ÉCS2 Ultime colle 13/3/17 au 24/3/17
Extrema des fonctions de n variables
On utilise le produit scalaire canonique et la norme canonique surRn.
Semaine du 13 mars : sur ouverts
+ Condition nécessaire : fonctionsC1, point critique ;
+ Formes quadratiques : définition, définies positives, définies négatives, de signe variable. Ecriture matricielle q(x) = tXSX où S est symé- trique. Caractérisation de la nature par le signe des valeurs propres de S. Méthode de Gauss d’écriture en somme/différence de carrés.
+ Conditions suffisantes : fonctionsC2. En un point critiqueA: (qAdéfinie positive ou Sp(S) ⊂ ] 0 ; +∞[)⇒ minimum ; (qA définie négative ou Sp(S)⊂]−∞; 0 [)⇒ maximum ; (qA de signe variable ou il existe des valeurs propres des deux signes (stricts !))⇒pas d’extremum.
Si 0est valeur propre et autres vp de même signe (⇔q signe constant mais non définie), on est très embêté !
Semaine du 20 mars : éventuellement fermés bornés, ou avec contrainte On ajoute à ce qui précède :
+ Méthode de recherche sur un fermé borné : on sait que sif est continue sur un fermé borné, alors f est bornée et atteint ses bornes. Recherche sur intérieur (notion non définie précisément dans le programme mais terme employé en cours) puis sur frontière (idem).
+ Extrema sous contrainte non critique g(X) = cte : si f, g :O → R C1 avec 5g ne s’annulant pas, alors ∃λ ∈ R,5f(X) = λ5g(X) est une condition nécessaire d’extremum sous contrainte ;
+ Extrema sous contraintes linéaires : soit C système de contraintes li- néaires et H système homogène associé, alors 5f(X) ∈ H⊥ est une condition nécessaire d’extremum sous contrainte.
Questions de cours.
Aucune. Que des exemples concrets à traiter en exercice.
