Paris 7 QA 421-422
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THEORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
PARTIEL, t0= jeudi 4 f´evrier, 9 h.
∆t= 4 heures
Il n’est pas totalement inutile de lire l’´enonc´e : les questions sont en principe, et parfois en d´epit des apparences, r´edig´ees dans l’intention de faciliter votre tˆache. Mais avant cela, quelques remarques :
• Conventions typographiques :~v,−→V repr´esentent des (tri)vecteurs,v,V des quadrivecteurs.
• Si les cons´equences d’une erreur de calcul, propag´ees tout au long d’une solution, sont ´eventuellement pardonnables dans la mesure o`u elles ne heurtent pas le “bon sens”, toute r´ecidive d’une erreur de dimensions constitue par contre une faute aggrav´ee.
• Songez `a toutes les m´ethodes de v´erification de vos r´esultats : sym´etries, dimensions, cas particuliers, cas limites, bon sens, patrimoine culturel, etc. Il en sera tenu compte ; faire de la physique c’est aussi pr´evoir un r´esultat avant tout calcul puis, apr`es celui-ci, corriger ses erreurs.
• Des blocages moraux quelque peu d´esuets me rendent particuli`erement irascible en cas de suspicion de fraude, et encore plus s’il en r´esulte des inepties. Aidez moi `a ´eviter des sentiments dont j’aurais honte !
• Ne vous affolez pas de la longueur des probl`emes propos´es. Vous ne devez vous y attaquer qu’apr`es avoir effectu´e les exercices* qui suffisent par ailleurs pour vous assurer la moyenne.
Bon courage. le G.O.
I. CENSURE ?(*)
A 12 h 00 min 00 s TU (ou GMT, comme on dit sur les ondes fran¸caises), un astronaute sur la Lune laisse tomber une clef (anglo-saxonne naturellement) sur ses orteils. “Diantre !” s’´ecrie t-il dans le microphone de son casque (´ev´enement A), exclamation transmise `a la Terre par radio. A 12.00.01 TU, un court-circuit (´ev´enement B) met temporairement hors service un ´etage amplificateur du r´ecepteur de la station de contrˆole. La distance entre la Terre et la Lune est de 3,84×108m et vous vous permettez de n´egliger leur mouvement relatif.
1. La station de contrˆole sur Terre entend-elle l’interjection de l’astronaute ? 2. Le court-circuit peut-il avoir ´et´e provoqu´e par l’´ecart de langage de l’astronaute ? 3. Quel est le genre de l’intervalle s´eparant les ´ev´enements A et B ?
4. Calculez la valeur de cet intervalle.
5. Ce drame est attentivement observ´e depuis d’autres rep`eres ´equivalents. Quelle est la valeur minimale de la distance entre les ´ev´enements A et B ? Dans un rep`ere o`u cette distance a sa valeur minimale, quel est l’intervalle de temps entre les deux ´ev´enements ?
II. ROMANCE(*)
Chlo´e se d´eplace `a la vitesse~vconstante pour Colin et il existe un ´ev´enement commun dans leurs vies respectives. Lorsqu’ils conviennent d’axes en configuration standard, Colin choisit son axe ˆxselon la vitesse de Chlo´e. Cette derni`ere ´emet `a intervalles r´eguliers, ∆t0 `a sa montre, des signaux passionn´es (des ´eclats lumineux, ou des bouff´ees de neutrinos, selon son humeur) qui se propagent `a vitesse 1.
1. Repr´esentez cette histoire sur un graphe d’espace-temps.
2. Calculez la valeur de l’intervalle de temps ∆tentre r´eceptions de ces signaux par Colin, `a sa montre ? III. TRANSFORMATIONS DE LORENTZ (*)
1. Donnez les expressions des coordonn´ees t, x, y, z d’un ´ev´enement, pour Colin, en fonction des coor- donn´eest0, x0, y0, z0 de cet ´ev´enement pour Chlo´e.
2. Calculez les composantes ux, uy et uz de la vitesse d’un point mat´eriel pour Colin, en fonction des composantes u0x,u0y etu0z de la vitesse de ce point pour Chlo´e.
3. Quelles expressions vectorielles pouvez-vous en d´eduire pour les lois de transformations des temps, des positions et des vitesses observ´es par les deux personnages reli´es par une transformation sp´eciale de Lorentz ?
IV. CINEMATIQUE (*)
1. Quelle est la d´efinition de la quadrivitesse U d’un point mat´eriel ? (N’omettez pas d’expliquer bri`evement la signification des symboles que vous utilisez.)
2. Rapidement, quelles sont les expressions des composantes de la quadrivitesse d’un point mat´eriel dans un rep`ere et en un ´ev´enement o`u la vitesse du point vaut~u?
3. Quelle est la d´efinition de la quadri-acc´el´erationA? 4. Enum´erez quelques propri´et´es simples deU etA.
5. Un point mat´eriel a pour trajectoire, dans le rep`ere de Colin,x(t) =a−1p
1 + (at)2, y(t) =z(t) = 0, o`uaest une constante.
i) Calculez le temps propre du point mat´eriel,τ(t), tel queτ(0) = 0.
ii) Calculez les coordonn´ees, les composantes de la quadrivitesse, de la vitesse et de la quadri- acc´el´eration du point, en fonction de son temps propre.
iii) Quel nom donne t-on habituellement `a ce mouvement ? Pourquoi ? iv) Calculez la rapidit´eϕ(τ) ? L’expression obtenue ´etait-elle pr´evisible ?
v) Le point mat´eriel est une (petite, mais par rapport `a quoi ?) fus´ee qui ´emet en permanence et dans toutes les directions un rayonnement qui se propage `a vitesse 1. Repr´esentez l’allure de ce sc´enario (lignes d’univers de Colin, de la fus´ee et du rayonnement) sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere de Colin.
vi) Quelle est la valeur de la constantea, en ann´ee−1, si la fus´ee a une confortable acc´el´eration propre de 9,8 m s−2?
V. DYNAMIQUE DES PARTICULES (* sauf 6.) 1. Quelle est la d´efinition de la quadri-impulsion d’une particule de massem?
2. Quelles sont les composantes de cette quadri-impulsion dans un rep`ere et en un ´ev´enement o`u la vitesse de la particule est~u?
3. Quelles sont les identit´es remarquables entre ´energie e, impulsion~p, masse et vitesse de la particule ? 4. i) Rappelez la d´efinition de la masse invariante d’un syst`eme de particules.
ii) On souhaite produire des antiprotons (mp= 938 Mev) par la r´eactionp+p→p+p+p+p. Quelle
´energie cin´etique minimale faut-il donner (fa¸con de parler, ¸ca se paye !) aux protons d’un faisceau qui frappe une cible d’hydrog`ene, pour avoir un espoir de produire effectivement des antiprotons ? iii) De combien la vitesse des protons du faisceau diff`ere-t-elle alors de 1 ?
5. Quelles sont les expressions de l’´energie et de chacune des composantes de la tri-impulsion d’une particule pour Colin, en fonction de l’´energie et des composantes de la tri-impulsion pour Chlo´e, en configuration standard ?
6. Au cours d’une exp´erience de physique des particules, Colin observe que dN =f(~p)d3~pparticules d’un type donn´e sont ´emises avec une impulsion dans le pav´ed3~pautour de la valeur~p.
i) Calculez le volume correspondantd3~p0pour Chlo´e, autour de la valeur correspondante~p0, et montrez que ce volume s’exprime simplement en fonction ded3~p,eete0.
ii) En d´eduire l’expression de la distribution d’impulsion f0(~p0) pour Chlo´e.
iii) Pourquoi, `a votre avis, la communaut´e de physique des particules a t-elle coutume d’´ecrire plutˆot :
dN=g(~p)d3~p e .
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VI. CHAMP ELECTROMAGNETIQUE (* sauf 4.i et 4.ii)
1. i) Etablir les valeurs de chacune des composantes du tenseur du champ ´electromagn´etique Fµν en fonction des composantes des champs ´electrique−→E et magn´etique−→B.
ii) En d´eduire les valeurs des composantesFµν du mˆeme tenseur.
iii) En d´eduire les expressions des invariants de Lorentz du champ ´electromagn´etique.
2. i) Etablir les valeurs de chacun des coefficients de la matrice Λµν donnant les valeurs des coordonn´ees x0µ = Λµνxνattribu´ees `a un ´ev´enement par Chlo´e en fonction des coordonn´eesxµattribu´ees au mˆeme
´ev´enement par Colin, en configuration standard.
ii) En d´eduire les valeurs des coefficients de la matrice associ´ee Λµν. 3. i) Calculez chacune des composantes du champ ´electrique−→
E0 observ´e par Chlo´e en un ´ev´enement o`u Colin observe pour sa part les champs ´electrique −→E et magn´etique−→B, en configuration standard.
ii) En d´eduire les expressions vectorielles des composantes −→ E0k et −→
E0⊥, respectivement parall`ele et orthogonale `a la vitesse relative de Chlo´e et Colin.
iii) D´eterminez, par la m´ethode qu’il vous plaira, les expressions des composantes−→ B0ket−→
B0⊥observ´ees par Chlo´e au mˆeme ´ev´enement.
iv) Quels moyens pouvez-vous imaginer afin de v´erifier la validit´e de vos calculs ? 4. Quelques menues applications :
i) Trouvez les expressions vectorielles donnant g´en´eralement−→ E0 et −→
B0 en fonction de −→E, −→B et~v.
ii) Si, en un ´ev´enement, les champs ´electrique et magn´etique de Colin sont orthogonaux et ont mˆeme intensit´e, que pouvez-vous dire des champs ´electrique et magn´etique de Chlo´e au mˆeme ´ev´enement ? iii) En un ´ev´enement, les champs ´electrique et magn´etique de Colin sont orthogonaux et l’intensit´e du champ ´electrique est sup´erieure `a l’intensit´e du champ magn´etique. A quelles conditions n’y aura t-il aucun champ magn´etique pour Chlo´e ? Indiquez une construction graphique pour la vitesse de Chlo´e dans ces conditions.
VII. MOUVEMENT D’UNE CHARGE (*)
1. Rappelez l’´equation tensorielle du mouvement d’une charge q, masse m, dans un champ ´electroma- gn´etique.
2. En d´eduire les expressions des d´eriv´ees temporelles de l’´energie et de l’impulsion de la charge, de/dt et d~p/dtdans le rep`ere de Colin.
VIII. PROBLEME : Effet Doppler
L’´emetteur du rayonnement de la petite fus´ee acc´el´er´ee de la question IV.5.v a une fr´equence constanteν0. Calculez la fr´equence ν(t) du rayonnement re¸cu par Colin.
IX. PROBLEME : S´electeur de vitesses
Pour les besoins d’une exp´erience d’interaction proton–m´eson K, on dispose d’un faisceau de m´esons K−. Du fait des d´esint´egrations des K−, ce faisceau est contamin´e, entre autres, par d’intempestifs π− dont il va falloir se d´ebarasser avant la zone de collision du faisceau avec la cible d’hydrog`ene liquide.
1. On s´electionne d’abord ceux des m´esonsK− qui ont une impulsion d´etermin´ee~p0 en faisant passer le faisceau, pr´ealablement collimat´e, dans un spectrom`etre magn´etique, c’est-`a-dire une r´egion de champ magn´etique uniforme et constant orthogonal au faisceau, et d’o`u les particules ressortent par une fente.
i) Rappelez, ou retrouvez rapidement, les caract´eristiques de la trajectoire d’une chargeq, massem, dans un champ magn´etique uniforme et constant, et dont l’impulsion~pest orthogonale au champ.
ii) En d´eduire qu’un tel dispositif ne peut, avec seulement un champ magn´etique, ´eliminer tous lesπ− du faisceau. Quelle est, en l’occurence, l’impulsion des π− qui contaminent encore le faisceau `a la sortie du spectom`etre ?
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2. A la sortie du spectrom`etre, on fait p´en´etrer le faisceau, d’impulsion maintenant bien d´etermin´ee~p0, dans une r´egion o`u r`egnent des champs crois´es, c’est-`a-dire un champ ´electrique et un champ magn´etique uniformes et constants constituant un tri`edre orthogonal avec l’impulsion du faisceau
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a l’entr´ee. Pour d´eterminer ce qui franchit la fente de sortie de cet appareil, on va commencer par
´etudier le comportement d’une chargeq, massem, ´evoluant dans des champs crois´es.
i) Vous souvenant des ´equations du mouvement d’une charge, montrez simplement qu’il existe une valeur β~0 de sa vitesse d’entr´ee, telle que la charge continue sans d´eviation dans la zone des champs crois´es.
ii) Repr´esentez sch´ematiquement les vecteurs −→E,−→B, la trajectoire d’une charge dont la vitesse d’entr´ee vautβ~0 et, intuitivement, l’allure du d´ebut des trajectoires d’une charge dont la vitesse d’entr´eeβ~ a la mˆeme direction et un module, β, respectivement plus petit ou plus grand que β0.
iii) Ecrire les ´equations du mouvement r´egissant l’´evolution de chacune des composantes de la quadri- impulsion, pt, px, py, pz, par rapport au temps propreτ de la charge.
iv) Calculer les solutionspt(τ), px(τ), py(τ), pz(τ) correspondant `a la vitesse d’entr´eevx(τ = 0) =β, vy(τ = 0) =vz(τ = 0) = 0. (Si le♥vous en dit, vous pouvez remplacer E/B par son expression en fonction deβ0, et poserω= (qB/m)df p
1−β02,γdf=pt(τ= 0)/m.)
v) En d´eduire les expressions des d´eriv´eesdx/dτ,dy/dτ etdz/τ en fonction de τ.
vi) En d´eduire l’expression de la trajectoire, x(τ), y(τ), z(τ). (Bien entendu, on choisit l’origine des positions `a l’entr´ee de la zone des champs crois´es.)
vii) En d´eduire l’´equation d´eterminant la valeur τs du temps propre de la charge `a sa sortie du dispositif,xs=L. Cette ´equation est-elle susceptible d’avoir une solutionτsqui s’´ecrive simplement ? 3. On esp`ere que ce dispositif va permettre de s´eparer effectivement les π−du faisceau deK−. Soitp0 le module de l’impulsion des particules `a l’entr´ee. On veut donc estimer le d´ecalageyset l’inclinaisonθs de la trajectoire des π− `a la sortiexs =L, les champs ´etant ajust´es pour que lesK− ne soient pas d´evi´es. Bien entendu — ne serait-ce que pour des raisons ´economiques —, on veut que la longueurL du dispositif soit r´eduite. On suppose donc que τsest petit (par rapport `a quoi au fait ?).
i) Estimez, dans ces conditions, les valeurs dedx/dτ,dy/dτ etys`a la sortie, en fonction de τs. ii) Estimez τs en fonction deL,γ etβ.
iii) Montrez que θs peut s’exprimer en fonction de q, L, E, p0, β et β0, puis que ys peut s’´ecrire simplement en fonction deθs etL.
iv) En d´eduire que ce dispositif permet de s´electionner, parmi des particules qui ont mˆeme charge q et mˆeme impulsion~p0, celles qui ont une masse d´etermin´ee.
4. L’impulsion s´electionn´ee par le spectrographe vaut p0= 1,17 Gev, les masses duK− et duπ− valent respectivement mK = 494 Mev etmπ = 140 Mev. Le champ ´electrique, maximum compatible avec le tension de claquage dans le vide, vaut E= 30 kV cm−1. Le champ magn´etique est r´egl´e en sorte que lesK− ne soient pas d´evi´es. Le s´electeur a une longueurL= 3 m.
i) Calculezβ0 et B (en Tesla, ´evidemment).
ii) Calculezβ pour les pions du faisceau entrant, et leur d´eviationys(en mm) `a la sortie.
iii) Pour v´erifier la validit´e de l’hypoth`ese de d´epart, calculez le produitωτspour lesK−. Que pensez- vous alors de la valeur de la quantit´eωτsrelative aux pions ?
OUF ! Pour les incultes : e= 1,6×10−19C.
Pour les lettr´es : P. Eberhard & al., Separated 1.17–Bev/c K− Meson Beam, Rev. Sci. Inst. 31 () 1054.
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