CHAMPS CLASSIQUES

Paris 7 PH042

–

CHAMPS CLASSIQUES

Exercices, feuille 9

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R´etablir, `a l’aide du tenseur du champ, les formules de transformation de Lorentz des valeurs des champs ´electrique et magn´etique en un ´ev´enement. Une application : Quel est le mouvement d’une charge abandonn´ee dans une r´egion o`u r`egne un champ ´electrique uniforme et constant ?

2

Soient −→E et−B→les valeurs des champs ´electrique et magn´etique en un ´ev´enement.

1. Existe-t-il toujours un rep`ere ´equivalent dans lequel le champ ´electrique est nul ? Si les conditions n´ecessaires sont remplies, d´eterminez la vitesse de ce rep`ere.

2. D´eterminez la vitesse d’un rep`ere ´equivalent dans lequel les champs ´electrique et magn´etique sont align´es.

3

1. Chlo´e se voue `a l’´etude d’un fil cylindrique “infini” (par rapport `a quoi ?), uniform´ement charg´e, dont la densit´e de charge lin´eique vautλ=ρS, o`uρest la densit´e de charge (constante), etSla section du fil. Quels champs ´electrique et magn´etique observe t-elle en un point donn´e ?

2. Colin se d´eplace `a vitessev constante, parall`element au fil de Chlo´e.

i) Donner les expressions des composantes des champs−E→⁰ et −→B⁰ qu’il observe en un point donn´e, en fonction dev et du champ ´electriqueE observ´e par Chlo´e en ce point.

ii) Quelles sont les composantes j^0α de la densit´e de courant pour Colin ? Que valent la densit´e de charge lin´eiqueλ⁰ et l’intensit´e du courantI⁰ correspondantes ?

iii) En d´eduire le champ magn´etique cr´e´e par un fil rectiligne neutre parcouru par un courant I constant.

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1. Rappelez pour Chlo´e l’expression du champ ´electrique −E→⁰₂ cr´e´e en un ´ev´enement de coor- donn´ees~r⁰₂, t⁰₂par une charge ponctuelleq, immobile `a l’origine.

2. Rappelez l’expression vectorielle du champ ´electrique −E→2 observ´e au mˆeme ´ev´enement par Colin, en fonction de−E→⁰₂ et de la vitesse~vde Chlo´e.

3. Que peut dire Colin du mouvement de la charge ? Quelle ´equation ~r(t) associe t-il `a sa trajectoire ?

4. Rappelez l’expression vectorielle de la position~r⁰₂ de l’´ev´enement pour Chlo´e en fonction de la position~r2 et de l’instantt2de cet ´ev´enement pour Colin.

5. Reste enfin `a exprimer, pour le bonheur de Colin, le champ−→E2en fonction des coordonn´ees~r2, t2

qu’il attribue `a l’´ev´enement o`u il observe ce champ. . .

i) Pour cela, je ne peux que vous conseiller de calculer d’abord|~r⁰₂(~r2, t2)|²pour parvenir `a l’exprimer sous forme de produit d’un facteur ne d´ependant que du vecteur~r2−~vt2et d’un facteur ne d´ependant que de|~v|et de l’angle θentre ~vet~r2−~vt2.

ii) Calculer enfin−→E2(~r2, t2) en le mettant sous forme d’un produit analogue.

6. Calculez, de la mˆeme fa¸con, le champ magn´etique −B→(~r2, t2) observ´e par Colin au mˆeme

´

ev´enement, et montrez que, finalement,−→B2=~v∧−→E2.

2 Champs classiques, PH042 Paris 7

5

Le mod`ele le plus simple que l’on puisse envisager pour l’´electron, permettant d’´eviter des infinis, consiste en une coquille sph´erique de masse, dite “m´ecanique”, mmec., rayon a, charge uniform´ement r´epartieq.

1. Calculer l’´energieWch.du champ ´electromagn´etique cr´e´e par une telle coquille au repos ´eternel.

2. En d´eduire l’´energie totaleW du syst`eme coquille-champ au repos.

3. Cettte coquille ´etant ins´eparable de son champ (ai-je bien dit qu’il ´etait de convection ?), c’est l’ensemble qui doit avoir le comportement de la particule observ´ee. En d´eduire l’expression de la masse observ´ee (ne serait-ce que dans l’´etables), me, sous forme de somme d’une contribution m´ecanique,m_mec., et d’une contribution ´electromagn´etique, m_´em..

4. Quelle valeur se trouve t-on forc´e d’attribuer `a mmec.si l’´electron a un rayon nul ?

5. Quelle est la valeur du rayon asi la totalit´e de la masse observ´ee m_e est attribu´ee au champ

´

electromagn´etique ?

6. Quelles sont les valeurs des impulsions P~ch. et P~ du champ et du syst`eme coquille-champ au repos ?

7. S´eduit par les attraits de ce mod`ele on l’applique maintenant au cas d’un ´electron se mouvant

`

a faible vitesse ~v, constante. Estimer l’´energie W⁰ de l’ensemble dans l’approximation consistant `a n´egliger les termes d’ordrev².

8. Tout allant d´ecid´ement pour le mieux, on peut s’offrir le luxe d’une petite v´erification en d´eterminantm´em.par un autre moyen. Calculer pour cela, et toujours `a l’ordre v<sup>2</sup> pr`es, l’impulsion du champ,P~⁰_ch., et l’impulsionP~⁰ de l’ensemble coquille-champ. En d´eduire la valeur dem´em.. Epilogue.

Vous vous ˆetes d´ej`a pos´e quelques intelligentes questions : Pourquoi deux valeurs diff´erentes pour la mˆeme grandeur ? Y-en a-t-il seulement une des deux qui soit bonne ? Laquelle ? Et d’ailleurs que veut dire “bonne” ?

Les r´eponses propos´ees par quelques personnes tr`es intelligentes au fait que W, P~, W<sup>0</sup> et P~<sup>0</sup> n’ont manifestement pas les propri´et´es habituellement conf´er´ees `a l’´energie et `a l’impulsion d’une particule :

— Notre syst`eme mod`ele n’est pas une particule car il est instable. Il faut ajouter des forces suppl´ementaires qui maintiennent la coquille contre la r´epulsion ´electrostatique, et tenir compte de ces forces dans le bilan d’impulsion. (C’est Poincar´e, mais un tantinet ringard.)

— Notre syst`eme est bien une particule stable (au prix de l’´enonciation d’un nouveau principe fondamental : le champ cr´e´e par une particule n’agit pas sur elle-mˆeme), mais ce que l’on a calcul´e n’est pas son impulsion puisqu’elle n’en a pas les propri´et´es de transformation. Qu’`a cela ne tienne, on n’a gu`ere de doutes surW etP~ pour la particule au repos ; il suffit alors de d´ecider queW⁰etP~⁰seront obtenus conform´ement aux lois de transformation en vigueur pour une particule. (C’est moderne. C¸ a peut mˆeme s’´ecrire tensoriellement.)

6

Etant donn´´ ees les solutions particuli`eres de l’´equation d’onde avec sourcesρ(r, t) etj(r, t),

φ(r, t) = 1 4π

Z

d³r⁰ ρ(r⁰, t− |r−r⁰|)

|r−r⁰| A(r, t) = 1

4π Z

d³r⁰ j(r⁰, t− |r−r⁰|)

|r−r⁰| ,

d´eterminez une condition suffisante pour que lesdites solutions satisfassent la propri´et´e suppl´ementaire

∂tφ+∇ ·A= 0. Qu’en est-il dans le cas de l’´electrodynamique ?