- sition en éléments simples de P1
P .(On évitera toute technicité excessive.)
3 Nombres réels. (Question de cours uniquement.)
Question de cours : Existence et unicité de la partie entière d’un réel (Théorème 20, Chap 12).
Question de cours : Les ensembles QetRzQsont denses dans R(Théorème 26, Chap 12).
4 La semaine suivante
Fractions rationnelles. Nombres réels. Suites numériques (début).
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