Programme de colles, semaine 11
(du 07/12/2020 au 11/12/2020)Chaque étudiant doit être interrogé sur une question de cours du programme ci-dessousetsur un de ces exercices sur les groupes :
1. pour toutnPN˚, Un est un sous-groupe de pC˚,ˆq; 2. pour toutnPZ, nZest un sous-groupe de pZ,`q; 3. pour toutaPR˚, anL
nPZ(
est un sous-groupe de pR˚,ˆq; 4. Zrisest un sous-groupe de pC,`q.
5. groupe produitGˆH de deux groupespG,˚GqetpH,˚Hq.
1 Polynômes.
Tout le programme précédent sur le chapitre 9.
Questions de cours :
• Le produit de deux polynômes A etB est un polynôme et vérifie degpABq “degpAq `degpBq (Chap 9, Proposition 13).
• Deux polynômes A et B sont associés si, et seulement si, il existe λ P K˚ tel que B “ λA (Chap 9, Proposition 26, point 1.).
• Si un polynôme P admetα1, . . . ,αp comme racines distinctes dansK, alors
p
ź
k“1
pX´αiqdivise P (Chap 9, Propositions 35 et 36).
• Caractérisation de la multiplicité d’une racine par les polynômes dérivés successifs (Chap 9, Théorème 61).
• Interpolation de Lagrange (Chap 9, Définition 62 et Propositions 63 et 64).
2 Arithmétique dans K r X s ( K “ R ou C ).
• PGCD de deux polynômes non tous les deux nuls (tout diviseur commun de A et B de degré maximal est PGCD deA etB). Algorithme d’Euclide. Relation de Bézout. PPCM de deux polynômes.
Questions de cours :Caractérisation du PGCD : D est un PGCD de A etB ssi DivpAq XDivpBq “ DivpDq (Proposition 4, Chap 10).
Questions de cours : Lien entre le PGCD et le PPCM de deux polynômes non nuls (Proposition 15, Chap 10).
• Couple de polynômes premiers entre eux. Identité de Bézout. Lemme de Gauss.
• PGCD d’un nombre fini de polynômes. Polynômes premiers entre eux dans leur ensemble. Polynômes premiers entre eux deux à deux.
• Polynômes irréductibles deCrXsetRrXs. Théorème de d’Alembert-Gauss. Théorèmes de décomposition en facteurs irréductibles dansCrXset dansRrXs.
Questions de cours :Caractérisation de la divisibilité dansCrXsà l’aide des racines et des multiplicités (Théorème 31 et Corollaire 32, Chap 10).
3 La semaine suivante
Polynômes. Fractions rationnelles.
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