TH ´EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS EXAMEN PARTIEL t

Paris 7 PH456

–

TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

EXAMEN PARTIEL

t₀= (mercredi 19 d´ecembre, 15 h), ∆t= 4 h

Pas d’affolement. Les exercices ou questions pr´ec´ed´es d’un * sont r´eellement ´el´ementaires, donc simples et incontournables : leur r´esolution est suffisante, mais quand mˆeme n´ecessaire, pour vous assurer la moyenne. Le reste est parfois plus ´enigmatique, plus calculatoire, plus formel ; il en faut pour tous les goˆuts.

Calculettes rigoureusement autoris´ees. Les trivecteurs sont repr´esent´es par des caract`eres gras.

*I. INVARIANTS, GRAPHES D’ESPACE-TEMPS

Dans ce probl`eme, tous les ´ev´enements et mouvements se produisent sur une unique droite d’espace.

Les effets non-inertiels `a la surface de la Terre peuvent ˆetre n´eglig´es.

Deux volcans, le Mont Rainier et le Mont Hood sont distants de 300 km dans le rep`ere o`u ils sont au repos. Ces volcans entrent soudainement en ´eruption en ´emettant un ´eclat lumineux. Une sismologue, au repos dans un laboratoire `a mi-chemin entre les volcans re¸coit en mˆeme temps ces signaux lumineux.

L’assistant de la sismologue est au repos dans un laboratoire au pied du Mont Rainier.

On appelle “´ev´enement 1” l’´eruption du Mont Rainier, et “´ev´enement 2” l’´eruption du Mont Hood.

Un vaisseau spatial rapide est sur une trajectoire rectiligne, du Mont Rainier vers le Mont Hood, avec une vitesse constante v= 0,8 par rapport au sol. Au moment de l’´eruption du Mont Rainier, le vaisseau se trouve directement au-dessus de celui-ci, de sorte que l’astronaute en re¸coit instantan´ement la lumi`ere ´emise.

Toutes les observatrices, et mˆeme les observateurs, sont intelligentes : elles prennent soin d’op´erer les corrections de dur´ee de trajet des signaux pour d´eterminer les temps des ´ev´enements dans leurs rep`eres.

Pour chacune des observatrices, et observateur, ci-dessous, l’´ev´enement 1 se produit-il avant, apr`es, ouau mˆeme instant que l’´ev´enement 2 ? Expliquez.

• La sismologue

• L’assistant de la sismologue

• L’astronaute

[D’apr`esR.E. Scherr& al., “Student understanding of time in special relativity : Simultaneity and reference frames,” Phys. Educ. Res., Am. J. Phys. Suppl.69(), S30.]

*II. SPACE OPERA

Sans vouloir remettre en cause la relativit´e einsteinienne fond´ee sur la transformation de Lorentz et qui, contrairement `a la relativit´e galil´eenne, n’est en d´esaccord avec aucune exp´erience, on a parfois envisag´e l’existence, tout `a fait hypoth´etique, de particules appel´ees “tachyons” dont la vitesse est sup´erieure `a 1. On va en imaginer quelques cons´equences, ind´ependamment de toute consid´eration psychologique, par des exp´eriences r´ealis´ees `a l’aide de robots programm´es.

Les robots R2D2 et C3P0, ´equip´es du mˆeme mod`ele d’horloge, ont une vitesse relative de modu- le v = 3/5. Ils sont convenus d’adopter comme origine d’espace et de temps l’´ev´enement constitu´e par leur s´eparation, et ils communiquent par ´echanges de tachyons ´emis avec la vitesse V = 7 (par rapport `a leur ´emetteur). R2D2 adopte un axeˆxsuivant la vitesse de C3P0 et rep`ere tout ´ev´enement par des coordonn´eest, x, y, z. C3P0 adopte un axeˆx<sup>0</sup> oppos´e `a la vitesse de R2D2 et des axesyˆ⁰ etˆz⁰ parall`eles aux axes ˆyetˆzde R2D2 ; il rep`ere tout ´ev´enement par les coordonn´eest⁰, x⁰, y⁰, z⁰.

Prologue

1. i) Repr´esentez les lignes d’univers de R2D2 et de C3P0 sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere de R2D2.

ii) Quelles valeurs des coordonn´ees t⁰, x⁰, y⁰, z⁰ C3P0 attribue-t-il `a un ´ev´enement, en fonction des valeurs de t, x, y, zattribu´ees par R2D2 au mˆeme ´ev´enement ?

2 Champs classiques, PH456 Paris 7 Exp´erience 1

R2D2 est programm´e pour ´emettre un tachyon, en direction de C3P0, lorsque son horloge indique 32 jours (´ev´enement A). C3P0 est programm´e pour enregistrer l’instant de r´eception de ce tachyon (´ev´enement B) d’apr`es son horloge.

2. i) Repr´esentez cette histoire (lignes d’univers de R2D2, de C3P0 et du tachyon, ´ev´enements A et B) sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere de R2D2 (´echelle 1 cm. sur le graphe pour 5 jours dans l’espace-temps).

ii) Calculez la datet_B et la positionx_B de la r´eception.

iii) Calculez les datest⁰_Aet t⁰_B attribu´ees aux mˆemes ´ev´enements par C3P0.

iv) Repr´esentez la mˆeme histoire sur un graphe d’espace-temps (`a la mˆeme ´echelle) dans le rep`ere de C3P0.

v) Quelle que soit l’´etranget´e de cette exp´erience, voyez-vous une impossibilit´e logique `a programmer ainsi les robots ?

Exp´erience 2

On reprend le programme pr´ec´edent mais, en plus, C3P0 a pour instruction d’´emettre (´ev´enement C) un tachyon (vitesse V = 7), en direction de R2D2, 4 jours apr`es r´eception d’un tachyon. R2D2 est

´egalement charg´e d’enregistrer la date de r´eception (´ev´enement D) du tachyon.

3. i) Calculez les instantst⁰_Cett⁰_D, et repr´esentez toute cette histoire (lignes d’univers et ´ev´enements A, B, C et D) sur un graphe d’espace-temps (`a l’´echelle) dans le rep`ere de C3P0.

ii) Voyez-vous une impossibilit´e logique `a programmer cette exp´erience ?

iii) Quel est l’ordre temporel des ´ev´enements A et D ? Cet ordre est-il le mˆeme dans tous les rep`eres ? Exp´erience 3

4. On modifie l´eg´erement le programme de l’exp´erience 2. R2D2 a maintenant pour instruction de n’´emettre un tachyonque s’il n’a rien re¸cuauparavant. Un tel programme est-il logiquement coh´erent ? [D’apr`esT.M. Helliwell & D.A. Konkowski, “Causality paradoxes and non paradoxes : Classical superluminal signals and quantum measurements,”Am. J. Phys.51(), 996.]

III. D’AUTRES SCENARIOS

*Effet Doppler longitudinal

Fred et Ren´ee, tous deux inertiels, s’autorisent des rep`eres en configuration standard (il y a un

´ev´enement commun dans leurs vies respectives) de vitesse relativeβ. Ren´ee, `a intervalles r´eguliers ∆τ

`

a sa montre (l´egale), ´emet des signaux non directionnels dont la vitesse de propagation est ´egale `a la constante d’Einsteinc.

1. Repr´esentez cette histoire sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere de Fred.

2. i) Calculez l’intervalle de temps ∆trqui s´epare, `a sa montre, deux r´eceptions successives par Fred.

ii) En d´eduire l’espression de la fr´equencefrde r´eception des signaux pour Fred en fonction de leur fr´equence d’´emissionf₀pour Ren´ee.

Mouvement hyperbolique Dans le rep`ere de Fred, Alice a le mouvement :







x(t) =a⁻¹p

1 + (at)², y(t) = 0,

z(t) = 0, o`uaest une constante (positive par exemple).

*3.Repr´esentez les lignes d’univers de Fred et Alice sur un graphe d’espace-temps (x, t).

*4.i) Calculez l’intervalle de temps propredτ entre deux ´ev´enements rapproch´es de la vie d’Alice autour de l’instantt, en fonction de l’intervalle de tempsdtattribu´e par Fred `a ces mˆemes ´ev´enements. Alice a r´egl´e sa montre en sorte queτ(t= 0) = 0. Calculezτ(t).

ii) En d´eduire l’´equation de la ligne d’univers d’Alice param´etr´ee par son temps propre τ, puis les composantes de sa quadrivitesse et de sa quadri-acc´el´eration.

Champs classiques, PH456 Paris 7 3 iii) Calculez le carr´e de la quadri-acc´el´eration d’Alice. Comment peut-on qualifier le mouvement de la dite Alice ?

5. Les tuy`eres surchauff´ees de la fus´ee d’Alice ´emettent en permanence, et entre autres, une raie lumineuse monochromatique de fr´equencef₀, dans toutes les directions.

*i) Repr´esentez sur le graphe d’espace-temps quelques lignes d’univers typiques de ce rayonnement

´emis. Fred re¸coit-il cette lumi`ere `a tout instant ? Qualitativement, avant tout calcul, comment va varier au cours du temps la fr´equence f(t) de la raie re¸cue par Fred ?

ii) Calculez l’instant d’´emissiontede la lumi`ere qui est re¸cue par Fred `a l’instantt, puis la vitessev(te) d’Alice `a cet instant.

iii) Dans quelle mesure la formule ´etablie en2.ii pour un ´emetteur qui avait une vitesse constante est-elle applicable ici pour calculer la fr´equencef(t) du rayonnement re¸cu par Fred ? Calculezf(t) et commentez l’expression obtenue.

6. En contemplant, inerte, le ciel nocturne, vous ˆetes t´emoin de l’apparition d’une nouvelle source lumineuse ponctuelle, fixe dans le ciel. Vous reconnaissez dans son spectre le code barre caract´eristique d’un ´el´ement connu. L’analyse de mesures successives de la fr´equence de l’une de ces raies vous donne la loi f(t) =f0/(αt−β), o`u f0 est la fr´equence de cette mˆeme raie ´emise par le mˆeme ´el´ement en laboratoire. Que pouvez-vous dire du mouvement de cette source ? (N’h´esitez pas `a faire un graphe d’espace-temps.)

Effet Doppler

Une source lumineuse se meut `a la vitesseβββpar rapport `a vous, inerte. Cette source ´emet, dans toutes les directions, des photons d’´energie E0. Soit un de ces photons, d´etect´e, dans votre laboratoire, dans une direction formant un angleθavec la vitesse de la source.

7. Quelle est l’expression E(E₀, θ;β) de l’´energie du photon d´etect´e ? (Indication : on peut trouver avantage `a consid´erer la transformation sp´eciale de Lorentz de chacune des composantes de la quadri- impulsion duphoton entre deux rep`eres choisis en configuration standard.)

8. Repr´esentez l’allure deE/E₀en fonction de θ, pour β= 0,6.

*IV. ADDITIVIT ´E DES MASSES ?

Il ne vous a point ´echapp´e que la notion de masse, bien que toujours op´erante dans le domaine relativiste, perd certaines de ses propri´et´es classiques, `a commmencer par sa conservation. Comme on peut n´eanmoins, et fort heureusement, ´etendre le concept de masse — invariante — d’une particule

`

a un ensemble de particules, il est l´egitime de se demander si cette masse invariante d’un syst`eme ne satisferait pas encore la propri´et´e — classique — d’additivit´e. On consid`ere pour cela quelques situations exemplaires.

1. Soient deux particules de masse m et quantit´es de mouvement p₁ et p₂ = p₁. Calculez la masse invariante de ce syst`eme. Le r´esultat ´etait-il pr´evisible ?

2. Les deux particules de masse mont des quantit´es de mouvement p₁ et p₂=−p₁. Calculez la masse invariante du syst`eme. Qu’en concluez-vous poour ce qui est de l’additivit´e des masses ?

3. Que deviennent les r´esultats pr´ec´edents si les particules sont des photons ? V. OBSERVER ? OUI MAIS FAUT VOIR !

Vous ˆetes inertiel et l’univers ne contient, outre vous-mˆeme, rien d’autre qu’un plan lumineux monochromatique (chaque point du plan ´emet, dans toutes les directions, des photons d’´energie E^∗ = jaune, par exemple, dans le rep`ere du plan) qui, dans votre rep`ere, se d´eplace `a vitesse constante βββ, normale au plan. Il est rigoureusement permis de choisir des axes en configuration standard. Le probl`eme de l’observation est de positionner, dans l’espace-temps, les ´ev´enements S sources des photons d´etect´es en l’´ev´enement D de votre œil. Puisque rien n’interdit de prendre cet œil comme origine d’espace, il s’agit des photons d´etect´es `a tD en xD =yD=zD = 0. Et puis on prend pour origine du temps l’instant o`u le plan lumineux vous tape dans l’œil.

1. Quelle est, dans votre rep`ere, l’´equation des points du plan lumineux `a un instantt?

2. Quelle relation doit-il y avoir en g´en´eral entre les coordonn´ees de l’´emission S et de la r´eception D d’un photon ?

4 Champs classiques, PH456 Paris 7 3. En d´eduire l’´equation des coordonn´ees spatiales des points du plan lumineux, sources des photons d´etect´es `a tD. (´Etant donn´ee la sym´etrie de r´evolution du syst`eme autour de l’axe ˆx, on se borne `a

´etudier les points sourcez_S= 0.)

4. Etudier, pour une valeur de´ t_D, les caract´eristiques de la courbe repr´esentant les positions des points sources dans le plan (x, y). (Vous pouvez bien entendu faire tous les changements de variables simplifiant l’´etude de cette courbe.)

5. Bande dessin´ee : dans le cas d’un plan lumineux filant `aβ = 0,6, repr´esentez, dans le plan (x, y), les positions des points sources de photons d´etect´es `a t_D=−3 s,−2 s,−1 s, 0, 1 s, 2 s, 3 s.

6. Discutez et repr´esentez l’aspect visuel de l’univers `a divers instants.

[D’apr`es :K.G. Suffern, “The apparent shape of a rapidly moving sphere,”Am. J. Phys.56(), 729 ; U. Kraus, “Brightness and color of rapidly moving object : The visual appearance of a large sphere revisited,” Am. J. Phys. 68 (), 56 ; E. Eriksen, “Relativistically expanding spherical emitters,”Am. J. Phys.,68(), 1123.]

VI. D´ECOMPOSITION D’UNE TRANSFORMATION DE LORENTZ

On se propose de d´emontrer une propri´et´e qui — quoique fr´equemment invoqu´ee — l’est rarement,

`

a savoir que toute transformation de Lorentz, homog`ene, propre, orthochrone, peut ˆetre consid´er´ee comme produit d’une transformation sp´eciale de Lorentz et d’une rotation.

Soit une transformation de Lorentz homog`ene, propre, orthochrone, de matrice Λ^µν. 1. Montrer que (Λ⁰0)²−P

i(Λⁱ0)² = (Λ⁰0)²−P

i(Λ⁰i)² = 1. (Un conseil : se souvenir que la matrice inverse fait aussi partie de la famille Lorentz.)

2. i) Quelle condition doivent satisfaire trois nombres donn´es pour pouvoir ˆetre pris comme param`etres d’une transformation sp´eciale de Lorentz ?

ii) Montrer que les trois nombresβ_i= Λ^{df 0}_i/Λ⁰₀ satisfont cette condition.

3. Soit un syst`eme de coordonn´ees (t<sup>0</sup>, x<sup>0</sup>, y<sup>0</sup>, z<sup>0</sup>) qui se d´eplace `a une vitessevconstante par rapport `a un autre syst`eme de coordonn´ees, (t, x, y, z). Les axes d’espace sont choisis en sorte que ces coordonn´ees se correspondent par une transformation sp´eciale de Lorentz.

i) Rappeler (ou retrouver) la forme vectorielle

½t=t(t⁰,r⁰;v) r=r(t⁰,r⁰;v) de la transformation sp´ecialede Lorentz entre ces syst`emes.

ii) En d´eduire les expressions des coefficients L⁰0(v) et L⁰i(v) de la matrice de la transformation x^µ=L^µν(v)x^0ν.

4. Dans le casv=−βββ, calculer les coefficients L⁰₀(−βββ) etL⁰_i(−βββ) en fonctions des coefficients Λ^µ_ν. 5. Soit la matriceR= Λ^df L(−βββ).

i) CalculerR⁰0.

ii) En d´eduire les valeurs des R⁰i et Rⁱ0. (Un conseil : ne pas oublier que, de par sa d´efinition, la matrice R fait, elle aussi, partie de la famille Lorentz, et satisfait donc les propri´et´es montr´ees `a la question 1.)

iii) Quelle est la nature de la transformation correspondant `a R? 6. Quel est le r´esultat du produitR L(ββ) ?β

7. On se propose de montrer que cette d´ecomposition d’une transformation de Lorentz, en transformation sp´eciale puis rotation pure, est unique. Imaginons deux rotations, R et R⁰, et deux transformations sp´eciales de Lorentz,L(βββ) etL(βββ⁰), telles que Λ =R L(βββ) =R⁰L(βββ⁰).

i) Montrer queR⁻¹R⁰L(βββ⁰)L(−βββ) =I.

ii) Montrer que l’´el´ement⁰₀de cette relation matricielle fournit une condition liantβββ,γ,βββ⁰ etγ⁰. iii) Quelle condition doivent alors satisfaireβββ etβββ⁰?

iv) En d´eduire queL(βββ⁰) =L(ββ) etβ R⁰ =R.