THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS PARTIEL,

Paris 7 PH 443

–

THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

PARTIEL, t₀= lundi 5 f´evrier , 8 h 30

∆t= 3 heures

Il n’est pas totalement inutile de lire l’´enonc´e : les questions sont en principe, et parfois en d´epit des apparences, r´edig´ees dans l’intention de faciliter votre tˆache. Mais avant cela, quelques remarques :

• Conventions typographiques :~v,−→V repr´esentent des (tri)vecteurs,v,V des quadrivecteurs.

• Si les cons´equences d’une erreur de calcul, propag´ees tout au long d’une solution, sont ´eventuellement pardonnables dans la mesure o`u elles ne heurtent pas le “bon sens”, toute r´ecidive d’une erreur de dimensions constitue par contre une faute aggrav´ee.

• Songez `a toutes les m´ethodes de v´erification de vos r´esultats : sym´etries, dimensions, cas particuliers, cas limites, bon sens, patrimoine culturel, etc. Il en sera tenu compte ; faire de la physique c’est aussi pr´evoir un r´esultat avant tout calcul puis, apr`es celui-ci, corriger ses erreurs.

• Des blocages moraux (on dit maintenant des tics) certes d´esuets me rendent particuli`erement irascible en cas de suspicion de fraude, et encore plus s’il en r´esulte des inepties. Aidez moi `a

´eviter des sentiments dont j’aurais honte !

• Ne vous affolez pas de la longueur de l’´enonc´e. Vous ne devez vous attaquer aux deux probl`emes finals qu’apr`es avoir effectu´e les exercices*, suffisants et n´ecessaires pour vous assurer la moyenne.

*LES BASES(4,5 pts) 1. i) Rappelez l’expression de l’invariant associ´e `a deux ´ev´enements.

ii) Quelle est la nature de chacun des intervalles entre les trois

´ev´enements O, A et B repr´esent´es ci-contre dans le rep`ere de Juliette, inertielle. Quels sont les couples d’´ev´enements entre lesquels il ne peut y avoir de lien de causalit´e ?

iii) Calculez l’intervalle de temps entre les ´ev´enements O et A dans un rep`ere ´equivalent o`u ils ont mˆeme position.

2. Rom´eo est aussi inertiel. Les vies respectives de Juliette et Rom´eo ont un ´ev´enement commun qu’ils conviennent de prendre comme origine O. Juliette choisit son axe ˆxselon la vitesse −→

V de Rom´eo. A intervalles r´eguliers `a sa montre (parfaitement l´egale), Rom´eo ´emet (´ev´enements O, E1, E2, E3 . . .) des ´eclats lumineux que Juliette re¸coit (´ev´enements O, R₁, R₂, R₃ . . .).

i) Repr´esenter tout ce sc´enario sur un graphe d’espace-temps (x, t) dans le rep`ere de Juliette.

ii) Soit ∆τ l’intervalle entre deux ´emisions O et E₁ `a la montre de Rom´eo. Indiquez sur le graphe les intervalles de coordonn´ees ∆xet ∆t entre ces deux ´ev´enementsobserv´espar Juliette.

iii) Calculer, sans transformation de Lorentz, ∆ten fonction de ∆τ etV.

iv) Calculer l’intervalle de temps ∆tR entre deux r´eceptions O et R1 de ces ´eclats vuspar Juliette.

3. Pour les choix d’axes qui leurs restent, Juliette et Rom´eo conviennent d’une configuration standard.

i) Ecrire les relations entre coordonn´ees attribu´ees `a un ´ev´enement par Juliette et par Rom´eo.

ii) Juliette et Rom´eo observent deux battements d’ailes successifs du vol d’une mouche et en d´eduisent alors les composantes de la vitesse de cette mouche. D´eterminez les relations entre composantes des vitesses qu’ils attribuent respectivement `a cette mouche.

iii) D´eterminez la forme vectorielle des relations entre temps et vecteurs positions d’un ´ev´enement lors d’une transformation sp´eciale de Lorentz.

iv) D´eterminez (par la m´ethode qu’il vous plaˆıt) la loi de composition des vitesses sous forme vectorielle.

2 Champs classiques, PH443 Paris 7

*CINEMATIQUE(5 pts)

4. i) Quelle est la d´efinition de la quadrivitesse en un ´ev´enement d’un point mat´eriel dont la ligne d’univers est donn´ee ?

ii) Calculez les composantes de cette quadrivitesse dans un rep`ere o`u la vitesse du point est alors~v.

iii) Quelle est la d´efinition de la quadri-acc´el´eration du point ?

iv) Enum´erez quelques propri´et´es simples de la quadrivitesse et de la quadri-acc´el´eration.

5. Un point mat´eriel a pour trajectoire, dans le rep`ere de Juliette,x(t) =g⁻¹p

1 + (gt)²,y(t) =z(t) = 0, o`ug est une constante positive.

i) Calculez le temps propre du point mat´eriel,τ(t), tel queτ(0) = 0.

ii) Calculez les coordonn´ees, les composantes de la quadrivitesse, de la vitesse et de la quadri- acc´el´eration du point, en fonction de son temps propre.

iii) Quel nom donne t-on habituellement `a ce mouvement ? Pourquoi ? iv) Calculez la rapidit´eϕ(τ) ? L’expression obtenue ´etait-elle pr´evisible ?

v) Le point mat´eriel est une (petite, mais par rapport `a quoi ?) fus´ee qui ´emet en permanence et dans toutes les directions un rayonnement qui se propage `a vitesse 1. Repr´esentez l’allure de ce sc´enario (lignes d’univers de Juliette, de la fus´ee et du rayonnement) sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere de Juliette.

vi) Calculez la valeur de la constante g, en ann´ee⁻¹, si la fus´ee a une confortable acc´el´eration propre de 9,8 m s⁻²?

*DYNAMIQUE(2,5 pts)

6. i) Quelle est la d´efinition de la quadri-impulsion d’une particule de massem, et quelle en est l’utilit´e ? ii) D´eterminez les expressions des composantes de cette quadri-impulsion pour Juliette, alors que la vitesse de la particule est~v.

iii) En d´eduire les identit´es remarquables entre ´energie, impulsion, masse et vitesse de la particule.

iv) Quelles caract´eristiques peut-on attribuer `a une particule dont les composantes de la quadri- impulsion ont la propri´et´ep⁰=|~p|?

7. i) Expliquez les raisons pour lesquelles on pr´edit l’impossibilit´e d’une r´eaction du typee⁺e⁻ →γ.

ii) Juliette ´etudie la r´eaction d’un positron incident sur un ´electron au repos du type e⁺e⁻ → γ γ.

Lorsque l’un des deux photons est ´emis vers l’avant, quelle direction d’´emission pr´edisez-vous (sans calcul, mais `a l’aide d’un petit graphe d’espace-temps par exemple) pour l’autre photon ?

*ELECTRODYNAMIQUE(1 pts)

8. i) Calculez soigneusement deux composantes typiques du tenseur du champ ´electromagn´etique Fµν

en termes des composantes des champs ´electrique et magn´etique.

ii) En d´eduire le tableau complet des composantes de ce tenseur.

LA FICELLE DE BELL (2 pts)

Br¨unnhilde, Sieglinde et Siegmund sont d’abord inertes, immobiles les uns par rapport aux autres, align´es, et Br¨unnhilde est `a mi-chemin entre Sieglinde et Siegmund. Une ficelle est tendue entre Sieglinde et Siegmund.

Nos trois h´eros sont convenus depuis longtemps que lorsque Sieglinde et Siegmund re¸coivent un signal radio de Br¨unnhilde, ils doivent tous deux prendre la fuite dans ce qui ´etait ant´erieurement ladirection de la ficelle, dans lemˆeme sens (disons de Sieglinde vers Siegmund), en mettant en route leurs moteurs respectifs qu’ils pilotent avec lemˆeme programme d’acc´el´eration propre(par exemple constante). Toute la question est maintenant de pr´edire le d´enouement (si l’on peut dire) pour le lien qui unit Sieglinde et Siegmund : la ficelle va-t-elle rester tendue, se d´etendre, ou casser. . .

9. Repr´esenter tout ce sc´enario sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere de Br¨unnhilde : lignes d’univers, signaux radio (mais pas la ficelle qui a vraiment trop de points et dont on ne sait pas encore grand chose).

Champs classiques, PH443 Paris 7 3 10.Soit un ´ev´enement Ade Sieglinde au cours de sa fuite.

i) Repr´esentez la ligne d’univers de Bell, inerte, qui a enAune vitesse nulle par rapport `a Sieglinde.

ii) Repr´esentez l’ensemble des ´ev´enements qui, pour Bell, sont simultan´es avecA.

iii) Repr´esentez l’´ev´enementB de Siegmund qui, pour Bell, est simultan´e avecA.

iv) Repr´esentez la ligne d’univers de Richard qui, enB, a une vitesse nulle par rapport `a Siegmund.

11.A l’aide du graphique ainsi construit. . . i) Comparez les vitesses de Bell et de Richard.

ii) Qu’en d´eduisez-vous pour la vitesse de Richard par rapport `a Bell, et pour le sort de la ficelle ? R´ef. :J.S. Bell,How to teach special relativity, inSpeakable and unspeakable in quantum mechanics, Cambridge University Press (), p. 67.

DECOMPOSITION D’UNE TRANSFORMATION DE LORENTZ(5 pts)

On se propose de d´emontrer que toute transformation de Lorentz, homog`ene, propre, orthochrone (autrement dit du groupeL+↑), peut ˆetre consid´er´ee comme produit d’une transformation sp´eciale de Lorentz et d’une rotation. Soit donc une transformation de Lorentz homog`ene, etc., de matrice Λ^µν. 12.Montrer que (Λ⁰0)²−P

i(Λⁱ0)²= (Λ⁰0)²−P

i(Λ⁰i)²= 1.

13.i) Quelle est la condition n´ecessaire et suffisante pour que trois nombresβ_i puissent ˆetre pris comme param`etres d’une transformation sp´eciale de Lorentz ?

ii) Montrer que les βi df

= Λ⁰i/Λ⁰0 peuvent ˆetre adopt´es comme param`etres d’une transformation sp´eciale de Lorentz.

14.i) Rappeler la forme vectorielle ½

t=t(t⁰,~r⁰;~v)

~r=~r(t⁰,~r⁰;~v)

de la transformation sp´eciale de Lorentz entre coordonn´ees (t,~r), utilis´ees par Juliette, et (t⁰,~r⁰) utilis´ees par Rom´eo qui se meut `a vitesse~vrelativement `a Juliette.

ii) En d´eduire les expressions des ´el´ements L⁰0, L⁰j, Lⁱ0 et Lⁱj de la matrice L(~v) de cette transformation.

15.Calculer les coefficients γ et γv_i de cette matrice en fonction des Λ^µ_ν, lorsque~v a la valeurβ~ d´efinie dans la question 13.

16.Soit la matriceR= ΛL(^df −β).~ i) CalculerR⁰₀.

ii) En d´eduire les valeurs des R⁰i et Rⁱ0. (Un conseil : ne pas oublier que, de par sa d´efinition, la matriceR appartient au groupeL+↑, et satisfait donc les propri´et´es montr´ees `a la question 12.) iii) Quelle est la nature de la transformation correspondant `aR?

17.Quel est le r´esultat du produitRL(β) ?~

18.On se propose enfin de montrer que cette d´ecomposition d’une transformation de Lorentz, en transformation sp´eciale puis rotation pure, est unique. Imaginons deux rotations, R et R⁰, et deux transformations sp´eciales de Lorentz, L(~v) et L(~v⁰), telles que Λ =RL(~v) =R⁰L(~v⁰).

i) Montrer queR⁻¹R⁰L(~v⁰)L(−~v) =I.

ii) Montrer que l’´el´ement⁰₀ de cette relation matricielle implique une condition liant~v,γ,~v⁰ et γ⁰. iii) Quelle condition doivent alors satisfaire~vet~v⁰?

iv) En d´eduire que L(~v⁰) =L(~v) etR⁰=R.