TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

Paris 7 PH456

–

TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS

EXAMEN

t₀= (samedi 5 mai, 9 h), ∆t= 4 h

Les ´epreuves d’´electrodynamique et de gravitation sont `a r´ediger sur des copies s´epar´ees ; elles devraient compter respectivement pour trois quarts et un quart du total des points.

ELECTRODYNAMIQUE´

Les exercices I et II, ´el´ementaires, sont n´ecessaires et suffisants pour vous assurer la moyenne. Soyez clair, mais vous avez droit `a la bri`evet´e : il vous faut juste montrer que vous avez compris, plutˆot que tenter de nous faire comprendre.

Attention, le probl`eme III risque de nuire gravement `a la sant´e et ne doit ˆetre envisag´e qu’en dernier ressort : consid´er´e comme difficile, il ne rapporte que peu de points et devient rapidement interminable ! Bon courage.

les G.O.

I. TENSEUR DU CHAMP ´ELECTROMAGN´ETIQUE

1. Rappelez la d´efinition du tenseur du champ ´electromagn´etique en termes du quadripotentiel.

2. En d´eduire les expressions des composantes du tenseur du champ en termes des composantes du champ

´electrique et magn´etique.

3. Chlo´e, inerte, se meut `a vitesse constante v par rapport `a Colin. D’un commun accord, ils utilisent des rep`eres en configuration standard. ´Etablir les expressions des coefficients de la matrice de la transformation de Lorentz des coordonn´ees affect´ees par Chlo´e et Colin `a un ´ev´enement.

4. i) En d´eduire les expressions des composantes du champ ´electrique en un ´ev´enement pour Chlo´e en termes des composantes des champs ´electrique et magn´etique au mˆeme ´ev´enement pour Colin.

ii) Mˆeme question pour les composantes du champ magn´etique.

5. En d´eduire une ´ecriture vectorielle des lois de transformation des champs ´electrique et magn´etique, ind´ependante de toute convention de rep`eres.

II. CHAMP DE CONVECTION, CHAMP DE RAYONNEMENT

Une charge ponctuelle et positive se meut `a la vitesse constante de 1,8×10<sup>8</sup>m s<sup>−1</sup> constante. Cette particule se trouve brutalement stopp´ee, et en reste immobile. Repr´esentez, 10<sup>−9</sup>s apr`es l’arrˆet complet :

i) le domaine o`u il y a du champ de rayonnement ; ii) l’allure des lignes de champ ´electrique de convection ; iii) l’allure du champ magn´etique de convection.

III. RAYONNEMENT DE TRANSITION

De mani`ere g´en´erale, une charge cr´ee un rayonnement dit de transition lorsqu’elle se d´eplace `avitesse constante dans un milieu inhomog`ene. Les situations les plus susceptibles d’applications pratiques sont celles o`u la charge passe, `a vitesse constante, d’un milieu homog`ene `a un autre milieu homog`ene.

En particulier, le passage du vide `a un conducteur parfait se prˆete `a un traitement simple.

Charge soudainement stopp´ee

Revenons d’abord au cas d’´ecole d’une charge initialement `a vitesse constante qui se trouve soudaine- ment stopp´ee et reste immobile. Rappelons-nous que le champ ´electrique cr´e´e par une charge ponctuelle est donn´e par l’expression

E= q 4π

¡ 1

1−Rb ·v¢3

½1−v²

R² ¡ bR−v¢ + 1

RRb∧h¡Rb −v¢

∧ai¾

dans des notations qui devraient vous ˆetre famili`eres. Dans notre cas, l’acc´el´eration est malheureuse- ment trop singuli`ere pour pouvoir en d´eduire directement l’expression du champ ´electrique rayonn´e,

2 Champs classiques, PH456 Paris 7

aussi va t-on d´eterminer ladite expression `a l’aide d’une condition int´egrale qui pr´esente l’avantage d’absorber la singularit´e.

1. Retour aux ´equations de Maxwell : quelle est, `a un instant donn´e, la valeur du flux du champ ´electrique sortant d’une surface ferm´ee (th´eor`eme de Gauss) ?

2. Consid´erons, `a l’instant t, une petite “boˆıte” fine, “`a cheval” sur la zone o`u il y a du champ de rayonnement. Disons que l’aire du fond, et du couvercle, est ´el´ementaire, et que fond et couvercle sont

`

a la distance infinit´esimale ε/2 de la zone de rayonnement. Les coordonn´ees sph´eriques centr´ees sur la source du rayonnement et ax´ees sur la vitesse de la charge, ainsi que la base locale inh´erente, sont tout indiqu´ees ici :

Quelle est la valeur du flux du champ ´electrique sortant de cette boite ? 3. i) Calculez le flux du champ ´electrique `a travers le fond de la boˆıte.

ii) Calculez le flux du champ ´electrique sortant `a travers le couvercle de la boˆıte. (Un conseil : remarquez que la composante radiale du champ est donn´ee par le produit scalaire ˆr·E.)

iii) Trouvez, si vous vous sentez inspir´e, un moyen de confirmer la validit´e de ces expressions.

4. L’acc´el´eration de la charge, bien que singuli`ere lorsqu’elle n’est pas nulle, a n´ecessairement une direction bien d´etermin´ee.

i) Quelles caract´eristiques (direction, sym´etries, d´ependance par rapport aux coordonn´ees, valeur dans la direction avant) l’expression g´en´erale du champ ´electrique cr´e´e implique-t-elle alors pour le champ ´electrique de rayonnement ?

ii) En d´eduire l’expression du flux sortant `a travers les cˆot´es de la boˆıte en termes de l’amplitude du champ de rayonnement.

5. i) Compte tenu de la valeur du flux sortant de la boˆıte, montrez que l’amplitude du champ de rayonement ob´eit `a une ´equation diff´erentielle.

ii) Montrez que la r´esolution de cette ´equation diff´erentielle se r´eduit `a une quadrature.

iii) En remarquant que c’est en fait l’int´egrale de l’amplitude (tr`es singuli`ere) du champ de ray- onnement (tr`es singulier) sur l’´epaisseur de la boˆıte qui a ´et´e ainsi d´etermin´ee, en d´eduire enfin l’expression du champ ´electrique de rayonnement, en tout point, tout temps, en termes d’une “fonc- tion ” de Dirac.

Annihilation de deux charges

Deux charges oppos´ees se pr´ecipitant `a la rencontre l’une de l’autre sont observ´ees depuis un rep`ere o`u leurs vitesses sont “´egales et oppos´ees”. On parle d’annihilation de ces charges si, apr`es leur choc, elles restent immobiles, `a l’emplacement de ce choc.

6. Etablir, `´ a l’aide du r´esultat pr´ec´edent, l’expression du champ ´electrique rayonn´e par ce processus.

7. i) Rappelez l’expression de l’´energie d³W rayonn´ee `a travers la surface (r,d²ˆr) entre les instantstet t+ dt, en termes de l’amplitude du champ ´electrique rayonn´e.

ii) Pour traiter simplement le cas d’un champ singulier, on peut recourir `a sa transform´ee de Fourier temporelle. Calculez, en termes de cette transform´ee, l’´energie totale d²W rayonn´ee au cours du temps dans l’angle solide d²ˆr.

Champs classiques, PH456 Paris 7 3

iii) En d´eduire, toujours en fonction de la transform´ee de Fourier du champ, l’expression de la distribution angulaire spectrale de l’´energie rayonn´ee, d³W/dωd²ˆr.

iv) Calculez la transform´ee temporelle du champ rayonn´e par l’annihilation de deux charges, et d´eduisez-en l’expression de la distribution angulaire spectrale correspondante.

Rayonnement de transition

On consid`ere le cas quelque peu id´eal d’une charge se d´epla¸cant `a vitesse constante dans une r´egion vide et rencontrant un milieu conducteur

“parfait”.

8. i) `A l’aide des indications prodigu´ees ci-contre, d´eduisez du calcul pr´ec´edent la distribution spectrale dWtr./dωde l’´energie totale rayonn´ee au cours de ce processus.

ii) Qualitativement : comment serait modifi´ee cette distribution si l’on tenait compte de la dur´ee finie du processus d’annihilation ? 9. Dans le cas d’une particule ultra-relativiste :

i) Quelle est la forme asymptotique de la dis- tribution spectrale dWtr./dω?

ii) Donnez l’expression de cette densit´e spec- trale en termes de la charge, de la masse et de l’´energie de la particule.

iii) La mani`ere dont cette expression d´epend de l’´energie de la charge vous semble-t-elle faire de ce processus un bon moyen de d´etection de ladite charge ?

R´ef´erences :

V.L. Ginzburg,Radiation of uniformly moving sources (Vavilov-Cherenkov effect, transition radia- tion, and other phenomena, Physics-Uspekhi 39() 973.

B.M. Bolovski˘i&A.V. Serov,On the force line representation of radiation fields, Physics-Uspekhi 40() 1055.