Paris 7 PH456
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TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
EXAMEN
vendredi 3 mai, 13 h 30, ∆t= 4 h RELATIVIT ´E, ´ELECTRODYNAMIQUE
Les trois premiers exercices ne sont que r´ep´etition de ce qui a ´et´e trait´e en cours et en travaux dirig´es.
Avec ¸ca vous aurez la moyenne. Le probl`eme IV, long, plutˆot calculatoire mais pas totalement d´enu´e d’int´erˆet pratique, d´emarre sur des consid´erations trait´ees en cours puis devient progressivement plus elliptique. `A vous de choisir les donn´ees pertinentes et les m´ethodes de calcul appropri´ees.
I. TRANSFORMATION DU CHAMP ´ELECTROMAGN ´ETIQUE
1. Rappelez la d´efinition des composantes du tenseur du champ ´electromagn´etique en termes des composantes du quadripotentiel.
2. En d´eduire les expressions des composantes du tenseur du champ ´electromagn´etique en termes des composantes des champs ´electrique et magn´etique.
3. Valerian, inerte, se meut `a la vitesseβββpar rapport `a Laureline. Celle-ci, ayant choisi son axeˆxsuivant la vitesse de Valerian, tous deux s’accordent par ailleurs pour adopter des axes enconfiguration standard.
Ecrivez les expressions des coordonn´´ ees d’un ´ev´enement pour Valerian en termes des coordonn´ees du mˆeme ´ev´enement pour Laureline. En d´eduire les expressions des composantes de la matrice de la transformation de Lorentz correspondante.
4. En d´eduire les expressions des composantes des champs ´electrique et magn´etique, en un ´ev´enement, pour Valerian, en termes des composantes des champs, au mˆeme ´ev´enement, pour Laureline.
5. En d´eduire les lois de transformation des champs sous forme vectorielle.
6. Etablir´ les expressions des invariants associ´es aux champs ´electrique et magn´etique en un ´ev´enement.
7. Que pouvez-vous dire du mouvement d’une particule charg´ee abandonn´ee par Laureline dans une r´egion o`u r`egne un champ ´electrique uniforme et constant ?
II. CHAMP DE CONVECTION, CHAMP DE RAYONNEMENT
Une particule charg´ee, inerte, de vitesse 1,8×108m s−1par rapport `a vous, subit un choc brutal qui la r´etrodiffuse `a 180o avec la mˆeme vitesse. Repr´esentez, une nanoseconde apr`es le choc :
1. l’allure de la r´egion o`u existe une contribution du type rayonnement au champ ´electromagn´etique ; 2. l’allure des lignes du champ ´electrique ;
3. l’allure du champ magn´etique.
III. RAYONNEMENT D’UNE CHARGE `A BASSE VITESSE
1. Rappelez l’expression du champ ´electrique rayonn´e par une charge `a basse vitesse et expliquez, aussi clairement que bri`evement, la signification des symboles apparaissant dans cette formule en sorte qu’elle soit effectivement utilisable. (N’h´esitez pas `a faire un dessin.)
2. En d´eduire l’expression du champ magn´etique rayonn´e par la charge.
3. Quelles sont les propri´et´es de ces champs ? (N’h´esitez pas `a faire un dessin.)
4. Etablir´ l’expression du vecteur de Poynting du champ rayonn´e par cette charge. Quelles sont ses propri´et´es ? (N’h´esitez pas `a faire un dessin.)
5. En d´eduire l’expression de l’´energie rayonn´ee par la charge dans l’angle solide (ˆr,d2ˆr) entre les instants tett+ dt.
6. En d´eduire l’expression de la puissance totale rayonn´ee par la charge `a l’instantt(taux de Larmor).
7. Pouvez-vous d´ecrire un exemple de situation physique qui rel`eve de ces consid´erations ?
2 Champs classiques, PH456 Paris 7
IV. D´ETECTION DE PARTICULE PAR INDUCTION Rappelons-nous l’expression du champ ´electrique cr´e´e par une charge ponctuelle :
E= q 4π
¡ 1
1−Rb ·v¢3
(¡
1−v2¢ bR−v R2 +
Rb ∧h¡Rb −v¢
∧a i R
) ,
sous une forme symbolique (il importe donc de ne pas oublier la signification des divers symboles qui y figurent).
1. Montrez que la contribution du type “convection” peut s’´ecrire d’une fa¸con relativement simple, et plus ´eloquente, en faisant intervenir la notion de “position attendue” pour la particule.
Passons dor´enavant au cas d’une charge ponctuelle qui se meut depuis longtemps `a vitesse constanteβββ lorsqu’on s’int´eresse `a son champ ´electromagn´etique...
2. Repr´esentez la situation `a cet instant (position et vitesse de la particule, allures des champs ´electrique et magn´etique en un point donn´e). Repr´esentez l’allure de la courbe (“l’indicatrice”) d´ecrite au cours du temps par l’extr´emit´e du vecteur champ ´electrique au point consid´er´e.
3. Etablir les expressions du module du champ ´´ electrique au point consid´er´e et de sa composante parall`ele
`
a la vitesse.
4. Calculez les valeurs extr´emales atteintes au cours du temps par cette composante parall`ele.
5. Ces valeurs extr´emales ont une propri´et´e remarquable. Pouvez-vous imaginer un moyen de v´erification de votre r´esultat ?
6. Pour fin de confirmation de l’allure de l’indicatrice du champ ´electrique, ´etudiez de mani`ere analogue la variation de la composante du champ ´electrique normale `a la vitesse de la particule.
7. Repr´esentez l’allure de la variation du champ magn´etique au point consid´er´e en fonction du temps.
Repr´esentez de mˆeme l’allure de la variation de la d´eriv´ee de ce champ par rapport au temps.
8. Etablir l’expression du champ magn´´ etique en fonction du temps.
9. Comment faut-il disposer, au point consid´er´e, une petite (par rapport `a quoi au fait ?) boucle conductrice pour que la force ´electromotrice induite y soit maximale ?
10.Pour une boucle ainsi dispos´ee, calculez la f´em induite en fonction du temps. D´eterminez sa valeur maximale.
11.Pour quelle type de situation ce dispositif vous semble-t-il pouvoir ´eventuellement constituer un d´etecteur de particule int´eressant ? ´Evaluez num´eriquement, dans un cas choisi, la f´em induite maximale.
[D’apr`es Oleg D.Jefimenko, “Dynamic Electric Field Maps of Point Charge Moving with Constant Velocity,” The Physics Teacher38 (March), 154.]
