MPSI - Programme de colles - Semaine 17
(du 01/02/2021 au 05/02/2021)En plus de la question de cours traditionnelle, chaque étudiant devra écriredeux DLnp0qusuelsparmi exp, sin,cos, sh, ch,x ÞÑ 1´x1 , x ÞÑ 1`x1 ,x ÞÑ lnp1`xq, x ÞÑlnp1´xq, x ÞÑ p1`xqα, et arctanà n’importe quel ordrenPN, ettanettanhà l’ordren“3.
1 Révisions du programme d’analyse du premier semestre.
Un exercice de révision portant sur l’ensemble du programme d’analyse du premier semestre : nombres réels (chapitre 12), suites numériques et comparaison (chapitres 13 et 14), fonctions : continuité, comparaison locale, dérivabilité, fonctions usuelles, équations différentielles (chapitres 4, 5, 6, 15, 16, 17 et 18).
2 Comparaison locale des fonctions et développements limités.
Tout le programme précédent sur le chapitre 17.
Lesquestions de coursau programme sont les suivantes : Unicité du DLnpx0q (Proposition 26, Chap 17).
Développement limité d’un produit de deux fonctions(Proposition 37, Chap 17).
3 Dérivabilité.
• Dérivabilité en un point, nombre dérivé. Interprétation graphique. Dérivabilité à gauche, à droite. Dérivabilité sur un intervalle.
• Extrema locaux. Condition nécessaire en un point intérieur. Point critique.
Question de cours :Condition nécessaire pour avoir un extremum local en un point intérieur où la fonction est dérivable. (Proposition 11, Chap 18).
• Opérations sur les fonctions dérivables et les dérivées : combinaison linéaire, produit, quotient, composition, réciproque.
Question de cours : Composition de fonctions dérivables ponctuellement (Théorème 22, Chap 18).
• Théorème de Rolle. Inégalité des accroissements finis. Inégalité des accroissements finis. Fonctions lipschit- ziennes. Caractérisation des fonctions dérivables constantes, monotones, strictement monotones sur un inter- valle.
Question de cours : Théorème de Rolle (Théorème 26, Chap 18).
Question de cours : Théorème des accroissements finis (Théorème 27, Chap 18).
Question de cours : Caractérisation des fonctions dérivables monotones ou constantes sur un intervalle (Théorème 34, Chap 18).
Question de cours : Théorème de la limite de la dérivée (Théorème 38, Chap 18).
• Fonctions de classe Ck avec k PNY t8u. Opérations sur les fonctions de classe Ck : combinaison linéaire, produit, quotient, composition, réciproque.
• Extension aux fonctions à valeurs complexes. Inégalité des accroissements finis pour une fonction à valeurs complexes de classe C1.
4 La semaine suivante
Révisions polynômes. Dérivabilité. Espaces vectoriels.
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