THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS EXAMEN,

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Paris 7 QA 421-422

–

THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

EXAMEN, t₀= mercredi 26 mai, 14 h.

∆t= 4 heures

Il n’est pas totalement inutile de lire l’énoncé : les questions sont en principe, et parfois en dépit des apparences, rédigées dans l’intention de faciliter votre tâche. Mais avant cela, quelques remarques :

• Conventions typographiques :~b, −→B repr´esentent des (tri)vecteurs,r,S des quadrivecteurs.

• Si les conséquences d’une erreur de calcul, propagées tout au long d’une solution, sont éventuellement pardonnables dans la mesure où elles ne heurtent pas le “bon sens”, toute récidive d’une erreur de dimensions constitue par contre une faute aggravée.

• Songez à toutes les méthodes de vérification de vos résultats : symétries, dimensions, cas particuliers, cas limites, bon sens, patrimoine culturel, etc. Il en sera tenu compte ; faire de la physique c’est aussi prévoir un résultat avant tout calcul puis, après celui-ci, corriger ses erreurs.

• Des blocages moraux quelque peu désuets me rendent particulièrement irascible en cas de suspicion de fraude, et encore plus s’il en résulte des inepties. Aidez moi à éviter des sentiments dont j’aurais honte !

• Ne vous affolez pas de la longueur du problème proposé. Considérez le comme un hommage à vos capacités et ne l’attaquez qu’après avoir effectué les exercices* qui suffisent par ailleurs pour vous assurer la moyenne.

Bon courage. le G.O.

I*. ELECTRODYNAMIQUE, TRANSFORMATIONS DE LORENTZ

1. Rappelez les équations de l’électrodynamique régissant les évolutions du tenseur du champ électroma- gnétique en présence de la source j^α(r), et d’une charge d’épreuve ponctuelleq.

2. Rappelez l’expression de ces mêmes équations pour les champs électrique −→E(r) et magnétique −→B(r), et pour les taux de variationdp⁰/dtetd~p/dtde l’énergie et de l’impulsion de la charge d’épreuve.

3. i) Les champs ont les valeurs −→E et −→B en un événement dans un repère (t, x, y, z). Calculez les composantes de ces champs, au même événement, dans un repère (t⁰, x⁰, y⁰, z⁰) qui se déplace à la vitessevx, en configuration standard.ˆ

ii) En déduire les expressions vectorielles des composantes de −→E⁰ et −→B⁰ parallèles et normales à la vitesse relative des repères.Décrivez quelques moyens de vérifier la justesse de votre calcul.

iii) Les champs en un ´ev´enement P ont pour composantes, dans (t, x, y, z) :

−→E_P= (0

E_P 0

, −→B_P= (0

0 B_P

.

Calculez les composantes des champs−→E⁰_P et−→B⁰_Pen ce même événement, dans le repère (t⁰, x⁰, y⁰, z⁰).

D´ecrivez quelques moyens de v´erifier la justesse de votre calcul.

4. i) Soit les champs

−→E(t, x, y, z) = (0

Ecos(ωt−kx) 0

et −→B(t, x, y, z) = (0

0

Bcos(ωt−kx) ,

dans une certaine région de l’espace-temps. Reportant ces champs dans les équations de Maxwell, déterminez à quelles conditions sur les constantes E,B,ω et kils en sont solutions s’il n’y a pas de sources dans la dite région.

ii)Calculez dans ce cas les composantes des champs−→E⁰(t⁰, x⁰, y⁰, z⁰) et−→B⁰(t⁰, x⁰, y⁰, z⁰) dans la même région, dans le repère (t⁰, x⁰, y⁰, z⁰).Décrivez quelques moyens de vérifier la justesse de votre calcul.

iii) Commentaires ?

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2 Maˆıtrise de physique, Paris 7 II*. RAYONNEMENT D’UNE CHARGE A BASSE VITESSE

1. Rappelez l’expression du champ électrique rayonné par une charge ponctuelle à basse vitesse, en expliquant la signification des symboles que vous employez.

2. Qualitativement, pour une charge en mouvement uniforme `a basse vitesse sur une orbite circulaire : i) Indiquez, par des petits dessins, les caract´eristiques (distribution angulaire et polarisation) du rayonnement.

ii) Vous disposez, pour détecter ce rayonnement, d’un bout de fil conducteur rectiligne. Représentez les orientations optimales de cette antenne selon sa position par rapport au système émetteur.

3. Quantitativement:Calculez la puissance rayonnée à l’instantt, à travers une sphère de rayonrgrand centrée sur la position d’une charge source dont la vitesse est négligeable.

III*. CHAMP ELECTROMAGNETIQUE CREE PAR UNE CHARGE Le sch´ema ci-contre repr´esente la trajectoire d’une charge

q > 0 dont la vitesse a un module constant v = 3/5. A l’instantt= 0, la charge est enx= 0, y=a.

1. Déterminez l’allure du champ électrique à t = 0, en P (x=a,y=a), et en Q (x= 2a,y=a).

2. Représentez l’allure des lignes du champ électrique àt= 0, dans le plan (x, y), ainsi que les zones où il y a un champ du type rayonnement.

3. Représentez l’allure du champ magnétique à t = 0 en les points du plan (x, y).

IV. MOUVEMENT DU SPIN PORTE PAR UNE CHARGE

L’objet de notre commune (mais pas si vulgaire) passion va être le mouvement du moment magnétique intrinsèque porté par une particule chargée plongée dans un champ électromagnétique. Ce mouvement est parfaitement connu dans un repère (ai-je bien dit qu’il était inertiel) où la particule est au repos. L’idée est donc d’en déduire, par simple changement de repère, l’équation du mouvement dans un repère où la particule est animée d’une certaine vitesse. C’est facile. . . conceptuellement, mais techniquement pas totalement trivial, et ¸ca réserve, au bout du compte, quelques effets inattendus.

1. Le patrimoine culturel.

i) Vous vous souvenez que l’électrodynamique prédit qu’un circuit électrique placé dans un champ

électromagnétique est soumis à des forces. Un petit (par rapport à quoi au fait ?) circuit, en particulier, est soumis à un couple résultant−M→=~µ∧−→B, où~µest lemoment magnétiquecaractéristique du circuit.

Le circuit est aussi soumis à une force résultante (tiens au fait, vous en connaissez l’expression ?) que nous n’aurons pas à envisager. (Vous pourrez dans la suite, faire remarquer le moment où il faut penser

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a cette force pour pouvoir ensuite la n´egliger l´egitimement.)

ii) Vous vous souvenez encore qu’une charge q, masse m, moment cinétique −→L, peut être assimilée

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a un circuit de moment magn´etique ~µ = _2m^q −→L. (Au fait, sauriez-vous retrouver rapidement cette expression ?)

iii) Bien ; mais tout ¸ca c’est de la théorie. Empiriquement c’est assez bien confirmé, encore que l’on s’aper¸coive que, même au repos (−→L = 0), la charge a encore un moment cinétique intrinsèque (son spin−→S, que l’on va traiter classiquement, juste pour voir) qui, soumis à un champ électromagnétique a un mouvement en tout point identique à celui d’un moment magnétique intrinsèque

~ µ=^dfg q

2m

−→S ,

où le facteur g, sans dimension est caractéristique de la particule (au même titre que m, q et |−→S|) et d’origine totalement empirique dans le cadre où nous nous pla¸cons. En déduire l’équation du mouvement du spin, c’est-à-dire l’expression de d−→S /dt, pour une charge porteuse immobile, en

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Théorie classique des champs 3 fonction de. . . tout ce qu’il faut. Montrez que cette équation est celle d’un mouvement de rotation de vitesse angulaire~ω, constante, que vous préciserez.

2. Maintenant commencent les choses sérieuses, lorsque la charge porteuse est animée d’une vitesse (disons par rapport au laboratoire) certaine et, qui plus est, variable. Plusieurs repères vont intervenir, qu’il va falloir définir proprement, puis la première tâche sera d’y écrire ce que nous savons déjà du mouvement du spin.

i) Soit donc, associé à un événement P’ de la charge porteuse, un repère inertiel R’ dans lequel la vitesse de la charge en P’ est nulle (repère tangent). Toutes les valeurs des grandeurs relatives à ce repère sont notées affectées d’un prime. Quelle est l’expression de d−→S⁰/dt⁰, en l’événement P’, en fonction de g, q, m et des valeurs du spin−→S⁰ et du champ magnétique −→B⁰ en cet événement ? La ligne d’univers de la charge peut être paramétrée par son temps propre τ aussi bien que par le tempst⁰ ou par des lettres P’, P”. . .Quelle est l’expression correspondante ded−→S⁰/dτ, toujours en l’événement P’ ? ii) Les considérations précédentes contiennent implicitement une définition du spin d’un objet accéléré : le spin−→S⁰ de la charge en P’ est le triplet des composantes du spin dans le repère tangent (donc inertiel) en P’. Qu’il y ait accélération ne change donc rien aux composantes du spin, mais il n’est pas du tout certain qu’il en aille de même pour l’équation d’évolution du spin. En effet, les valeurs de −→S⁰ et d−→S⁰/dτ en P’ ne nous disent pas encore directement la valeur −→S⁰⁰ du spin en un événement ultérieur P” et donc dans un autre repère inertiel R”. L’idée va être de passer par un repère intermédiaire, aussi inertiel, mais toujours le même, dit repère du laboratoire, L. Les opérations de changements de repères inertiels sont plus simples sur des multiplets qui se transforment linéairement ; on va donc définir un quadrivecteurSpar les valeurs de ses composantes dans un repère particulier, le repère tangent à l’événement, à savoir, pour les composantes contravariantes de S(P⁰) en l’événement P’, dans le repère R’ :

(S⁰⁰(P⁰)^df= 0

−→S⁰(P⁰)^df=−→S⁰ .

On connaˆıt déjà d−→S⁰/dτ en P’, on devrait donc relativement facilement pouvoir en déduire les expressions de dS^α/dτ dans le laboratoire. Mais attention ! ce n’est pas parce que la composanteS⁰⁰ est nulle en l’événement P’, par définition, qu’elle doit, ou qu’elle peut, le rester. En d’autres termes, dS⁰⁰/dτ en P’ n’est peut-être pas nulle. Effectivement. . . U(P⁰) étant la quadrivitesse de la charge en P’, calculez la valeur du produit scalaire U·S associé à chaque événement de la charge porteuse.

En déduire la valeur de sa dérivéed(U·S)/dτ et l’expression dedS⁰⁰/dτen fonction de−→S⁰etd−→U⁰/dτ, en P’.

iii) Exprimez les valeurs des dérivées des composantes spatiales,dS⁰ⁱ/dτ, en fonctions deg, q,m et des composantesF^0µν etS^0α du tenseur du champ électromagnétique et du quadrivecteur spin, en P’

dans R’.

iv) De même, à l’aide des équations du mouvement de la charge dans le champ, exprimezdS⁰⁰/dτ en fonction deq,m,F^0µν,S^0α et des composantesU^0β de la quadrivitesse de la charge, en P’ dans R’.

v) Maintenant, vous vous souvenez que lesdS^0α/dτ sont composantes d’un quadrivecteur (pourquoi au fait ?). Il ne vous reste plus qu’à faire preuve d’intuition culinaire pour, à l’aide des ingrédients dont vous disposez (en particulier les composantes U^0α et S^0α qui ont des valeurs simples), pour en déduire une expression de dS^0α/dτ tensoriellement équilibrée.

vi) En d´eduire l’expression dedS^α/dτ en termes deq,m,get des composantesF^µν,S^µetU^µen tout

événement, dans le repère L du laboratoire (équation BMT, deBargmann, Michelet Telegdi).

vii) Montrez, en réutilisant l’équation du mouvement de la charge et en définissant adéquatement un quadrivecteur F^α, que l’équation BMT peut s’écrire géométriquement

dS

dτ =F −³ S·dU

dτ

´ U , en tout événement, dans tout repère inertiel.

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4 Maˆıtrise de physique, Paris 7 viii) En l’événement considéré, dans le laboratoire, la charge porteuse a une vitesse notéeβ. Le facteur~ relativiste correspondant est notéγ. Vous souvenant de la valeur du produit scalaireU·S, en déduire d’abord une relation entreS⁰,β~ et−→S, puis une expression du produit scalaire S·dU /dτ en fonction de γ, −→S et d~β/dτ, et l’expression correspondante de l’équation BMT, moins élégante certes, mais pratique pour les calculs ultérieurs.

3. Tout cela est bel et bon (je l’espère) et donne en particulier l’évolutiond−→S /dτdes composantes de−→S, mais dans des repères inertiels (par exemple le repère R’ tangent en P’, ou le repère L, ou le repère R”

tangent en P”, etc.) et non dans un repère (propre) lié à la charge porteuse et dans lequel celle-ci reste immobile à perpétuité. Or ce sont les valeurs de ces composantes qui importent pour en calculer d’éventuels effets physiques (comme la distribution angulaire des électrons de désintégration d’un muon par rapport au spin de ce muon, d’abord connue dans un repère où le muon est au repos puis, par transformation, dans un repère où il a une vitesse). Et bien c’est facile, en posant~s(P⁰)^df=−→S⁰(P⁰),

~s(P⁰⁰)^df=−→S⁰⁰(P⁰⁰), etc., c’est-à-dire, associé à chaque événement de la charge porteuse, un triplet de valeurs égales par définition aux valeurs des composantes du spin en cet événement dans le repère tangent qui se déduit du repère du laboratoire par une transformation spéciale de Lorentz (donc “sans rotation”). Evidemment, pour fins d’analyse il est plus commode de repérer les événements par les valeurs du temps propre de la charge que par des lettres P’, P”, etc.On a ainsi défini trois fonctions si(τ) par leurs valeurs, triviales, mais leur dépendance

fonctionnelle l’est beaucoup moins : les valeurs de ~s associées à deux événements différents proviennent d’un spin qui évolue d’un événement à l’autre (sous l’effet du couple du champ magnétique) et dont on prend les composantes dans des repères tangents différents (lorsque la vitesse de la charge change sous l’effet du champ électromagnétique) ! Pour fixer( ?) les idées, le schéma ci-contre représente, dans le laboratoire d’un monde à une dimension, la ligne d’univers de la charge et les repères tangents associés à deux événements. Reste

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a obtenir l’évolution intrinsèque d~s/dτ. C’est facile (ou disons pas trop difficile) si l’on exprime ~s en fonction des composantes −→S dans le laboratoire, pour ensuite profiter du fait que l’on y connaˆıt l’évolution d−→S /dτ. Tout n’est donc affaire que de transformation spéciale de Lorentz entre L et R’, et d’un peu de calculs. . .

i) Soit ~β⁰ la valeur de la vitesse β(τ) de la charge en P’, par rapport au laboratoire. Rappelez les~ expressions vectorielles de la transformation sp´eciale de Lorentz t⁰(t, ~r;β~⁰),~r⁰(t, ~r;β~⁰) de L `a R’.

ii) En d´eduire l’expression de −→S⁰(P⁰), en fonction de−→S(P⁰),S⁰(P⁰),β~⁰ et γ⁰.

iii) Mais souvenez-vous queS⁰et−→S ne sont pas indépendants, et que vous aviez trouvé une expression deS⁰(P⁰) en fonction deβ~(P⁰) et−→S(P⁰). En déduire l’expression de−→S⁰(P⁰) en fonction de−→S(P⁰),β~⁰ et γ⁰.

iv) Autres événements, autres temps. En déduire l’expression des composantes ~s(τ) du spin dans le repère propre en fonction de ses composantes −→S(τ) et de la vitesse β~(τ) (et du facteur γ(τ)) de la charge dans le laboratoire. (Un conseil : il est rentable pour la suite de ne faire apparaˆıtre, comme fonctions de la vitesseque β~ et γ.)

v) En d´eduire l’expression de ˙~s^df= d~s/dτ, en fonction de −→S˙ ^df= d−→S /dτ, ˙γ ^df=dγ/dτ, d(β~·−→S)/dτ et

~˙

β ^df=d~β/dτ.

vi) Calculer ˙γ en fonction deγ,β~ et β.~˙

vii) Vous souvenant de la valeur deU ·S, en d´eduire une relation tr`es simple entre S⁰ et β~·−→S, et une expression toute aussi simple ded(β~·−→S)/dτ en fonction de ˙S^{0 df}=dS⁰/dτ.

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Théorie classique des champs 5 viii) En déduire, à l’aide du dernier avatar (2.viii) de l’équation BMT, l’expression de ˙~sen fonction deF⁰,−→

F,−→S,β,~ γ etβ~˙.

ix) Reste à exprimer cela en fonction de ~s plutôt que −→S. C’est facile en calculant, à l’aide de l’expression iv) de~s en fonction de −→

S, β~ et γ, les produits scalaires β~˙ ·~s et β~·~s. En d´eduire enfin l’expression de ˙~sen fonction deF⁰,−→

F,β,~ γ et du double produit vectoriel (β~˙ ∧β)~ ∧~s.

4. L’expression obtenue est relativement simple mais pas encore très pratique à cause de la présence des composantes F⁰ et −→

F du quadrivecteur F, fonctions assez compliqu´ees, mais qu’il faut expliciter, des champs −→E, −→B, de la vitesse β~ et des composantes propres du spin, ~s (par le truchement des composantes −→S dans le laboratoire). Un moyen pas trop compliqu´e pour trouver F⁰ et −→

F en l’événement P’ va consister à passer par les composantesF⁰⁰et −→

F⁰ dans le rep`ere R’ tangent en P’.

i) En identifiant les expressions ded−→S⁰/dτ etdS⁰⁰/dτ, trouv´ees en2.i) et2.iv) respectivement, avec les expressions des composantes dS^0α/dτ, en P’ dans R’, calculez les valeurs des composantes F⁰⁰ et −→

F⁰ en fonctions deg,q,m,−→B⁰ et −→S⁰, en cet événement, dans ce repère.

ii) En d´eduire par transformation sp´eciale de Lorentz sous forme vectorielle, les valeurs des com- posantesF⁰ et −→

F en fonctions de−→

F⁰, deβ~ la vitesse de la charge en P’ par rapport au laboratoire, et du facteur γ.

iii) En d´eduire l’expression de ˙~sen fonction de −→F⁰ (au lieu de F⁰ et −→F), puis de −→B⁰ et~slui-mˆeme (et, toujours, g, q,m,β,~ γetβ~˙).

5. Nous sommes maintenant en possession d’une équation d’évolution cohérente pour les composantes propres du spin~s. Elle n’est toutefois pas encore sous la forme la plus commode pour la physicienne qui travaille dans son laboratoire L avec son temps tet ses champs électrique−→E et magnétique−→B. i) Rappelez la relation entre intervalle de temps propredτ et intervalle dans le laboratoire lorsque la vitesse de la charge estβ. En déduire que~ d~s/dt(le taux de variation des composantes propres du spin par rapport au temps du laboratoire) peut s’écrire sous la forme :

d~s

dt = (~ω_L+~ω_T)∧~s,

où ~ωL (avec L pour Larmor) et~ωT (avec T pour Thomas) sont respectivement proportionnel à g et indépendant de g. Précisez bien les expressions définitoires de~ωL et~ωT.

ii) A l’aide de la transformation de Lorentz du champ magnétique écrite sous forme vectorielle, exprimez la valeur du champ magnétique−→B⁰ en fonction des champs−→E et−→B dans le laboratoire, de la vitesse β~ du repère R’, et du facteurγ. En déduire l’expression de~ω_L en fonction deg,q, m, −→E,

−→B,β~ et γ.

iii) Rappelez les expressions des variations d’énergie et d’impulsion,dp⁰/dtet d~p/dt, d’une chargeq, de vitesse β~, dans un champ électromagnétique −→E, −→B. En déduire la valeur de γ d~β/dten fonction deq,m,−→E,−→B et β, puis l’expression de~ ~ωT correspondante.

iv) Regroupant les expressions obtenues pour ~ωL et ~ωT, en d´eduire enfin l’expression de d~s/dt en fonction deq,m,g,−→E,−→B,β,~ γ et~s.

6. Cette équation générale d’évolution du spin d’une particule chargée dans un champ électromagnétique a une grande importance historique (terme de couplage spin-orbite, mesures de g−2 des particules

élémentaires,etc.). Nous allons en étudier la dernière application en date pour une mesure précise de la masse et de la largeur du bosonZ⁰. Lorsqu’il se manifeste comme résonance dans la section efficace de réaction e⁻e⁺, le boson Z⁰ a bien sûr une masse qui est la somme des énergies de l’électron et du positron dans le “repère du centre de masse”, à la résonance. Dans un collisionneur comme LEP, c’est donc simplement le double de l’énergie de l’électron par exemple. C’est alors que commencent les problèmes car l’énergie des électrons dans LEP n’est connue qu’avec une précision relative de 2×10⁻⁴ (résultante d’une fréquence de rotation très bien connue et d’une longueur de l’anneau beaucoup moins bien connue !). Mais les électrons injectés avec des moments magnétiques dans le désordre finissent (en circulant dans l’anneau pendant quelques heures, et du fait de leur rayonnement synchrotron qui est

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6 Maˆıtrise de physique, Paris 7 polarisé) par acquérir une polarisation : les divers moments magnétiques sont moins désordonnés, ils ont majoritairement une composante positive sur le champ magnétique−→B de guidage, et la moyenne−M→ de ces moments magnétiques prend une valeur non nulle formant un angle aigu avec −→B (tendance à l’alignement de chaque~µavec−→B, jusqu’à une polarisation maximale de l’ordre de 90 %).

i) Montrez que l’équation d’évolution du moment magnétique moyen des électrons accumulés dans l’anneau de LEP est de la forme

d−M→

dt =−→Ω ∧−M .→

Quelle est l’expression de−→Ω dans le cas du LEP (pas de champ électrique, ou si peu, vitesse de chaque charge à peu près orthogonale au champ magnétique qui reste à peu près uniforme et constant dans la zone de l’anneau) ?

ii) Rappelez l’´equation du mouvement d’une charge dans LEP. Montrez qu’elle peut se mettre sous la forme

d~β

dt =~ωrev∧β~

et pr´ecisez la valeur de la vitesse angulaire de r´evolution des charges,~ω_rev.

iii) Si le moment magnétique tourne à une vitesse −→Ω égale à la vitesse ~ω_rev de révolution de sa charge porteuse, on dit qu’il n’y a pas précession : quand la charge effectue un tour, le moment magnétique effectue également un tour. Sinon, le moment magnétique effectue un certain nombre de tours supplémentaires (dans le même sens ou l’opposé), des précessions, durant un tour de la charge.

Calculez ce nombreν de pr´ecessions pour un tour de la charge, en fonction degetγ. Que se passe-t-il si la particule ag= 2 ? Les ´electrons (et positrons) ont en fait

g−2

2 = 0,001 159 652 193 (10),

et, d’autre part, les ingénieurs du LEP nous préparent un faisceau de 46,5 GeV, sans autre précision.

La masse d’un électron estm= 0,510 999 06 (15) MeV. Montrez quen, la partie entière du nombreν de précessions, est, dans ces conditions, bien déterminée, alors que l’incertitude subsiste sur sa partie fractionnaire δ_s(avec ν=n+δ_s).

iv) Le problème reste donc de mesurerδ_savec précision pour en déduireν, puisγet donc l’énergie des électrons. Récapitulons : durant un tour de sa charge porteuse le moment magnétique~µeffectue 1 tour (pas de précession), plusntours (précessions), plus une fraction de tour δs, la seule observable (en absence de compte-tour) pour une spectatrice dans une zone d’expérience sur l’anneau. Dans cette zone, la physicienne créé un petit champ magnétique ~b, perpendiculaire au champ −→ B de guidage. Chaque moment magnétique va, dans la zone d’expérience, tourner autour de ~b, mais d’un angle réduit car la charge ne passe qu’un temps limité

dans la zone. Mais si après un tour de la charge le champ~b a tourné de δ_s, le moment (quel qu’il soit) et le champ se retrouvent dans la même disposition relative et l’effet de ~b est cumulatif. On est alors dans des conditions de résonance et, puisqu’il y avait une majorité de moments dirigés plus ou moins selon −→B (polarisation), on va assister à un renversement de chacun des moments magnétiques qui va se traduire par un renversement du moment magnétique moyen−M→(parfaitement observable sur la distribution angulaire de diffusion d’un rayonnement polarisé, mais ceci est un autre problème). La physicienne obtient la résonance pour une fréquence de rotation de son champ auxiliaire f0= 5,201 kHz. Par ailleurs, les ingénieurs l’informent que la fréquence de révolution des charges est alorsfrev= 11,245 504 1 kHz. Quelles valeurs en déduisez vous pourδs,ν,γ et finalement l’énergiep⁰ des électrons ?

Référence :A. Blondel&M. Crozon,Détermination de la masse duZ⁰par résonance magnétique des électrons du LEP, Images de la physique, Supplément au n⁰79 du Courrier du CNRS.

C’est fini en ce qui me concerne. Salutations respectueuses.

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