Programme de colles, semaine 10
(du 30/11/2020 au 04/12/2020)1 Groupes, anneaux, corps
Tout le programme précédent sur le chapitre 8. Lesquestions de coursau programme sont les suivantes : Caractérisation des sous-groupes(Chap 8, Théorème 16).L’ensemble des inversibles d’un anneau est un groupe pour la multiplication(Chap 8, Proposition 20).Formule du binôme dans un anneau (Chap 8, Théorème 25).
2 Polynômes dans K r X s ( K “ R ou C ).
• Anneau KrXs: degré, somme, produit, composition, multiplication par un scalaire. EnsembleKnrXs.
Questions de cours : Le produit de deux polynômes A et B est un polynôme et vérifie degpABq “ degpAq `degpBq (Chap 9, Proposition 13).
• Divisibilité. Polynômes associés. Division euclidienne.
Questions de cours :Deux polynômesA etB sont associés si, et seulement si, il existeλPK˚ tel que B“λA(Chap 9, Proposition 26, point1.).
• Fonction polynomiale associée à un polynôme. Racine d’un polynôme. Caractérisation en termes de divi- sibilité.
Questions de cours : Si un polynôme P admet α1, . . . , αp comme racines distinctes dans K, alors
p
ź
k“1
pX´αiqdivise P (Chap 9, Propositions 35 et 36).
• Multiplicité d’une racine. Polynôme scindé, relations entre coefficients et racines.
• Dérivation des polynômes. Opérations sur les polynômes dérivés : combinaison linéaire, produit. Formule de Leibniz. Formule de Taylor polynomiale.
Questions de cours :Caractérisation de la multiplicité d’une racine par les polynômes dérivés successifs (Chap 9, Théorème 61).
• Polynômes interpolateurs de Lagrange Lk“
n
ź
i“1,i‰k
X´xi
xk´xi.
Questions de cours :Interpolation de Lagrange (Chap 9, Définition 62 et Propositions 63 et 64).
3 La semaine suivante :
Polynômes et arithmétique dansKrXs.
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