THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS EXAMEN,

Paris 7 QA 421-422

–

THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

EXAMEN, t₀= vendredi 22 mai, 14 h. 30

∆t= 4 heures

Il n’est pas inutile de lire l’´enonc´e. Les questions sont en principe, et parfois en d´epit des apparences, r´edig´ees en sorte de faciliter votre tˆache. Mais avant cela, quelques remarques :

• Conventions typographiques :v, Vrepr´esentent des (tri)vecteurs,v,V des quadrivecteurs.

• Si les cons´equences d’une erreur de calcul, propag´ees tout au long d’une solution, sont ´eventuellement pardonnables dans la mesure o`u elles ne heurtent pas le^hhbon sensⁱⁱ, toute r´ecidive d’une erreur de dimensions constitue par contre une faute aggrav´ee.

• Songez `a toutes les m´ethodes de v´erification de vos r´esultats : sym´etries, dimensions, cas particuliers, cas limites, bon sens, patrimoine culturel, etc. Il en sera tenu compte ; faire de la physique c’est aussi pr´evoir un r´esultat avant tout calcul puis, apr`es celui-ci, corriger ses erreurs.

• Lorsque vous ´enoncez un r´esultat par cœur, vous pouvez quand mˆeme en donner, dans la mesure du possible, quelques raisons.

• Un raisonnement discursif, s’il est bri`evement et clairement exprim´e, peut ˆetre beaucoup plus attrayant qu’un calcul sec.

• Des blocages moraux quelque peu d´esuets me rendent particuli`erement irascible en cas de suspicion de fraude, et encore plus s’il en r´esulte des inepties. Aidez moi `a ´eviter des sentiments dont j’aurais honte !

• Ne vous affolez pas de la longueur du probl`eme qui vous est propos´e. Vous ne devez vous y attaquer qu’apr`es avoir effectu´e les exercices qui le pr´ec`edent et qui suffisent pour vous assurer la moyenne.

Bon courage. le G.O.

CHAMPS I

1. Rappelez la d´efinition des composantes Fµν du tenseur du champ ´electromagn´etique en fonctions des composantes du potentiel, Aµ.

2. Calculez les composantesF^µν en fonctions des composantes des champs ´electrique et magn´etique.

3. Colin utilise un syst`eme de coordonn´ees x<sup>0</sup>,y<sup>0</sup>,z<sup>0</sup>,t<sup>0</sup>. Sa vitesse est v par rapport `a Chlo´e qui choisit l’axexˆde son syst`eme de coordonn´ees,x,y,z,t, selon cette vitesse. Chlo´e et Colin conviennent d’utiliser des axes en configuration standard. Calculez les coefficients Λ<sup>µ</sup><sub>ν</sub> de la matrice reliant les valeurs des coordonn´ees qu’elle et il attribuent `a un mˆeme ´ev´enement :x^0µ= Λ^µ_νx^ν.

4. Chlo´e observe, en un ´ev´enement, les valeurs de composantes du champ ´electrique, E_i, et du champ magn´etique, B_i.

i) Calculez les composantesE_i⁰ et B_i⁰ des champs observ´es par Colin au mˆeme ´ev´enement.

ii) Quels moyens pouvez-vous imaginer pour v´erifier ces r´esultats ?

5. Rappelez l’expression des ´equations de Maxwell pour les champsEetBen pr´esence de sourcesρetj.

6. A quelles conditions le champ

E(r, t)=^df (0

0

E(r, t)=^dfE0sin(ωt−k·r) est-il un champ ´electrique dans une r´egion d´enu´ee de sources ?

7. Quelles sont les expressions des composantes du champ magn´etiqueB(r, t) d’une onde ´electromagn´e- tique dont le champ ´electrique estE(r, t), dans le ka

ˆk=

(cosα sinα 0

?

8. Calculez les composantes des champs E⁰ et B⁰ observ´ees par Colin, en fonctions du E de Chlo´e au mˆeme ´ev´enement.

9. Calculez les composantes de E⁰(x⁰, y⁰, z⁰, t⁰) et B(x⁰, y⁰, z⁰, t⁰) en tout ´ev´enement rep´er´e par ses coordonn´ees x⁰,y⁰,z⁰,t⁰.

10.i) Montrez que ces champs sont ceux d’une onde plane monochromatique dont vous donnerez les expressions de la pulsation,ω⁰, et des composantes du vecteur d’ondek⁰.

ii) D´ecrivez (rapidement) les moyens de v´erification de vos r´esultats que vous pouvez imaginer.

11.Chlo´e envisage maintenant le champ ´electrique r´esultant de deux ondes planes de mˆemes fr´equence et polarisation, et de directions de propagation respectives

ˆk₁=

(cosα₁ sinα₁ 0

et ˆk₂=

(cosα₂ sinα₂ 0

.

Le champ observ´e par Colin est-il monochromatique. . . i) dans le casα2=−α1?

ii) dans le cas α26=−α1?

CHAMPS II Une charge positive d´ecrit la trajectoire plane ci-contre, avec une vitesse qui subit un changement `at= 0, mais dont le module reste par ailleurs constant,v= 3/5.

1. Repr´esentez les zones o`u il ya un champ ´electromagn´etique du type rayonnement, ainsi que l’allure des lignes de champ ´electrique, dans le plan de la trajectoire,

i) `a t=−1 s., ii) `at= 1 s.

2. Repr´esentez l’allure du champ magn´etique `at= 1 s.

CHAMPS III

1. i) Rappelez l’expression du champ ´electrique rayonn´e par une chargeq, acc´el´er´ee, `a basse vitesse.

ii) Pr´ecisez les significations des symboles figurant dans cette expression.

iii) A quelles conditions cette expression repr´esente-t-elle le champ ´electrique cr´e´e par la charge ? 2. Des ´electrons sont agit´es p´eriodiquement, avec une pulsation ω, `a basse vitesse, dans une antenne

constitu´ee par un bout de fil conducteur rectiligne de longueur ¿ω⁻¹. Que pouvez-vous dire de la puissance re¸cue par une autre antenne selonω, selon la position de cette antenne, selon son orientation ? 3. Que pouvez-vous dire du champ ´electrique rayonn´e par une source constitu´ee par une coquille

sph´erique, charg´ee uniform´ement, dont le rayon oscille ?

CODA : ANALYSE SPECTRALE DU RAYONNEMENT SYNCHROTRON Vous n’avez peut-ˆetre pas encore totalement oubli´e les expressions du champ ´electrique et du champ magn´etique cr´e´es en l’´ev´enementr, tpar une chargeqdont la trajectoire est r_q(t),

E(r, t) = q 4π



 1

(1−Rˆ·v_q)³





(1−v²_q)(Rˆ−v_q)

R² +

Rˆ∧³

(Rˆ−v_q)∧˙v_q´ R







 B(r, t) =£Rˆ¤

∧E(r, t)

.

1. Si c’est le cas, alors explicitez soigneusement les divers symboles figurant dans ces expressions.

2

2. Quelle est, en fonction deE(r, t), l’expression de la contribution dominante au vecteur de Poynting`a grande distance de l’´ev´enement source, dans la mesure o`u l’acc´el´eration de la charge en l’´ev´enement source est non nulle?

3. En d´eduire l’expression de la puissance rayonn´eed²P d´etect´ee enr, tdans les mˆemes conditions.

4. En d´eduire que la distribution angulaire de puissance rayonn´ee est de la forme d²P

d²[R]ˆ =|G(t)|²,

et donnez l’expression deG(t) (qui d´epend ´evidemment, de mani`ere plus ou moins explicite, de bien d’autres arguments).

5. Soitg(ω) la transform´ee de Fourier temporelle deG(t) :

g(ω)^df= 1

√2π Z _∞

−∞

dt e^iωtG(t).

Calculez la distribution angulaire d’´energie rayonn´ee, d²W

d²[R]ˆ

df= Z _∞

−∞

dt d²P d²[R]ˆ , en fonction de |g(ω)|².

6. Dans l’analyse spectrale du rayonnement on ne distingue pas les fr´equences positives et n´egatives. On a donc coutume de d´efinir l’intensit´e spectrale du rayonnement d´etect´e,I(ω), en sorte que

d²W d²[R]ˆ =

Z _∞

0

dω d²I(ω) d²[R]ˆ .

En d´eduire l’expression de la distribution angulaire d’intensit´e spectrale, d²I(ω)/d²[R], en fonctionˆ de|g(ω)|².

7. C’en est fini des choses faciles. Il faut maintenant aller se salir les mains dans le calcul effectif deg(ω) qui n’est pas une mince tˆache !

i) Rappelez l’expression deg(ω) sous forme d’int´egrale sur les tempstd’observation.

ii) Grˆace `a la relation entre instant t d’observation et instant t⁰ de l’´ev´enement source, effectuez le changement de variable permettant d’exprimer g(ω) sous forme d’int´egrale sur les instants source t⁰. iii) L’observatrice r est loin des ´ev´enements sources r_q(t⁰). En d´eduire les expressions approch´ees de£Rˆ¤

et [R] dans ce cas, en fonctions deˆr,retr_q(t⁰).

iv) Ecrire l’expression int´egrale (sur t⁰), approch´ee, correspondante, de g(ω).

v) Parenth`ese calculatoire : montrez que d

dt

½

e^{iω(t−ˆr·rq(t))}ˆr∧ ˆr∧v_q(t) 1−ˆr·vq(t)

¾

=e^{iω(t−ˆr·rq(t))}

½

iωˆr∧(ˆr∧vq(t)) +ˆr∧(ˆr−v_q(t))∧ ˙v_q(t) (1−ˆr·vq(t))²

¾ .

vi) En d´eduire, grˆace `a une int´egration par parties, une nouvelle expression, plutˆot plus simple, deg(ω).

vii) On peut montrer (donc on ne le fera pas) que, dans cette expression, la contribution de la primitive (du type uv|^∞_−∞) est nulle. ( ¸Ca consiste `a introduire dans l’int´egrale un facteur de convergencee^−²|t|

puis, apr`es int´egration, `a prendre la limite ² → 0.) En d´eduire l’expression int´egrale de g(ω) correspondante puis, enfin, l’expression ded²I(ω)/d²ˆren fonction de cette mˆeme int´egrale.

3

8. Ce n’est pas encore fini. Reste maintenant `a ´evaluer cette int´egrale, ce que l’on va faire dans le cas, int´eressant et non trivial, o`u la charge a une vitesse|vq|grande et une acc´el´eration transversale non nulle.

i) Justifiez, l´eg`erement, que dans ce cas on peut supposer que

— l’acc´el´eration longitudinale est n´egligeable (et donc quev_q ^df=|v_q|est constante),

— on n’observe de rayonnement que dans des directions voisines de la direction de la vitesse de la charge,

— la trajectoire est circulaire.

ii) On choisit comme rep`ere adapt´e `a cette situation

— l’origine en la position de la charge `a l’instant t⁰= 0,

— l’axeˆzselon la vitessev_q(0) de la charge en ce point,

— l’axeˆxdirig´e vers le centre de courbure de la trajectoire en ce point,

— l’axe ˆyconstituant un tri`edre direct avecˆzet ˆx.

Quelles sont les composantes, sur ce tri`edre, du vecteur unitaire dans la direction d’observation, ˆr, en fonction de ses angles ϑ(colatitude) etϕ(longitude) habituels ? iii) Soitv<sub>q</sub> le module de la vitesse de la charge etρle rayon de la trajectoire. Calculez les composantes, sur le tri`edre de projection, du vecteur position (par rapport `a l’origine,

´evidemment) de la charge, r_q(t⁰), au tempst⁰.

iv) En d´eduire l’expression du produit scalaireˆr·r_q(t⁰).

v) Les valeurs de t⁰ et de ϑ pertinentes pour l’observation sont petites. (Pourquoi au fait ?) Aussi, calculez le d´eveloppement deˆr·r_q(t⁰) en n´egligeant les termes d’ordreϑ³, (t⁰/ρ)²ϑ, (t⁰/ρ)⁴,. . . vi) En d´eduire enfin l’expression approch´ee correspondante de t⁰−ˆr·r_q(t⁰) en termes de t⁰, ϑ, ρ et γ^df= (1−v_q²)^−1/2dans la limite des grandes vitesses vq.

9. On va maintenant faire l’´evaluation approch´ee du vecteur ˆr∧(ˆr∧vq(t⁰)), et ceci en termes de composantes sur des vecteurs de base de polarisation associ´es `a la direction de propagation.

i) On choisit comme vecteurs de base corespondant `a la direction d’observationˆr:

— ˆεεεˆˆ_k, orthogonal `aˆret appartenant au plan d’orbite (ˆz,ˆx),

— ˆεεεˆˆ_⊥, constituant un tri`edre direct `a la suite deˆret ˆεεˆεˆ_k.

Calculerˆr∧(ˆr∧v_q) en fonction des composantesv_r,v_k etv_⊥ dev_q sur le tri`edre (ˆr,ˆεεεˆˆ_k,εεˆεˆˆ_⊥).

ii) Comme on va avoir besoin de ces composantes de la vitesse, quelles sont les expressions (sublime- ment simples) de v_k etv_⊥ en fonctions de v_q, ˆεεˆεˆ_k et ˆεεεˆˆ_⊥?

iii) Enfin, on va ´evaluer ces expressions au moyen des composantes de v_q, ˆεεεˆˆ_k et ˆεεεˆˆ_⊥ sur le tri`edre (ˆx,ˆy,ˆz). Calculez d’abord les composantes de v<sub>q</sub>(t<sup>0</sup>) en fonction de v<sub>q</sub>, ρ et t<sup>0</sup>, et leurs ex- pressions approch´ees `a t⁰ petit.

iv) Au moyen de l’´equation du plan perpendiculaire `a ˆr et passant par l’origine, d´eterminez les composantes de la direction de son intersection avec le plan d’orbite, et enfin les expressions approch´ees des composantes de ˆεεεˆˆ_klorsque ϑest petit.

v) En d´eduire les expressions approch´ees des composantes de ˆεεˆεˆ_⊥.

vi) En d´eduire, dans la mˆeme approximation, les expressions des composantes v_k et v_⊥ et, enfin, le d´eveloppement deˆr∧(ˆr∧vq(t⁰)) sur les vecteurs de base de polarisation, dans la mˆeme approximation et dans la limite des grandes vitessesvq.

10.Montrez que la distribution angulaire peut ainsi s’´ecrire d²I(ω)

d²ˆr = q² 16π³ω²¯¯¯£

−F₁(ω) + cosϕ F₂(ω)¤ ˆ

εεεˆˆ_k+ sinϕ F₂(ω) ˆεεεˆˆ_⊥¯¯¯²,

en termes d’int´egrales F₁(ω) etF₂(ω) dont vous donnerez les d´efinitions, pourquoi pas, en fonction de

ψ (t⁰)^df= ω 2

·¡

γ⁻²+ϑ²¢ t⁰+ t⁰³

3ρ²

¸ . 4

11.Les fonctions F1(ω) et F2(ω) sont en fait assez sp´eciales pour que leurs propri´et´es aient m´erit´e l’attention des math´ematiciens. Pour utiliser les fruits de leur travail, on effectue le changement de variables

ψ (t⁰) =3 2α¡

u+1 3u³¢

. i) Calculezαetuen fonctions deγ,t⁰,ρet ω.

ii) Montrez queF₁etF₂ peuvent s’exprimer en termes de la fonction d’Airy, Ai, et de sa d´eriv´ee, Ai’.

(Voir l’appendice inf´erieur.)

iii) En d´eduire l’expression de la distribution angulaire d²I(ω)/d²ˆr en termes des fonctions de BesselK¹

3(α) etK²

3(α), en distinguant les contributions des composantes du champ ´electrique selon ˆεεεˆˆ_k et ˆεεεˆˆ_⊥.

12.On peut maintenant, grˆace `a cette expression, se livrer `a l’´etude d´etaill´ee du comportement du rayonnement synchrotron d’une charge ultra relativiste. Par exemple. . .

i) Que peut-on dire de la polarisation du rayonnement observ´e dans la direction ˆz? hors de cette direction ?

ii) Quels sont les comportements ded²I(ω)/d²ˆr`a haute fr´equence ? `a basse fr´equence ?

iii) Calculer l’intensit´e spectraleI(ω) (mais oui !), &c. . . mais les meilleures choses ne sont-elles pas suppos´ees avoir une faim ?

APPENDICE

Quelques informations disponibles dans le commerce (M. Abramowitz&I.A. Stegun,Handbook of Mathematical Functions, Dover (New York)) :

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