Paris 7 PH042
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TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
EXAMEN
t0= (mercredi 5 mai, 13 h30), ∆t= 4 heures
Pas de panique, vous devez (dans tous les sens du terme quand mˆeme) savoir traiter les exercices I et II, simples transpositions de questions d´ej`a trait´ees en Travaux d´elicieusement Dirig´es, et ˆetre en mesure de r´ediger, sur une copie s´epar´ee,le bref essai IIIqui leur succ`ede. Tout ¸ca vous assurera la moyenne. Bien (ou mal) entendu le probl`eme final IV est, paradoxalement, interminable.
I. UN PEU DE R´EFLEXION (≈5 points)
L’´electrodynamique, `a savoir les ´equations de Maxwell et de Lorentz, est une th´eorie bien confirm´ee pour Joseph qui rep`ere les ´ev´enements par les coordonn´ees t, x, y, z. On se demande si la mˆeme th´eorie pourrait ˆetre valide pour Alice qui rep`ere les mˆemes ´ev´enements par les coordonn´ees t0df=t, x0=df−x, y0 df=−y,z0 df=−z.
1. D´efinir les mˆemes valeurs des grandeurs physiques (densit´e de charge, composantes de la densit´e de courant et des champs ´electrique et magn´etique, coordonn´ees d’une charge d’´epreuve) en fonctions des nouvelles coordonn´ees et ´etablir les ´equations diff´erentielles auxquelles ces fonctions ob´eissent.
2. Montrez qu’il existe alors deux choix de transformations des valeurs des grandeurs physiques qui permettent de mettre ces ´equations sous la forme des ´equations de Maxwell et de Lorentz.
3. i) R´etablissez les expressions des composantes du tenseur du champ ´electromagn´etique et de son dual en fonctions des composantes des champs ´electrique et magn´etique.
ii) En d´eduire les comportements des composantes du tenseur du champ et de son dual par rapport
`
a la r´eflexion.
iii) Les composantes du tenseur du champ et de son dual ont-elles le mˆeme comportement par rapport
`
a la r´eflexion ?
II. RAYONNEMENT ET CONVECTION (≈5 points)
Une particule de charge positive qui se mouvait tout droit `a la vitesse constante de 1,5×108m s−1 est brutalement stopp´ee puis reste immobile. Repr´esentez, `a une nanoseconde apr`es l’arrˆet, l’aspect du champ ´electromagn´etique cr´e´e par cette particule, `a savoir :
• le domaine o`u il y a du champ de type rayonnement ;
• les lignes de champ ´electrique ;
• l’allure du champ magn´etique.
III. ESSAI GRAVE (≈5 points)
Racontez (en une ou deux pages sur une copie s´epar´ee) la Physique de la Relativit´e G´en´erale `a une correctrice dont les connaissances en Physique s’arrˆetent `a la Relativit´e Restreinte.
2 Champs classiques, PH042 Paris 7
IV. LES EFFETS ´ELECTRODYNAMIQUES D’UNE MER DE NEUTRINOS D ´EG´EN´ER´ES(≈5 points)
Les th´eories cosmologiques impliquent l’existence d’un gaz de neutrinos d´eg´en´er´e, occupant tout l’espace et que la coutume chez les physiciens des particules est d’appeler une mer de Fermi. L’´energie de FermiεFde ces neutrinos varie selon la th´eorie candidate, tout en restant inf´erieure `a 10−8MeV, et sa d´etermination exp´erimentale pourrait nous renseigner sur notre univers (en expansion, stationnaire ou oscillant).
L’existence de ce fond de neutrinos — susceptibles d’interaction faible avec les ´electrons et donc, par l’interm´ediaire de ces derniers, avec les photons — devrait avoir des cons´equences sur la dynamique du champ ´electromagn´etique classique. (On a une situation analogue en pr´esence d’un milieu polaire ou magn´etique.) L’id´ee ici est donc d’´etablir de mani`ere ph´enom´enologique une th´eorie ´electromagn´etique effective modifi´ee par le couplage `a la mer de neutrinos, puis d’´evaluer quelques effets nouveaux pr´edits par cette th´eorie afin de d´eterminer s’il est r´ealiste d’envisager une exp´erience pour les mesurer et en d´eduire la valeur de εF.
Il est peu probable que vous trouviez le temps de lire cet ´enonc´e verbeux et de r´epondre `a toutes ses questions. Quoiqu’il en soit, il est indispensable de traiter la premi`ere section, Equations de´ Maxwell modifi´ees, pour pouvoir aborder les sections suivantes, ind´ependantes sauf dans leurs derni`eres questions respectives. L’Estimation de la correctionest susceptible de ravir les esth`etes quantiques raffin´ees, pr´ef´erant le qualitatif au quantitatif. A l’inverse, les Effets statiques feront le bonheur des analystes et autres pervers amateurs de fonctions de Green. Enfin l’´etude de la Propagation, qui exige plus de culture que de gros moyens techniques, apportera sans doute le plus de joie `a celles et ceux qui, en d´epit de notre enseignement, ne sont pas encore totalement blas´es.
Ne vous laissez pas impressionner par le style directif des questions : libre `a vous d’interpr´eter ces th`emes de r´eflexions comme vous l’entendez.
A. Les ´equations de Maxwell modifi´ees
Il n’est a priori nullement n´ecessaire de s’imposer un calcul d´etaill´e dans le cadre de la th´eorie quantique relativiste, ou th´eorie quantique des champs, pour trouver la forme des modifications apport´ees `a l’´electrodynamique classique. Sauf accident s´electif, ces corrections sont des fonctions simples, voire les plus simples, des grandeurs physiques sp´ecifiques
• de l’´electrodynamique, `a savoir le tenseur du champFµν,
• et de la mer de neutrinos, autrement dit, `a temp´erature nulle, son ´energie de FermiεF qui permet de d´efinir sa quadri-impulsionK
e par ses composantes dans le rep`ere de la mer :K0 df=εF, Kdf= 0.
1. Ecrivez les ´equations de Maxwell sous forme tensorielle, modifi´ees par les termes additifs les plus´ simples, c’est-`a-dire fonctions lin´eaires du champ et de la mer,
• form´ees avec les ingr´edients dont on dispose, `a savoir Fµν et son dual∗Fµν, etKµ,
• et compatibles avec l’invariance de Lorentz.
(Ces ´equations modifi´ees font intervenir 4 coefficients scalaires arbitraires.)
2. Comme la faiblesse ´eponyme de l’interaction avec les neutrinos ne permet d’esp´erer en d´etecter que les effets originaux, il nous faut s´electionner parmi les termes additionnels ceux qui pourraient ˆetre responsables d’une violation de l’invariance par r´eflexion.
i) ´Etudiez les comportements par r´eflexion de vos termes suppl´ementaires et comparez les aux comportements des termes des ´equations de Maxwell originelles qu’ils viennent modifier.
ii) En d´eduire les ´equations modifi´ees utiles o`u ne figurent que les termes additionnels ayant un comportement par r´eflexion diff´erent des termes originels. (Ces ´equations ne d´ependent plus que de 2 coefficients arbitraires.)
3. On peut encore simplifier ces ´equations modifi´ees en supposant, par raison d’´economie, que la densit´e de neutrinos est uniforme dans l’univers. Les deux coefficients sont alors ind´ependants des coordonn´ees.
En consid´erant la quadridivergence de vos ´equations modifi´ees, montrez dans ces conditions que : i) vos ´equations ne comportent plus qu’un seul terme additionnel, d´ependant d’un seul coefficient ; ii) la densit´e de courant source ob´eit encore `a une ´equation de conservation.
4. En d´eduire enfin les ´equations modifi´ees, dans le rep`ere de la mer de neutrinos, ´ecrites sous forme traditionnelle en fonction :
• des champs ´electrique et magn´etique,
Champs classiques, PH042 Paris 7 3
• des densit´es de charge et de courant,
• de l’´energie de Fermi,
• et d’un seul coefficient encore arbitraire.
B. Estimation de la correction
Sans calcul de th´eorie quantique des champs vous avez maintenant trouv´e la forme plausible de la modification apport´ee `a l’´electrodynamique classique par la mer de neutrinos. Vous allez voir que, tout aussi ´economiquement, vous pouvez estimer l’ordre de grandeur du coefficient de la correction.
1. Quelle est la dimension de ce coefficient ?
2. Lorsque la description d’un processus rel`eve de la th´eorie quantique des champs, seule une m´ethode perturbative permet d’en calculer l’amplitude de probabilit´e. Les contributions des ordres de pertur- bation successifs `a l’amplitude sont repr´esent´ees par des graphes qui, dans le cas qui nous occupe, se prˆetent tr`es bien `a une ´evaluation en ordres de grandeur. Pour cela, il est quasiment indispensable d’utiliser le syst`eme d’unit´es “¯h=c= 1”.
Ainsi, la premi`ere contribution `a l’amplitude d’un processus d’interaction
´electromagn´etique entre deux particules charg´ees est repr´esent´ee par le graphe ci-contre constitu´e de deux vertex `a 3 pattes, caract´eristiques de l’interaction ´electromagn´etique (un photon y est rayonn´e ou absorb´e par une particule charg´ee qui change donc d’´etat). La contribution d’un
vertex est proportionnelle `a la constante de couplage de l’interaction, ici la charge ´electriquee de la particule. C’est la contribution de ce type de graphe qui, `a la limite classique, engendre les ´equations de Maxwell.
L’interaction faible, dans la vieille th´eorie de Fermi (toujours le mˆeme !) qui convient `a l’ordre le plus bas, est repr´esent´ee par un vertex `a 4 pattes de leptons dont la contribution est proportionnelle `a la constante de Fermi GF.
La premi`ere correction au graphe de base de l’´electrodynamique due `a la mer de neutrinos est alors repr´esent´ee par le graphe ci-contre o`u le photon interm´ediaire se mat´erialise (tr`es temporairement !) en une paire ´electron- positron dont l’un des membres interagit, faiblement, avec un neutrino de la mer pour le rejeter `a la mer. C’est ce graphe qui est responsable du terme correctif aux ´equations de Maxwell dont le coefficient nous est inconnu.
En d´eduire la mani`ere dont ce coefficient d´epend des constantes de couplage eet GF.
3. Le scalaire caract´eristique de la situation le plus simple dont puisse encore d´ependre le coefficient cherch´e est K
e
2, autrement dit l’´energie de FermiεFde la mer de neutrinos. L’analyse dimensionnelle devrait donc maintenant suffire pour d´eterminer cette d´ependance.
i) Tout d’abord, quelles sont la dimension et la valeur de e2? (Souvenez-vous de la constante de structure fine.)
ii) Pour d´eterminer la dimension de la constante de couplageGF, il suffit de revenir `a la th´eorie des perturbations d´ependant du temps o`u l’amplitude de probabilit´e d’un processus est proportionnelle `a l’´el´ement de matrice< f|Hint|i >du terme d’interaction dans l’hamiltonien. Dans la th´eorie de Fermi, l’interaction faible est locale et proportionnelle aux amplitudes de probabilit´e (ou fonctions-d’onde) des quatre particules en jeu :
< f|Hint|i >=
Z
d3r ψ ∗4(r)ψ 3(r)GFψ 2∗(r)ψ 1(r).
En d´eduire la dimension de la constante de couplage GF.
iii) En d´eduire une estimation du coefficient cherch´e en fonction dee,GFet εF. 4. Reste enfin `a estimer num´eriquement ce coefficient. On connaˆıt e ainsi qu’une
borne sup´erieure de εF. Seule nous manque une estimation de GF. On peut pour cela se r´ef´erer `a un processus faible typique comme la d´esint´egration du muon, µ− → e− + ¯νe+νµ, dont l’amplitude de probabilit´e est repr´esent´ee, `a l’ordre le plus bas, par le graphe ci-contre.
i) Comment la probabilit´e de d´esint´egration par unit´e de temps, et donc l’inverse de la dur´ee de vie, d´ependent-ils de GF?
4 Champs classiques, PH042 Paris 7
ii) Cette probabilit´e ne peut par ailleurs d´ependre que des caract´eristiques du processus `a savoir ici, dans le rep`ere du muon, la seule masse du muon (par rapport `a laquelle les masses de l’´electron et des neutrinos sont n´egligeables). En d´eduire une estimation de la constante de couplage GF en fonction de la dur´ee de vie et de la masse du muon.
iii) Le muon ayant une massem≈106 MeV et une dur´ee de vieτ ≈2,2×10−6s, quelle est la valeur estim´ee pour GF(en unit´es d’´energie par exemple) ?
5. En d´eduire enfin l’estimation num´erique de la borne sup´erieure du coefficient du terme correctif aux
´equations de Maxwell, en unit´es de longueur ainsi qu’en unit´es de temps.
C. Effets statiques de la mer de neutrinos ?
1. Au vu des ´equations de Maxwell modifi´ees, la mer de neutrinos a t-elle un effet sur l’´electrostatique ? 2. Reste le question de la magn´etostatique modifi´ee dont on commence, sans grand effort d’imagination, par chercher des solutions d´erivant d’un potentiel vecteur :B=∇∇∇ ∧A. A quelle ´equation diff´erentielle doit alors ob´eir A?
3. Cette ´equation n’a certes rien de bien affriolant. Alors on essaye autre chose...
i) On cherche plutˆot le champ magn´etique statique sous la forme B = ∇∇ ∧∇ A+V. Montrez qu’il existe un choix de champ Vqui simplifie consid´erablement le probl`eme.
ii) R´ecapitulez alors les ´equations diff´erentielles que doit satisfaire le potentielA, ainsi que l’expression du champBen fonction deA.
4. i) D´eterminez la fonction de Green de l’´equation inhomog`ene r´egissantA.
ii) En d´eduire l’expression int´egrale du potentielAcr´e´e par la sourcej(r).
iii) V´erifiez que cette expression est bien solution de l’autre ´equation, homog`ene, r´egissantA.
5. Dans cette solution int´egrale apparaˆıt bien entendu le coefficient associ´e `a la contribution de la mer de neutrinos.
i) ´Ecrire les premiers termes du d´eveloppement deAen puissances de ce coefficient.
ii) En d´eduire les premiers termes du d´eveloppement correspondant pour le champ magn´etique statiqueB(r).
iii) En d´eduire l’allure du champ magn´etique cr´e´e par un fil rectiligne. A quelle distance de ce fil l’effet de la mer de neutrinos se fait-il sentir sur le champ ?
iv) Qu’en concluez-vous sur la faisabilit´e de ce genre d’exp´erience pour ´evaluer l’´energie de Fermi des neutrinos ? ´Etait-ce pr´evisible ?
D. Propagation
1. Etablir les conditions que doivent satisfaire des champs ´electrique et magn´etique du type ondes planes´ monochromatiques polaris´ees pour ˆetre solutions des ´equations de Maxwell modifi´ees dans le vide.
(Rien n’interdit d’appeler ˆz la direction de propagation.) 2. Quel est le type de polarisation des solutions trouv´ees ?
3. Tracez l’allure des relations de dispersion ω(k) des solutions et montrez que l’une d’elles est affect´ee d’une longueur d’onde de coupure. Y a t-il quelque espoir d’observer cette derni`ere ?
4. A un instant que l’on prend pour origine, t = 0, un faisceau qui se propage dans une direction que l’on appelle ˆza son champ ´electrique dans une direction que l’on appelle ˆx:
E(z, t= 0) = ˆx Acoskz.
i) Que devient ensuite le champE(z, t) ?
ii) Combien de temps faut-il attendre pour y distinguer un effet de la mer de neutrinos ?
iii) Conclusion sur la faisabilit´e de cette exp´erience dans le but de mesurer l’´energie de Fermi de la mer de neutrinos ?
R´ef. rance :
J. Royer,Effect of a Degenerate Neutrino Sea on Electromagnetism, Phys. Rev.174() 1719.
