Paris 7 QA 421-422
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THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
EXAMEN, t0= mardi 7 septembre, 8 h 30
∆t= 4 heures
Il n’est pas totalement inutile de lire l’´enonc´e : les questions sont en principe, et parfois en d´epit des apparences, r´edig´ees dans l’intention de faciliter votre tˆache. Mais avant cela, quelques remarques :
• Conventions typographiques :~b, −→B repr´esentent des (tri)vecteurs,r, S des quadrivecteurs.
• Si les cons´equences d’une erreur de calcul, propag´ees tout au long d’une solution, sont ´eventuellement pardonnables dans la mesure o`u elles ne heurtent pas le “bon sens”, toute r´ecidive d’une erreur de dimensions constitue par contre une faute aggrav´ee.
• Songez `a toutes les m´ethodes de v´erification de vos r´esultats : sym´etries, dimensions, cas particuliers, cas limites, bon sens, patrimoine culturel, etc. Il en sera tenu compte ; faire de la physique c’est aussi pr´evoir un r´esultat avant tout calcul puis, apr`es celui-ci, corriger ses erreurs.
• Des blocages moraux quelque peu d´esuets me rendent particuli`erement irascible en cas de suspicion de fraude, et encore plus s’il en r´esulte des inepties. Aidez moi `a ´eviter des sentiments dont j’aurais honte !
• Ne vous affolez pas de la longueur des probl`emes propos´es. Consid´erez les comme un hommage `a vos capacit´es et ne les attaquez qu’apr`es avoir effectu´e les exercices* qui suffisent par ailleurs pour vous assurer la moyenne.
Bon courage. le G.O.
I*. AVANT TOUTE TRANSFORMATION DE LORENTZ
Sophie et Socrate, tous deux inertiels depuis leur s´eparation (´ev´enement O), cherchent `a tester une hy- poth´etique propri´et´e fondamentale de la nature, `a savoir l’invariance de la quantit´e ∆τ2 df= ∆t2−∆~r2 associ´ee `a deux ´ev´enements. Pour cela Sophie ´emet (´ev´enement A) un signal radar que Socrate r´efl´echit (´ev´enement B) et qu’elle re¸coit (´ev´enement C).
1. Repr´esentez cette sayn`ete sur un diagramme d’espace-temps de votre choix.
2. En d´eduire la relation, ind´ependante de tout syst`eme de coordonn´ees :τOB2 =τOAτOC.
II*. TRANSFORMATION DE LORENTZ Soit~v la vitesse de Socrate par rapport `a Sophie.
1. Sophie choisit son axe ˆxsuivant la vitesse de Socrate. Pour le reste, ils conviennent de syst`emes de coordonn´ees (t, x, y, zpour Sophie ett0, x0, y0, z0 pour Socrate) en configuration standard.
i) Quelles sont les expressions des coordonn´ees attribu´ees par Socrate `a un ´ev´enement, en fonction des coordonn´ees attribu´ees par Sophie au mˆeme ´ev´enement ?
ii) End´eduire,dans ce cas, le tableau des valeurs des coefficients Λµν de la transformation ´ecrite sous la formex0µ= Λµνxν.
2. Maintenant, Sophie et Socrate conviennent seulement de rep`eres reli´es par une transformation sp´eciale de Lorentz. D´eduire dans ce cas les expresions vectorielles des temps t0 et position~r0 attribu´es par Socrate `a un ´ev´enement, en fonctions detet~r attribu´es par Sophie au mˆeme ´ev´enement.
2 Maˆıtrise de physique, Paris 7
III*. TRANSFORMATION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE
1. i)Rappelez la d´efinition des composantesFµν du tenseur du champ en fonction des composantes du quadrivecteur potentiel.
ii) End´eduire les expressions de chacune des composantesFµν en termes des composantesEi et Bi des champs ´electrique et magn´etique.
2. En d´eduireles valeurs de chacune des composantesEi0 etBi0en termes desEi etBi en un ´ev´enement, pour Socrate et Sophie en configuration standard.
3. En d´eduire
i) les relations vectorielles entre composantes des champs ´electrique et magn´etique parall`eles et normales `a la vitesse relative ;
ii) les expressions vectorielles compl`etes des champs−→ E0 et −→
B0 en termes des champs −→ E et−→
B, en un
´ev´enement.
IV*. GRANDEURS MECANIQUES ASSOCIEES A UNE PARTICULE
1. Rappelez la d´efinition de la quadri-impulsion p d’une particule, en expliquant la signification des symboles que vous utilisez.
2. i) End´eduire les expressions des composantes p0 et ~p en fonction de la masse et de la vitesse de la particule.
ii) A quelles identit´es remarquables ob´eissent ces composantes ? iii) Pourquoi cette d´efinition de la quantit´ep, et pourquoi son nom ?
3. Quelles sont, par extension, les propri´et´es d’une particule dont les composantes de la quadri-impulsion satisfontp0=|~p|?
4. Le collisionneur LEP permet de pr´eparer un ´electron et un positron pour un choc frontal avec une impulsion totale nulle, et une ´energie totaleE= 110 GeV. Il arrive parfois que l’´etat final soit constitu´e d’une paire de muonsµ−µ+. Les tables donnent pour le muon une masse m≈106 MeV et une dur´ee de vie moyenneτ≈2,2×10−6s.Calculez, dans le laboratoire :
i) l’´energie de l’un des deux muons produits ; ii) son facteur relativisteγ;
iii) sa vitesse, ou plutˆot l’´ecart de cette vitesse `a l’unit´e ; iv) sa dur´ee de vie moyenne ;
v) son parcours moyen dans le laboratoire (et au-del`a) ? Comparez celui-ci avec la valeur qui serait obtenue en croyant na¨ıvement la dur´ee de vie moyenne ind´ependante de l’observatrice.
V*. CHAMPS CREES PAR UNE CHARGE EN MOUVEMENT
Une charge positive et ponctuelle se d´eplace avec une vitesse dont la direction et le module, v= 0,5, sont constants mais dont une r´eflexion brutale inverse le sens.
1. Tracez l’allure des lignes du champ ´electrique au moment o`u la charge s’est ´eloign´ee d’une distance a du point de r´eflexion.
2. Repr´esentez l’allure du champ magn´etique au mˆeme instant.
VI*. RAYONNEMENT D’UNE CHARGE A BASSE VITESSE
1. Rappelez l’expression du champ ´electrique rayonn´e par une charge `a basse vitesse, en pr´ecisant bien la signification des divers symboles qui apparaissent dans votre formule.
2. En d´eduire la puissance totale rayonn´ee par cette charge. Discutez quelques cons´equences pratiques de cette formule.
Th´eorie classique des champs 3 VII. CHAMP DE CONVECTION
Les champs ´electrique et magn´etique cr´e´es par une charge immobile ´etant bien connus, le but de ce probl`eme est d’en d´eduire les champs cr´e´es par une charge en mouvement.
1. Socrate consid`ere une charge ponctuelleq immobile qu’il prend pour origine. Quelles sont les bonnes vieilles expressions des champs ´electrique −→E0P, et magn´etique−B→0P, cr´e´es en l’´ev´enement P (instantt0P, position~r0P) par cette charge ?
2. En d´eduire, `a l’aide des transformations vectorielles des champs pr´ec´edemment ´etablies, la valeur−→EP du champ ´electrique (cr´e´e par la mˆeme charge au mˆeme ´ev´enement) pour Sophie, en fonction deq,~r0P et~v.
3. Reste `a exprimer ce champ−→EPen fonction de l’instanttPet de la position~rPde l’´ev´enement du point de vue de Sophie. Pour cela. . .
i) Calculez d’abord (`a l’aide de l’expression vectorielle de la transformation sp´eciale de Lorentz de la position pr´ec´edemment ´etablie) la quantit´e (4π/q)r03P−→EP en fonction de tP,~rP et~v.
ii) Calculez, de la mˆeme mani`ere, la quantit´erP02, en faisant r´eapparaˆıtre les vecteurs~rP−~vtPet~v∧~rP. iii) En d´eduire enfin l’expression de−→EP en fonction deq,tP,~rP et~v.
4. Arriv´e l`a, il n’est pas inutile de se demander quel est au juste le mouvement de la charge du point de vue de Sophie.
i) Intuitivement, qu’en pensez-vous ?
ii) Quantitativement, connaissant l’´equation de la “trajectoire”~r0q(t0) de la charge pour Socrate, et toujours `a l’aide de la mˆeme expression vectorielle de la transformation sp´eciale de Lorentz, d´eterminez l’´equation~rq(t) de la trajectoire pour Sophie.
5. En d´eduire l’expression de −→EP en fonction de la distance −→R entre la charge `a l’instant tP et l’´ev´enement P, et de l’angleθ entre~vet −→R.
6. En calculant de la mˆeme mani`ere le champ magn´etique −→BP, montrez que celui-ci est finalement ´egal
`
a~v∧−→EP.
VIII. ENERGIE RAYONNEE PAR RETRODIFFUSION A BASSE VITESSE Une charge q, masse m, ´evolue `a basse vitesse sous l’effet d’une force nulle `a l’infini, d´erivant d’un potentiel centralV(r) r´epulsif.
1. A l’aide de la formule de la puissance rayonn´ee pr´ec´edemment ´etablie, calculez l’´energiedW rayonn´ee par la charge pendant la dur´eedt.
2. On consid`ere le cas d’une r´etrodiffusion : la charge arrive radialement depuis l’infini, est r´efl´echie dans la mˆeme direction par le potentiel, et repart `a l’infini. Montrez que l’´energie rayonn´ee au cours de ce processus vaut :
W =4 3
q2 4πm2
rm 2
Z ∞
rmin
dr (dV /dr)2 pV(rmin)−V(r),
o`urmin est la distance minimale d’approche au centre diffuseur.
3. En d´eduire l’´energie rayonn´ee au cours d’un tel processus subit par un projectile de massem, chargeze, vitesse initialev0, r´etrodiffus´e par un noyau beaucoup plus lourd, de chargeZe. (Il peut ˆetre commode d’utiliser en guise de variable d’int´egration la vitessev du projectile plutˆot que sa positionr.)
