ECE2 Du 04/02/19 au 15/02/19
PROGRAMME DE COLLES n ◦ 8
INT´ EGRALES IMPROPRES
• Convergence des int´egrales Z +∞
a
f(t) dt. Crit`ere de Riemann. Int´egrales de fonctions exponentielles. Crit`eres de comparaison.
• Extension aux cas Z a
−∞
f(t) dt et Z +∞
−∞
f(t) dt. R´esultat `a connaitre : Z +∞
−∞
e−t2dt=√ π.
• Extension au cas Z b
a
f(t) dto`uf n’est pas d´efinie enaou enb:
— D´efinition de la convergence de l’int´egrale Z b
a
f(t) dt, o`uf est continue sur [a, b[, ]a, b] ou ]a, b[.
— Int´egrales de Riemann Z 1
0
1
tα dt. Int´egrale de fonction logarithmique Z 1
0
ln(t) dt.
— Crit`eres de comparaison par ´equivalence, par n´egligeabilit´e, par in´egalit´e des int´egrales de fonctions positives.
• M´ethodes de calcul : utilisation de la d´efinition, int´egration par parties, changement de variable.
Les techniques de calcul seront pratiqu´ees sur des int´egrales sur un segment, `a l’exception du changement de variable affine, qui peut ˆetre utilis´e directement dans des int´egrales g´en´eralis´ees.
• Propri´et´es des int´egrales impropres : relation de Chasles, lin´earit´e, positivit´e.
• Convergence absolue. In´egalit´e triangulaire.
FONCTIONS DE DEUX VARIABLES
• Distance dansR2. Boules ouvertes et ferm´ees deR2. Parties ouvertes (resp. ferm´ees, resp. born´ees) deR2.
• Fonctions de deux variables, domaine de d´efinition (avec repr´esentation de celui-ci dans le plan muni d’un rep`ere), continuit´e.
• Repr´esentation graphique : graphe d’une fonction de deux variables dans l’espace muni d’un rep`ere, lignes de niveau dans le plan muni d’un rep`ere.
• Toute fonction continue sur un sous-ensemble ferm´e born´eU deR2 admet un maximum global et un minimum global surU.
• Fonctions polynomiales de deux variables.
• Calcul diff´erentiel :
— D´eriv´ees partielles d’ordre 1, fonctions de classeC1. Gradient def.
— D´eriv´ees partielles d’ordre 2, fonctions de classeC2. Matrice hessienne def.
Th´eor`eme de Schwarz : Les d´eriv´ees partielles crois´ees d’une fonction de classeC2 sont ´egales.
• Extremum d’une fonction de deux variables :
— Notion d’extremum local d’une fonction de deux variables.
— Notion d’extremum global d’une fonction de deux variables.
— Notion de point critique.
• Condition n´ecessaire d’extremum local.
Si une fonction de classe C1 sur un sous-ensemble ouvert U de R2 admet un extremum local en (x0, y0), alors (x0, y0) est un point critique.
• Condition suffisante d’extremum local.
Soit (x0, y0) un point critique d’une fonction f de classeC2 sur un sous-ensemble ouvertU deR2.
— Si les valeurs propres de∇2(f)(x0, y0) sont strictement positives, alorsf admet un minimum local en (x0, y0).
— Si les valeurs propres de∇2(f)(x0, y0) sont strictement n´egatives, alorsf admet un maximum local en (x0, y0).
— Si les valeurs propres de ∇2(f)(x0, y0) sont non nulles et de signes oppos´es, alors f n’a pas d’extremum en (x0, y0) : le point (x0, y0) est un point col (ou point selle).
• V´erification du fait qu’un extremum local def est un extremum global.
