Paris 7 PH042
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CHAMPS CLASSIQUES
Exercices, feuille 2
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La transformation de Lorentz graphiquement (r´evision)Chlo´e et Colin sont tous deux inertes et ont un ´ev´enement commun dans leurs vies respectives. Ils ne s’int´eressent qu’aux ´ev´enements sur leurs trajectoires.
1. Repr´esenter les axes de temps et d’espace de Chlo´e et de Colin. . . i) dans l’espace-temps de Chlo´e,
ii) dans l’espace-temps de Colin.
2. Sur le graphe d’espace-temps de Chlo´e,
i) choisir un ´ev´enement quelconque, et repr´esenter l’ensemble des ´ev´enements simultan´es pour Chlo´e, ii) repr´esenter les constructions graphiques des coordonn´ees de temps de ces divers ´ev´enements pour Colin. Sont-ils simultan´es ?
3. Colin progresse, par rapport `a Chlo´e, bras tendu en avant. Des mesures l´egales l’ont convaincu que son bras `a une longueur l0= 1 m.
i) Sur le graphe d’espace-temps (x0, t0) de Colin, repr´esenter les lignes d’univers de l’´epaule et de la main de Colin, et les ensembles d’´ev´enements {x0=l0},{t0 = 0},{x02−t02=l20}.
ii) En d´eduire les repr´esentations des mˆemes lignes d’univers et ensembles d’´ev´enements sur le graphe d’espace-temps (x, t) de Chlo´e.
iii) Que dit Chlo´e de la longueur du bras de Colin telle qu’elle l’observe ?
2
Un vieux paradoxe(heureusement faux, mais ind´etordable sans graphes d’espace-temps)Luke est dans son vaisseau, `a la d´erive, qui se dirige vers son hangar d’entretien `a l’entr´ee duquel se tient Leia. Le hangar a bien entendu la longueur du vaisseau lorsque celui-ci s’y trouve au repos.
Leia ferme la porte d’entr´ee du hangar lorsque l’arri`ere du vaisseau franchit cette entr´ee, en se disant que, comme chacun sait, la relativit´e “contracte les longueurs”, et donc que l’avant du vaisseau ne touche pas encore le fond du hangar. Mais pour Luke aussi, la relativit´e contracte les longueurs, en particulier celle du hangar, qui est donc plus courte que la longueur du vaisseau ; l’avant du vaisseau doit donc avoir d´ej`a d´efonc´e le fond du hangar.
Discutez et d´ebrouillez cette contradiction au moyen d’un graphe d’espace-temps, dans le rep`ere de Leia par exemple, sur lequel vous repr´esenterez les lignes d’univers de l’entr´ee et du fond du hangar, de l’avant et de l’arri`ere du vaisseau, et les ´ev´enements que vous jugez notables.
3
Rigidit´e, relativit´e, causalit´eUn m`etre, pr´etendu ´etalon, est inerte. Vous d´ecidez de pousser cette r`egle longitudinalement par une de ses extr´emit´es. Repr´esentez l’allure des lignes d’univers de chacune des deux extr´emit´es de la r`egle.
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Le monde de SophieSophie n’est pas inerte. Elle sait d´ej`a, grˆace `a la notion de rep`ere propre, se doter en toute l´egalit´e d’un temps propre τ. Pour pouvoir attribuer une valeur deτ `a chaque ´ev´enement du vaste monde, elle a encore besoin d’une notion de simultan´eit´e qui peut ˆetre emprunt´ee, elle aussi, au rep`ere propre.
Sophie se meut sur une trajectoire rectiligne passant par Albert inerte.
1. Repr´esenter, sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere d’Albert (la seule classe de rep`eres o`u l’on soit `a peu pr`es sˆurs des notions d’espace, de temps, de trajectoire rectiligne,etc.), l’allure des lignes d’univers de Sophie et d’Albert.
2. Soient S1 et S2 deux ´ev´enements dans la vie de Sophie, voisins. Repr´esenter les ensembles d’´ev´enements respectivement simultan´es avec S1et avec S2pour Sophie.
3. Soient A1et A2les ´ev´enements dans la vie d’Albert qui sont simultan´es,pour Sophie, avec S1
et S2. Comparer qualitativement, selon la position de Sophie par rapport `a Albert, et selon le sens de son acc´el´eration, les diff´erences de tempstA1−tA2 etτA1−τA2 attribu´ees respectivement par Albert et par Sophie aux deux ´ev´enements.
2 Champs classiques, PH042 Paris 7
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Composition des vitesses (en (3 + 1) dimensions)Ada et Van sont tous deux inertes et conviennent de rep`eres respectifs en configuration standard.
1. Une mouche s’agite autour de Van. Etablir les composantes de la vitesse instantan´ee de la mouche par rapport `a Ada, en fonction des composantes de la vitesse par rapport `a Van et de la vitesse de Van par rapport `a Ada.
2. En d´eduire la forme vectorielle de la loi de composition des vitesses.
3. Pour v´erification :
i) R´etablir la forme vectorielle de la transformation sp´eciale de Lorentz.
ii) En d´eduire directement la loi de composition des vitesses sous forme vectorielle.
6
Qu’ont-elles de si sp´ecial ?Ada, inerte, observe Van. Elle lui trouve, entre autre, une vitesse constante, dont les composantes valent (1/2,1/3,1/4) sur le tri`edre spatial (ˆx,y,ˆ z) dont elle use. Quelles instructions doit-elle transmettreˆ
`
a Van qui, de son cˆot´e, observe Ada, pour que celui-ci construise son tri`edre (ˆx0,yˆ0,ˆz0) en sorte que la relation entre les coordonn´ees qu’ils affectent `a un ´ev´enement soit une transformation sp´eciale de Lorentz.
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Structure de groupeSoit l’ensemble des transformations de Lorentz, en unit´es l´egales :
t0= t−vx/c2 p1−v2/c2 x0= x−vt
p1−v2/c2 ,
o`uc est une constante — fondamentale — etvun param`etre dans ]−c, c[.
1. Montrez explicitement comment on parvient `a ´ecrire ces transformations en unit´es relativistes.
2. Quel est le r´esultat de la composition de deux transformations de param`etresβ1et β2? 3. V´erifiez que les transformations de Lorentz en (1+1) dimensions constituent un groupe. Est-il ab´elien ?
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Les transformations sp´eciales de Lorentz forment-elles un groupe ? En (3 + 1) dimensions...1. Les transformations sp´eciales de Lorentz admettent-elles ´el´ement neutre et inverses ?
2. Etablir la transformation de coordonn´ees r´esultant de la composition d’une transformation sp´eciale de Lorentz selon l’axe desx, suivie d’une transformation de Lorentz toute aussi sp´eciale selon l’axe desy0.
3. Cette transformation est-elle de Lorentz ? Est-elle sp´eciale ?
