TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

Paris 7 PH456

–

TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

EXAMEN PARTIEL

t₀= (jeudi 19 d´ecembre, 9 h), ∆t= 4 h

Vous avez le droit de ne pas perdre de temps en explications : vous ˆetes requis de montrer que vous avez compris, pas de tenter de nous faire comprendre. N´eanmoins, les remarques intelligentes, donc br`eves et pertinentes, seront appr´eci´ees.

Les exercicesI`aVI, ´el´ementaires, sont n´ecessaires pour acc´eder `a la moyenne et suffisants pour obtenir une note confortable. Quant au probl`emeVII, c’est une autre affaire : `a vous de vous d´ebrouiller ! Calculettes rigoureusement autoris´ees. Les trivecteurs sont repr´esent´es par des caract`eres gras.

I. INVARIANTS

Vous consid´erez, dans votre rep`ere inertiel, trois ´ev´enements spatialement align´es :

— l’´ev´enement O (que vous prenez comme origine) ;

— l’´ev´enement A (dans la direction duquel vous choisissez votre axe ˆx), de coordonn´ees tA = 5 s, xA= 3×10⁸m ;

— et l’´ev´enement B, de coordonn´eest_B = 2 s,x_B= 1,2×10⁹m.

1. Repr´esentez ces ´ev´enements sur un graphe d’espace-temps.

2. Quels sont les couples d’´ev´enements entre lesquels il ne peut y avoir de lien causal ?

3. Calculez la distance spatiale entre les ´ev´enements O et B dans un rep`ere o`u il sont simultan´es.

4. Calculez l’intervalle de temps entre les ´ev´enements O et A dans un rep`ere o`u ils ont mˆeme position spatiale. Quelle est la vitesse de ce rep`ere ?

II. EFFET DOPPLER LONGITUDINAL

Chou²et Lou², aussi inertes l’une que l’autre, ont un ´ev´enement commun dans leurs vies. Chou a une vitesseβββ par rapport `a Lou. Elle et il conviennent de rep`eres en configuration standard.

Chou ne cesse d’´emettre, `a intervalles r´eguliers, ∆τ `a sa montre l´egale, des ´eclairs lumineux dans toutes les directions.

1. Repr´esentez ce sc´enario sur un graphe d’espace-temps dans le rep`ere de Lou.

2. i) Calculez l’intervalle de temps ∆t_rs´eparant deux r´eceptions successives par Lou, `a sa montre toute aussi l´egale.

ii) En d´eduire l’expression de la fr´equencef_rde r´eception des ´eclairs p´eriodiques par Lou, en fonction de la fr´equencef₀ de leur ´emission par Chou.

iii) Qu’en est-il selon que Chou et Lou sont en phases d’approche ou de r´ecession ? Et dans le cas o`u leur vitesse relative est faible ?

III. TRANSFORMATIONS SP ´ECIALES DE LORENTZ 1. Rappelez les formules de transformation sp´eciale de Lorentz en configuration standard.

2. En d´eduire les formules de composition des vitesses.

3. Montrez comment on peut mettre les formules de transformation sp´eciale de Lorentz, et les formules de composition des vitesses, sous forme vectorielle.

2 Champs classiques, PH456 Paris 7 IV. MOUVEMENT HYPERBOLIQUE

Une fus´ee, assimil´ee `a un point, a pour ´equation horaire, par rapport `a un rep`ere inertiel : x(t) = a⁻¹p

1 + (at)²,y(t) =z(t) = 0, o`ua est une constante, disons positive.

1. Repr´esentez, sur un graphe d’espace-temps, l’allure de la ligne d’univers de cette fus´ee.

2. Calculez :

i) la vitessev(t) de la fus´ee ;

ii) son intervalle de temps propre dτ entre deux ´ev´enements aux tempst ett+ dt;

iii) son temps propreτ(t) si l’horloge de bord est r´egl´ee `a z´ero lorsque la fus´ee a une vitesse nulle.

3. En d´eduire, en fonctions du temps propreτ, les expressions i) des coordonn´eest(τ) etx(τ) ;

ii) de la vitessev(τ) et de la rapidit´eϕ(τ) ; iii) des composantes de la quadrivitesse ; iv) des composantes de la quadri-acc´el´eration.

4. Calculez le carr´e de la quadri-acc´el´eration au tempsτ. Comment peut-on qualifier le mouvement de cette fus´ee ?

5. Questions subsidiaires :

i) Quel est le crit`ere qui d´etermine dans quelle mesure la fus´ee est assez petite pour ˆetre assimilable

`

a un point ? Qu’en est-il sia= 9,8 m s⁻²?

ii) Pourquoi ne pas se contenter de dire que l’on ´etudie le mouvement du centre de masse de la fus´ee ? iii) Repr´esentez l’allure de la ligne d’univers de la mˆeme fus´ee dans un rep`ere anim´e (si l’on peut dire) d’une vitesse βxˆpar rapport au premier rep`ere, et choisi en configuration standard.

V. ´ENERGIE-IMPULSION

1. Rappelez la d´efinition de la quadri-impulsion d’une particule de massemet de ligne d’universr

˜(τ).

2. En d´eduire les expressions de l’´energie et de l’impulsion en fonctions de la masse et de la vitessev de la particule.

3. En d´eduire les diverses identit´es remarquables que satisfont la quadri-impulsion, ses composantes, la masse et la vitesse de la particule. Qu’en est-il dans le cas d’une particule dite de “masse nulle” ? 4. Calculez l’´energie de seuil du photon incident sur un proton au repos pour que se produise la r´eaction

de photoproduction du pion : γ+p→n+π⁺. (mp≈mn ≈940 MeV,mπ± ≈140 MeV)

VI. CALCUL TENSORIEL

1. Contraction : ´etant donn´es un tenseur, de composantesT^µν, et un quadrivecteur, de composantesA^µ, montrez que les quantit´esB^{µ df}=T^µνAν se transforment comme les composantes d’un quadrivecteur.

2. Crit`ere de tensorialit´e : deux rep`eres ´equivalents disposent des multiplets, indic´es `a la grecque, A^µν etA^0µν respectivement ; montrez que si, quel que soit le quadrivecteurX^µ, les quantit´esY^µdf=A^µνXν

se transforment comme les composantes d’un quadrivecteur, alors les quantit´es A^µν se transforment comme les composantes d’un tenseur.

Champs classiques, PH456 Paris 7 3 VII. AVERTISSEUR DE COLLISION

Votre vaisseau d´erive, inerte, dans l’espace intersid´eral. Vous d´etectez un rayonnement ´electromagn´e- tique qui vous signale l’approche d’une source, selon toute probabilit´e une m´et´eorite, potentiellement dangereuse. Pour faire face `a cette ´eventualit´e, il importe d’avoir con¸cu un syst`eme de surveillance du rayonnement, capable de pr´edire la distance minimalea`a laquelle passera la source, et `a quelle heure, si aucune manœuvre n’est tent´ee entre-temps.

Le d´etecteur reconnaˆıt, dans le spectre de rayonnement re¸cu, le code barre caract´eristique d’un atome connu et mesure, au cours du temps, l’´energieE(t) d’une raie dont par ailleurs l’´energie E^∗, lorsque l’atome est au repos, figure sur toutes les bonnes tables. Le probl`eme est donc d’extraire les informations souhait´ees de la fonctionE(t)/E^∗ observ´ee.

Pour analyser ce projet on peut adopter (sans obligation d’achat) le rep`ere suivant, li´e au vaisseau :

• le d´etecteur est pris pour origine d’espace ;

• l’axe ˆxest pris suivant la vitesseβββde la m´et´eorite ;

• l’instant d’approche minimale est pris pour origine de temps.

1. Le calcul de l’effet Doppler g´en´eral (pas n´ecessairement longitudinal) est plus simple — et cela ne change rien au r´esultat — en raisonnant en termes de photons plutˆot que d’ondes ´electromagn´etiques.

i) Vu du vaisseau, un photon se propage dans le plan (ˆx,y), suivantˆ une direction formant l’angleθavec l’axe ˆx, et le d´etecteur lui trouve une ´energieE. Calculez les composantesp^x,p^y,p^zde l’impulsion du photon.

ii) En d´eduire l’´energieE^∗ de ce photon dans le rep`ere de la m´et´eorite.

iii) En d´eduire l’expression deE/E^∗ en fonction de cosϑ.

2. Reste `a ´evaluer l’angleθ(tD) sous lequel parvient au d´etecteur, au tempstD, un photon qui a ´et´e ´emis par la m´et´eorite. Il faut pour cela, connaissant les coordonn´ees de l’´ev´enement d´etection D, d´eterminer les coordonn´ees de l’´ev´enement source S.

i) Quelles sont les valeurs des coordonn´eesxD,yD,zD du d´etecteur `a l’instanttD? ii) Quelles sont les valeurs des coordonn´eesxS,yS,zSde la m´et´eorite `a l’instanttS?

iii) Quelle condition doivent par ailleurs satisfaire ces coordonn´ees si les ´ev´enements S et D sont sur la ligne d’univers d’un photon, D ´etant post´erieur `a S ?

iv) En d´eduire l’expression de t_S en termes det_D,β et a.

v) Quelle est l’expression de cosθen fonction det_S?

vi) En d´eduire enfin les allures des graphes de cosθ et deE/E^∗ en fonctions det_D.

3. Les expressions trouv´ees sont compliqu´ees mais, apr`es tout, ou plutˆot avant tout, ce sont leurs comportements asymptotiques, longtemps avant l’approche minimale, qui nous int´eressent pour fin d’avertissement.

i) ´Etablir l’expression asymptotique de cosϑ(tS) lorsquetS→ −∞. ii) ´Etablir l’expression asymptotique detS(tD) lorsquetD→ −∞.

iii) En d´eduire l’expression asymptotique de cosθ(tD) lorsque tD→ −∞. Quelle est sa condition de validit´e ?

iv) En d´eduire enfin l’expression asymptotique de E(tD)/E^∗ lorsque tD → −∞? Quelle est sa condition de validit´e ?

4. Votre avertisseur de collision signale un rayonnement ´electromagn´etique. Apr`es lissage des donn´ees brutes, la variation de la fr´equence d’une raie identifi´ee dans ce rayonnement est de la forme :

ν(t)

ν^∗ = 2,0− 2,7 (t−610)² ,

en fonction de l’heure de d´etection ten secondes `a la pendule de bord.

i) Cette expression vous paraˆıt-elle relever de l’analyse th´eorique pr´ec´edente ? ii) Quelle est la vitesse de la source ?

iii) Quelle sera la distance minimale d’approche de la source ? iv) `A quelle heure la source sera-t-elle `a distance minimale ?

v) L’observation de cosθ(tD) seulement apporterait-elle autant d’informations sur la m´et´eorite ?