Paris 7 PH456
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TH ´ EORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
EXAMEN
t0= (mardi 25 avril, 9 h), ∆t= 4 heures Calculettes strictement autoris´ees
PREMI`ERE PARTIE : RELATIVIT ´E, ´ELECTRODYNAMIQUE
Les questions marqu´ees d’un * sont r´eellement ´el´ementaires et ind´ependantes. Vous devez savoir les traiter et elles vous assureront la moyenne. Vos droits : ˆetre bref si ce n’est pas au d´etriment de la clart´e ; ˆetre intelligent en proposant des arguments de vraisemblance de vos r´esultats ; assortir de r´eserves tout r´esultat qui vous apparaˆıt invraisemblable. Attention : respectez les injonctions du genre
“´etablir”, “d´eduire”, “calculer”, “montrer” ; un r´esultat par♥serait alors inadmissible.
les G.O.
*I. TRANSFORMATION DE LORENTZ DU CHAMP ´ELECTROMAGN´ETIQUE 1. Etablir´ , `a partir de leur d´efinition en termes du potentiel, les expressions des composantes du tenseur
du champ ´electromagn´etique en fonctions des composantes des champs ´electrique et magn´etique en un ´ev´enement.
2. En d´eduireles formules de transformation sp´eciale de Lorentz des composantes des champs ´electrique et magn´etique en configuration standard.
3. End´eduireune ´ecriture vectorielle pour les formules de transformation sp´eciale de Lorentz des champs
´electrique et magn´etique.
4. Enum´erez tous les moyens de v´erification de votre calcul auxquels vous pouvez songer.´
*II. CONVECTION/RAYONNEMENT
Une particule charg´ee positivement qui ´etait immobile acquiert, `a la suite d’une acc´el´eration soudaine, une vitesse de 2,4×108m s−1, constante. Repr´esentez l’allure des champs ´electrique et magn´etique dans rien moins que tout l’espace, 1 nanoseconde apr`es l’acc´el´eration, en en pr´ecisant les distances caract´eristiques et les types.
III. ´ECONOPHYSIQUE DES COLLISIONNEURS CIRCULAIRES
*Rayonnement d’une charge `a vitesse nulle
1. Rappelez (par ♥) l’expression du champ ´electrique rayonn´e par une particule charg´ee `a vitesse nulle, en pr´ecisant bien la signification des divers symboles qui apparaissent dans votre formule. (Faˆıtes un dessin.)
2. Rappelez l’expression du champ magn´etique rayonn´e. En d´eduire les propri´et´es caract´eristiques du champ ´electromagn´etique rayonn´e. (Faˆıtes un dessin.)
3. En d´eduire :
i) le vecteur de Poynting du champ rayonn´e ;
ii) l’´energie d3Wray du champ rayonn´e par la particule durant une br`eve p´eriode [t, t+dt[ de sa vie dans un petit angle solide autour d’une direction donn´ee.
4. En d´eduire l’´energie totaledWraydu champ rayonn´e par la particule durant cette p´eriode, et le taux d’´energie rayonn´ee (taux de Larmor) R=dfdWray/dt.
5. Quelle est la quantit´e de mouvement du champ rayonn´e par la particule durant la mˆeme p´eriode ?
2 Champs classiques, PH456 Paris 7 Energie rayonn´´ ee par une charge en mouvement quelconque
6. Sachant (¸ca se d´emontre, mais ¸ca n’est pas si simple) que le champ de rayonnement qui a ´et´e cr´e´e par une particule entre deux ´ev´enements voisins dans la vie de celle-ci admet une ´energie et une quantit´e de mouvement composantes d’un quadrivecteur, end´eduire le taux d’´energie rayonn´ee par une particule en mouvement quelconque.
*7.Etablir´ , `a partir de la d´efinition de la quadri-acc´el´eration d’une particule, les expressions de ses composantes en termes de la vitesse et de l’acc´el´eration.
8. En d´eduire l’expression du taux d’´energie rayonn´ee en fonction de la vitesse et de l’acc´el´eration.
Rayonnement synchrotron
On consid`ere dor´enavant le cas d’une particule en mouvement circulaire uniforme.
9. Calculez le taux d’´energie rayonn´ee par la particule en fonction de sa vitesse et du rayon de son orbite.
10.Que devient l’expression de ce taux d’´energie dans le cas ultra relativiste ? Calculez dans ce cas l’´energie rayonn´ee par tour, en fonction de l’´energie et du rayon d’orbite de la particule.
Mouvement cyclotron
*11. Etablir´ les caract´eristiques du mouvement d’une particule dans un champ magn´etique uniforme et constant, dans le cas o`u la vitesse initiale de la particule est orthogonale au champ magn´etique.
12.En d´eduire, dans la limite ultra relativiste l’expression de l’´energie rayonn´ee par tour, en fonction de l’´energie de la particule et du champ magn´etique.
Consid´erations financi`eres
Au cours de l’avant projet d’une machine circulaire destin´ee `a maintenir des particules donn´ees `a une
´energie donn´ee, on se demande quelles valeurs adopter pour le rayon et le champ magn´etique en sorte de minimiser le coˆut de r´ealisation de cette machine. On peut estimer que celui-ci r´esulte de deux contributions :
• le coˆut de l’infrastructure, proportionnel `a la longueur totale de la machine (c’est-`a-dire sa circonf´erence) ;
• le coˆut des cavit´es acc´el´eratrices (destin´ees `a restituer aux particules l’´energie qu’elles perdent par rayonnement `a chaque tour) proportionnel `a l’´energie rayonn´ee par tour.
13.Montrez que, dans ces conditions optimales, ´energie et rayon d’une part, ´energie et champ magn´etique d’autre part, satisfont de simples lois d’´echelle.
14.Ces lois sont-elles satisfaites par les caract´eristiques des collisionneurs d’´electrons LEP (E= 100 GeV, 2πρ= 27 km,B = 0,008 T) et PETRA (E= 22 GeV, 2πρ= 1,3 km,B= 0,35 T) ?
15.Qu’en serait-il pour un projet de collisionneur d’´electrons de 250 GeV ?
16.Le probl`eme se pose-t-il dans les mˆemes termes pour des collisionneurs de muons ?
