CHAMPS CLASSIQUES

Paris 7 PH042

–

CHAMPS CLASSIQUES

Exercices, feuille 4

1

1. Deux ´ev´enements dans la vie de Sophie, parmi tant d’autres :

— l’´ev´enement S1 o`u la vitesse de Sophie vaut 0 pour Isaac etv pour Albert, tous deux inertes,

— suivi, apr`es un tempsdt<sup>0</sup> pour Isaac et dtpour Albert, de l’´ev´enement S2 o`u la vitesse de Sophie vautdv⁰ pour Isaac etv+dv pour Albert.

Quelle est l’expression de dv⁰ en fonction dev etdv?

2. Quelle est l’expression de “l’acc´el´eration propre”ade Sophie, en fonction de dv⁰ etdt⁰? Quelle est l’expression de la dur´ee dt⁰ en fonction de v et dt? En d´eduire l’expression de la dur´ee dt en fonction dea,v etdv.

3. Sophie, en surveillant bien son poids, pilote sa fus´ee `a acc´el´eration propre constante. Sachant qu’elle a quitt´e Albert en douceur, avec une vitessev(0) nulle, `a l’instantt= 0, quelle est l’expression de sa vitesse v(t) `a l’instantt pour Albert toujours inerte ?

4. En d´eduire l’expression de la positionx(t) de Sophie `a l’instanttpour Albert. Quelles sont les expressions approch´ees de x(t) et dev(t) lorsquetest petit ? lorsquetest grand ? (par rapport `a quoi au fait ?) Repr´esenter sur un mˆeme graphe d’espace-temps dans le rep`ere (x, t) d’Albert :

i) la ligne d’univers d’Albert, ii) la ligne d’univers de Sophie,

iii) la ligne d’univers d’Isaac, inerte, qui `a l’instantt1 co¨ıncide, en douceur avec Sophie.

5. Quelle est, en g´en´eral, la dur´eedτ ´ecoul´ee pour Sophie, entre S₁ et S₂, en fonction dedt⁰? en fonction de dtet v? Lorsque Sophie se dote d’un mouvement `a acc´el´eration propre constantea, que devient cette dur´eedτ, en fonction dedt,aett?

6. En d´eduire le temps propre τ(t) `a la pendule de Sophie, en fonction de a et t pour Albert.

Quelles sont les expressions approch´ees deτ(t) pourt petit ? pourt grand ?

7. Sophie se donne l’acc´el´eration de confort a = g = 9,8 m s⁻². Calculer a en m⁻¹, en s⁻¹, en ann´ee⁻¹. Calculerv(t) etτ(t) apr`es 1 mois, 3 mois, 1 an, 3 ans, 10 ans.

2

Pour une particule dont la trajectoire est x(t) = a⁻¹p

1 + (at)², y(t) = z(t) = 0, o`u a est une constante. . .

1. Calculerτ(t).

2. Exprimer t(τ), x(τ), les composantesU⁰(τ) et U¹(τ) de la quadri-vitesse, le facteur γ, et la vitessedx/dt, en fonction des lignes hyperboliques de aτ.

3. Calculer les composantesA⁰(τ) etA¹(τ) de la quadri-acc´el´eration. En d´eduire, dans ce cas de mouvement, une relation entre les quadrivecteursdA

e/dτ etU e. 4. CalculerU

e

2,U e·A

e etA e

2. Quel nom peut-on donner `a ce mouvement ? 5. Calculer la rapidit´eϕ(τ). Ce r´esultat pouvait-il ˆetre attendu ?

3

Sieglinde et Siegmund d´erivent de conserve et, bien entendu, de concert, dans l’espace, libres, inertes.

Siegmund d´ecide de quitter Sieglinde en se donnant une acc´el´eration propre constantea=gpendant une dur´ee finie ∆τ. Puis, apr`es une rapide manœuvre de retournement de sa fus´ee, il continue encore, avec la mˆeme acc´el´eration propre, pendant la dur´ee 2∆τ. Puis il retourne encore sa fus´ee et continue, toujours avec la mˆeme acc´el´eration propre, pendant ∆τ, pour finir par couper son moteur. Pendant tout ce temps Sieglinde est rest´ee au repos.

1. Repr´esenter toute cette ´epop´ee (lignes d’univers) sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere de Sieglinde.

2. Calculer le temps total 4∆τ qui s’est ´ecoul´e pour Siegmund si cette histoire a dur´e 9 mois pour Sieglinde.

2 Champs classiques, PH042 Paris 7

4

Un vaisseau spatial se rend en droite ligne de la plan`ete Terre jusqu’au centre de la galaxie (distanceD≈30.000 ann´ees) en acc´el´erant (proprement) `a 9,8 m s⁻²pendant la moiti´e du voyage puis en d´ec´elerant, `a la mˆeme valeur, pendant la seconde moiti´e. L’itin´eraire direct passe suffisamment loin de tout corps c´eleste pour que les effets gravitationnels soient n´egligeables.

1. Repr´esenter l’allure de cette histoire sur un diagramme d’espace-temps dans le rep`ere terrestre.

2. En utilisant l’ann´ee comme unit´e de base. . . i) Calculer la valeur de l’acc´el´eration propregen ann´ees.

ii) Quel est le temps terrestre ∆tn´ecessaire pour ce voyage ?

iii) Quel est la dur´ee ∆τ de ce voyage pour les astronautes ? Le r´esultat n’est-il pas encourageant ? 3. On ´etudie maintenant les conditions m´ecaniques de r´ealisation de ce voyage.

i) Pour cela on se place dans un rep`ere inertiel o`u, en un ´ev´enement donn´e de la fus´ee, celle-ci a une masse m et une vitesse nulle. Apr`es avoir ´eject´e une quantit´e d’´energiedε sous une vitesse de moduleu, la fus´ee a une massem+dmet une vitessedv. Quelle relation le principe de conservation de la quadri-impulsion totale permet-il de trouver entredv, dm,uetm?

ii) Quelle valeur d’accroissementdV en d´eduit-on pour la vitesseV de la fus´ee dans le rep`ere inertiel terrestre ? (Utiliser par exemple la formule de composition des vitesses.)

iii) En d´eduire l’expression du rapport des masses m2/m1 en fonction des rapidit´es ϕ1 et ϕ2 d’une fus´ee qui fonctionne `a vitesse d’´ejection uconstante entre les ´ev´enements 1 et 2.

4. Pour le voyage pr´evu. . .

i) En d´eduire la masse finale mf au terme du voyage, en fonction de la massemi au d´epart, de la rapidit´e `a mi-cheminϕ_1/2 et de la vitesse d’´ejectionu.

ii) Estimer la rapidit´e `a mi-chemin en fonction deg etD.

iii) Quelle est la vitesse d’´ejection optimale ?

iv) En supposant cette vitesse techniquement r´ealisable, quelle masse mi la fus´ee doit-elle avoir au d´epart pour acheminermf = 1 tonne au centre de la galaxie ?

5

Br¨unnhilde, Sieglinde et Siegmund sont d’abord inertes, immobiles les uns par rapport aux autres, align´es, et Br¨unnhilde est `a mi-chemin entre Sieglinde et Siegmund. Une ficelle est tendue entre Sieglinde et Siegmund.

Nos trois h´eros sont convenus depuis longtemps que lorsque Sieglinde et Siegmund re¸coivent un signal radio de Br¨unnhilde, ils doivent tous deux prendre la fuite dans ce qui ´etait ant´erieurement ladirection de la ficelle, dans lemˆeme sens(disons de Sieglinde vers Siegmund), en mettant en route leurs moteurs respectifs qu’ils pilotent avec lemˆeme programme d’acc´el´eration propre(par exemple constante). Toute la question est maintenant de pr´edire le d´enouement (si l’on peut dire) pour le lien qui unit Sieglinde et Siegmund : la ficelle va-t-elle rester tendue, se d´etendre, ou casser. . .

1. Repr´esenter tout ce sc´enario sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere de Br¨unnhilde : lignes d’univers, signaux radio (mais pas la ficelle qui a vraiment trop de points et dont on ne sait pas encore grand chose).

2. Soit un ´ev´enementA de Sieglinde au cours de sa fuite.

i) Repr´esentez la ligne d’univers de Bell, inerte, qui a enA une vitesse nulle par rapport `a Sieglinde.

ii) Repr´esentez l’ensemble des ´ev´enements qui, pour Bell, sont simultan´es avec A.

iii) Repr´esentez l’´ev´enementB de Siegmund qui, pour Bell, est simultan´e avecA.

iv) Repr´esentez la ligne d’univers de Richard qui, en B, a une vitesse nulle par rapport `a Siegmund.

3. A l’aide du graphique ainsi construit. . . i) Comparez les vitesses de Bell et de Richard.

ii) Qu’en d´eduisez-vous pour la vitesse de Richard par rapport `a Bell, et pour le sort de la ficelle ? R´ef. :J.S. Bell,How to teach special relativity, inSpeakable and unspeakable in quantum mechanics, Cambridge University Press (), p. 67.