Paris 7 PH456
–
TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
EXAMEN
t0= (jeudi 13 septembre , 9 h), ∆t= 4 h
Ces questions sont r´eellement ´el´ementaires. Il ne vous est rien demand´e de compliqu´e. Exercez votre bon sens et, comme d’habitude, v´erifiez les dimensions et les unit´es de vos r´esultats. Tout proc´ed´e, ou suggestion de proc´ed´e, de v´erification de vos r´esultats sera appr´eci´e.
I. MOUVEMENT `A ACC ´EL´ERATION PROPRE CONSTANTE
1. Repr´esentez l’allure de la ligne d’univers d’un mobile en mouvement `a acc´el´eration propre constantea.
Indiquez sur votre graphe les caract´eristiques de cette ligne d’univers. Rappelez, sans calcul, l’´equation de cette ligne d’univers. En d´eduire l’expression du temps propre du mobile en fonction du temps.
2. Repr´esentez sur ce graphe l’´ev´enement P qui est :
– simultan´e de l’´ev´enement M du mobile o`u ce mobile a une vitesse nulle ; – `a une distancelde l’´ev´enement M ;
– dans la direction de l’acc´el´eration du mobile.
Repr´esentez la droite de lumi`ere ´emise par P dans la direction oppos´ee `a l’acc´el´eration du mobile, et donnez l’´equation de cette droite.
3. En d´eduire la valeur de la coordonn´ee de temps tD de l’´ev´enement D o`u la lumi`ere ´emise par P rencontre le mobile.
4. Pour un explorateur spatial qui ne se borne pas `a contempler passivement l’univers, le seul moyen actif d’´etude de son environnement est le radar. Repr´esentez graphiquement un sc´enario d’observation d’un ´ev´enement par le radar d’un cosmonaute en acc´el´eration propre constante, `a savoir les lignes d’univers :
– du cosmonaute ;
– du rayonnement ´emis par le radar ;
– du rayonnement r´efl´echi par l’´ev´enement et re¸cu par le radar.
Calculez le temps propre du cosmonaute ´ecoul´e entre l’´emission et la r´eception du signal de son radar, en fonction de la distance de l’´ev´enement au cosmonaute dans le rep`ere o`u ce cosmonaute a une vitesse nulle `a l’instant de l’´ev´enement d´etect´e.
II. ´EQUATIONS DE MAXWELL-LORENTZ
1. Ecrire, en unit´es l´egales, les ´equations de Maxwell (conditionnant les champs ´electrique et magn´etique´ cr´e´es par les densit´es de charge et de courant), et de Lorentz (conditionnant le mouvement d’une charge dans les champs ´electrique et magn´etique).
2. En d´eduire les mˆemes ´equations dans le syst`eme d’unit´es naturelles en relativit´e (Heaviside-Lorentz- Einstein, ou “ε0=µ0= 1”), en explicitant soigneusement les formules de changement d’unit´es pour les champs ´electriques et magn´etiques, les densit´es de charge et de courant, les charges ´electriques, les distances, les temps et les vitesses.
3. Ecrire les ´equations de Maxwell et de Lorentz sous forme tensorielle en explicitant les d´efinitions des´ diverses grandeurs figurant dans ces ´equations. En d´eduire les expressions des composantes du tenseur du champ ´electromagn´etique en fonctions des composantes des champs ´electrique et magn´etique.
4. En d´eduire :
i) les lois de transformation des composantes des champs ´electrique et magn´etique lors d’une transformation de Lorentz ;
ii) les ´equations d’´evolution des variations dp0/dtet dp/dtde l’´energie et de la quantit´e de mouvement d’une particule charg´ee dans les champs ´electrique et magn´etique.
2 Champs classiques, PH456 Paris 7
III. CYCLOTRON
1. D´eterminez les caract´eristiques de la trajectoire d’une particule charg´ee inject´ee sous incidence normale dans une r´egion o`u r`egne un champ magn´etique uniforme et constant.
2. En d´eduire la relation num´erique donnant l’impulsion d’un proton, en Tev, en fonction du champ magn´etique, en Tesla, et du rayon de la trajectoire, en km.
3. Cas du collisionneur proton-proton LHC dont la circonf´erence est de 27 km : quelle valeur de champ magn´etique, `a supposer qu’il soit uniforme, faut-il pr´evoir pour y accumuler des protons de 7 Tev ?
IV. CONVECTION ET RAYONNEMENT
Une particule de charge positive qui se mouvait `a une vitesse constante 2,5×108m s−1est soudainement ralentie et poursuit sa course `a vitesse constante 1,5×108m s−1. Repr´esentez, 10−9s apr`es le choc : 1. la r´egion de l’espace o`u il y a du champ ´electromagn´etique du type rayonnement ;
2. l’allure du champ ´electrique dans le reste de l’espace ; 3. l’allure du champ magn´etique.
V. LA GRAVITATION EXPLIQU ´EE `A MA FILLE
Votre petite sœur vous demande “qu’est-ce que la relativit´e g´en´erale ?” Que lui r´epondez-vous en moins d’une page ?
